Déterminants et formules de Cramer en L1 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Signature d’une permutation de six éléments

On considère la permutation de \(S_6\) suivante :

\[\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 5 & 1 & 6 & 4 & 2 \end{pmatrix}.\]

1. Décomposer \(\sigma\) en produit de cycles à supports disjoints.
2. Compter les inversions de \(\sigma\), puis en déduire sa signature.
3. Retrouver ce résultat à partir de la décomposition en cycles.
4. Déterminer le plus petit entier \(k \geqslant 1\) tel que \(\sigma^k = \mathrm{id}\), ainsi que la signature de \(\sigma^2\).

Exercice 2 – Premiers déterminants de taille 2 et 3

1. Calculer le déterminant de \(P = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}\). Justifier que \(P\) est inversible et donner \(P^{-1}\).
2. Calculer le déterminant de \(Q = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & 0 \\ -2 & 5 & 1 \end{pmatrix}\) par la règle de Sarrus, puis le retrouver en développant selon la deuxième ligne.

Exercice 3 – Aire d’un triangle et volume d’un parallélépipède

Le plan et l’espace sont rapportés à leurs repères orthonormés usuels.

1. Calculer l’aire du parallélogramme construit sur \(u = (3, 1)\) et \(v = (1, 4)\).
2. En déduire l’aire du triangle de sommets \(A(1, 2)\), \(B(4, 3)\) et \(C(2, 6)\), représenté ci-dessous.
3. Calculer le volume du parallélépipède construit sur \(a = (1, 0, 2)\), \(b = (2, 1, 0)\) et \(c = (0, 3, 1)\).

Exercice 4 – Opérations sur les colonnes

Soit \(A \in M_3(\mathbb{R})\) de colonnes \(C_1, C_2, C_3\), telle que \(\det A = 5\). Calculer, en justifiant chaque réponse :

1. \(\det(C_2, C_1, C_3)\), \(\det(2C_1, C_2, C_3)\) et \(\det(C_1 + 4C_3, C_2, C_3)\) ;
2. \(\det(C_1 + C_2, C_2 + C_3, C_3 + C_1)\) ;
3. \(\det(3A)\), \(\det({}^{t}\!A)\), \(\det(A^{-1})\) et \(\det(A^2)\).

Exercice 5 – Inversibilité selon un paramètre

Pour tout réel \(t\), on pose \(M(t) = \begin{pmatrix} 1 & t & 0 \\ t & 1 & t \\ 0 & t & 1 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\det M(t)\).
2. Déterminer les valeurs de \(t\) pour lesquelles \(M(t)\) est inversible.
3. Pour l’une des valeurs exclues, exhiber un vecteur non nul \(X\) tel que \(M(t)X = 0\).

Exercice 6 – Un système de Cramer de taille 2

On considère le système \(3x + 2y = 7\) et \(5x + 4y = 9\).

1. Vérifier que c’est un système de Cramer.
2. Le résoudre par les formules de Cramer, puis vérifier la solution.
3. Ensuite, trouver le réel \(m\) pour lequel le système \(3x + 2y = 7\), \(mx + 4y = 9\) n’est pas de Cramer, et le résoudre dans ce cas.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Développer un déterminant de taille 4

Calculer le déterminant suivant, en choisissant soigneusement la ligne ou la colonne de développement :

\[D = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}.\]

Exercice 8 – Un déterminant tridiagonal de taille n

Pour \(n \geqslant 1\), on note \(D_n\) le déterminant de la matrice \((d_{ij})\) de taille \(n\) définie par \(d_{ii} = 5\), \(d_{ij} = 2\) lorsque \(|i – j| = 1\), et \(d_{ij} = 0\) lorsque \(|i – j| \geqslant 2\).

1. Calculer \(D_1\) et \(D_2\).
2. Montrer que \(D_{n+2} = 5D_{n+1} – 4D_n\) pour tout \(n \geqslant 1\).
3. Puis en déduire une expression de \(D_n\) en fonction de \(n\).

Exercice 9 – Vandermonde et interpolation

1. Calculer \(V(1, 2, 4) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 16 \end{vmatrix}\) à l’aide de la formule du cours.
2. Justifier qu’il existe un unique polynôme \(P\) de degré au plus 2 tel que \(P(1) = 2\), \(P(2) = 3\) et \(P(4) = 11\).
3. Déterminer ce polynôme.

La figure montre les trois points imposés et la courbe cherchée.

Exercice 10 – Inverse par la comatrice

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\det A\).
2. Calculer la comatrice de \(A\).
3. En déduire \(A^{-1}\), puis vérifier le résultat par un produit.
4. Enfin, résoudre le système \(AX = B\) avec \(B = {}^{t}(1, 2, 4)\).

Exercice 11 – Système de Cramer à paramètre

Soit \(a\) un réel. On considère le système

\[\begin{cases} ax + y = 1 \\ x + ay + z = 0 \\ y + az = 1 \end{cases}\]

1. Calculer le déterminant du système et le factoriser.
2. Pour quelles valeurs de \(a\) le système est-il de Cramer ? Le résoudre dans ce cas.
3. Résoudre le système lorsque \(a = 0\).

Exercice 12 – Déterminant d’un endomorphisme de polynômes

On note \(\mathbb{R}_2[X]\) l’espace des polynômes de degré au plus 2, muni de la base \((1, X, X^2)\).

1. Soit \(f(P) = P + (X+1)P^{\prime}\). Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_2[X]\), écrire sa matrice et calculer \(\det f\).
2. Ainsi, \(f\) est-il bijectif ?
3. Soit \(g(P) = P(X+1) – P(X)\). Calculer \(\det g\) sans écrire la matrice de \(g\).

Exercice 13 – Transposée, produit et matrices impossibles

1. Soit \(A \in M_n(\mathbb{R})\) avec \(n\) impair et \({}^{t}\!A = -A\). Montrer que \(A\) n’est pas inversible.
2. Montrer qu’il n’existe aucune matrice \(A \in M_3(\mathbb{R})\) telle que \(A^2 = -I_3\).
3. En revanche, trouver une matrice \(A \in M_2(\mathbb{R})\) telle que \(A^2 = -I_2\).
4. Soient \(A, B \in M_n(\mathbb{R})\) telles que \(AB = I_n\). Montrer que \(A\) est inversible et que \(BA = I_n\).

Exercice 14 – Formes bilinéaires alternées du plan

On note \((e_1, e_2)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^2\), et on écrit \(x = (x_1, x_2)\), \(y = (y_1, y_2)\).

1. Soit \(\varphi\) une forme bilinéaire alternée sur \(\mathbb{R}^2\). Montrer que \(\varphi(x, y) = \varphi(e_1, e_2)(x_1 y_2 – x_2 y_1)\).
2. Parmi les formes \(\varphi_1(x, y) = x_1 y_2 – x_2 y_1 + x_1 y_1\), \(\varphi_2(x, y) = 3x_1 y_2 – 3x_2 y_1\) et \(\varphi_3(x, y) = x_1 y_2 + x_2 y_1\), lesquelles sont alternées ?
3. Montrer qu’une forme bilinéaire \(\varphi\) est alternée si et seulement si \(\varphi(y, x) = -\varphi(x, y)\) pour tous \(x, y\).

Pour approfondir

Exercice 15 – Vandermonde en dimension quelconque

Pour \(n \geqslant 2\) et des réels \(x_1, \dots, x_n\), on note \(V(x_1, \dots, x_n)\) le déterminant de la matrice de terme général \(x_i^{\,j-1}\).

1. Traiter le cas où deux des \(x_i\) sont égaux.
2. On suppose désormais les \(x_i\) distincts. On remplace \(x_n\) par une indéterminée et on pose \(P(X) = V(x_1, \dots, x_{n-1}, X)\). Prouver que \(P \in \mathbb{R}_{n-1}[X]\), puis identifier son terme en \(X^{n-1}\).
3. Déterminer \(n – 1\) racines de \(P\), puis en déduire une factorisation de \(P\).
4. Conclure par récurrence que \(V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i<j}(x_j – x_i)\).

Exercice 16 – Deux déterminants de taille n

1. Soit \(A_n\) la matrice de taille \(n\) de terme général \(\min(i, j)\). Calculer \(\det A_n\) à l’aide des opérations \(L_i \leftarrow L_i – L_{i-1}\), effectuées de \(i = n\) à \(i = 2\).
2. Soit \(J_n\) la matrice de taille \(n \geqslant 2\) dont tous les coefficients valent 1, sauf les coefficients diagonaux, qui valent 0. Montrer que \(\det J_n = (-1)^{n-1}(n-1)\).

Exercice 17 – Comatrice et matrices à coefficients entiers

1. Soit \(A \in M_n(\mathbb{R})\) inversible, avec \(n \geqslant 2\). Montrer que \(\det(\operatorname{com} A) = (\det A)^{n-1}\).
2. Soit \(A\) une matrice carrée à coefficients entiers. Montrer que \(\det A\) et les coefficients de \(\operatorname{com}(A)\) sont des entiers.
3. Montrer que \(A\) possède un inverse à coefficients entiers si et seulement si \(\det A \in \{-1, 1\}\).
4. Appliquer ce critère aux matrices \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\).

Exercice 18 – Problème : aires, volumes et alignement

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Pour trois points \(M_k(x_k, y_k)\), on pose

\[\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{vmatrix}.\]

Partie A : alignement et aire.

1. Montrer que \(\Delta = \det\left(\overrightarrow{M_1M_2}, \overrightarrow{M_1M_3}\right)\).
2. En déduire que les trois points sont alignés si et seulement si \(\Delta = 0\), et que l’aire du triangle vaut \(\dfrac{|\Delta|}{2}\).
3. Les points \((-1, 4)\), \((2, 1)\) et \((5, -2)\) sont-ils alignés ? Calculer l’aire du triangle de sommets \((0, 0)\), \((5, 1)\) et \((2, 4)\).

Partie B : équation d’une droite.

4. En développant un déterminant de taille 3, donner une équation de la droite passant par \((1, 3)\) et \((4, 5)\).

Partie C : image d’un triangle.

5. Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) de matrice \(M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\) et \(T\) le triangle de sommets \((0, 0)\), \((1, 0)\) et \((0, 1)\). Calculer l’aire de \(f(T)\) directement, puis vérifier qu’elle vaut \(|\det M|\) fois l’aire de \(T\).

Partie D : volume d’un tétraèdre.

6. On admet que le volume du tétraèdre \(OABC\) vaut \(\dfrac{1}{6}\left|\det\left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\right)\right|\). Calculer ce volume pour \(A(1, 0, 2)\), \(B(2, 1, 0)\) et \(C(0, 3, 1)\).

Pour aller plus loin

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