Banach et opérateurs continus en L3 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Une norme sur le plan et sa boule unité

À tout vecteur \(v = (x, y)\) du plan, on associe \(N(v) = \max\big(|x + y|, |x – 2y|\big)\).

1. Prouver que \(N\) vérifie les trois axiomes d’une norme. On pourra remarquer que \(N(v) = \|Lv\|_\infty\) pour une matrice \(L\) inversible.
2. Établir l’encadrement \(\|v\|_\infty \leqslant N(v) \leqslant 3\|v\|_\infty\).
3. Enfin, prouver que les constantes \(1\) et \(3\) sont optimales.

La figure représente la boule unité fermée de \(N\).

Exercice 2 – Une forme linéaire sur deux espaces de suites

Pour une suite \(x = (x_j)_{j \geqslant 1}\), on pose \(\varphi(x) = \sum_{j \geqslant 1} \frac{x_j}{3^j}\).

1. Justifier que \(\varphi\) est bien définie et linéaire sur \(\ell^\infty\), et calculer sa norme pour \(\|\cdot\|_\infty\). Est-elle atteinte ?
2. Ensuite, même question sur \(\ell^1\) muni de \(\|\cdot\|_1\).

Exercice 3 – Norme d’un opérateur à noyau minimum

Pour \(f \in C([0,1])\) et \(x \in [0,1]\), on pose \(T(f)(x) = \int_0^1 \min(x, t)\, f(t)\,dt\). L’espace \(C([0,1])\) est muni de \(\|\cdot\|_\infty\).

1. Écrire \(T(f)(x) = \int_0^x t f(t)\,dt + x\int_x^1 f(t)\,dt\) et en déduire que \(T(f)\) est continue.
2. Calculer \(\int_0^1 \min(x, t)\,dt\) pour \(x \in [0,1]\).
3. Enfin, montrer que \(T\) est linéaire continue et calculer \(\|T\|\).

Exercice 4 – Deux formes linéaires sur les polynômes

On munit \(\mathbb{R}[X]\) de la norme \(N\big(\sum_k a_k X^k\big) = \max_k |a_k|\).

1. Vérifier rapidement que \(N\) est une norme.
2. Prouver que \(\alpha : P \mapsto P(1)\) n’est pas continue pour \(N\).
3. En revanche, prouver que \(\beta : P \mapsto P\big(\frac{1}{2}\big)\) est continue, de norme \(2\), et que cette norme n’est pas atteinte.

Exercice 5 – Les suites de limite nulle forment un Banach

Dans \(\ell^\infty\), on considère \(c_0\), formé des suites qui tendent vers \(0\), et \(c_{00}\), formé des suites qui n’ont qu’un nombre fini de termes non nuls. Ces deux espaces héritent de \(\|\cdot\|_\infty\).

1. Montrer que \(c_0\) est un sous-espace fermé de \(\ell^\infty\). En déduire que c’est un espace de Banach.
2. Avec la suite \(x^{(k)} = \big(2^{-1}, 2^{-2}, \dots, 2^{-k}, 0, 0, \dots\big)\), montrer que \(c_{00}\) n’est pas fermé dans \(c_0\).
3. Enfin, conclure que \(c_{00}\) n’est pas complet.

Exercice 6 – Une série normalement convergente de fonctions

On travaille dans \(C([0,1])\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\), et on pose \(u_k(t) = \frac{\cos(kt)}{k(k+1)}\) pour \(k \geqslant 1\).

1. Calculer \(\|u_k\|_\infty\), puis \(\sum_{k \geqslant 1} \|u_k\|_\infty\).
2. Justifier que \(\sum u_k\) converge dans \(C([0,1])\) vers une fonction continue \(S\).
3. Enfin, calculer \(\|S\|_\infty\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Trois normes sur les fonctions de classe C1

Sur \(E = C^1([0,1])\), on considère \(\|f\|_\infty\), \(\|f\|_{C^1} = \|f\|_\infty + \|f^{\prime}\|_\infty\) et \(M(f) = |f(0)| + \|f^{\prime}\|_\infty\).

1. Vérifier que \(M\) est une norme sur \(E\).
2. Ensuite, montrer que \(M \leqslant \|\cdot\|_{C^1} \leqslant 2M\).
3. Avec \(f_k(t) = \frac{\sin(kt)}{k}\), montrer que \(\|\cdot\|_\infty\) n’est équivalente ni à \(M\) ni à \(\|\cdot\|_{C^1}\).

Exercice 8 – Inclusion de l1 dans l-infini

1. Montrer que l’injection \(J : (\ell^1, \|\cdot\|_1) \to (\ell^\infty, \|\cdot\|_\infty)\), \(x \mapsto x\), est continue, et calculer \(\|J\|\).
2. On pose \(y_j = \frac{1}{2j – 1}\) et \(x^{(k)}\) la suite tronquée \((y_1, \dots, y_k, 0, 0, \dots)\). Montrer que \(x^{(k)} \in \ell^1\) et que \(x^{(k)}\) converge vers \(y\) dans \(\ell^\infty\).
3. En déduire que \(\ell^1\) n’est pas fermé dans \(\ell^\infty\), puis que \((\ell^1, \|\cdot\|_\infty)\) n’est pas complet.
4. Les normes \(\|\cdot\|_1\) et \(\|\cdot\|_\infty\) sont-elles équivalentes sur \(\ell^1\) ?

Exercice 9 – Un opérateur de somme de voisins

Pour une suite \(x\), on pose \(T(x) = (x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\ x_3 + x_4,\ \dots)\), c’est-à-dire \(T(x)_j = x_j + x_{j+1}\).

1. Montrer que \(T\) envoie \(\ell^1\) dans \(\ell^1\), qu’elle y est continue, et que \(\|T\| = 2\).
2. Montrer de même que \(T\) est continue de \(\ell^\infty\) dans \(\ell^\infty\), de norme \(2\).
3. Enfin, déterminer le noyau de \(T\) dans \(\ell^\infty\), puis dans \(\ell^1\).

Exercice 10 – Une forme sur c0 dont la norme échappe

Sur \(c_0\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\), on pose \(\psi(x) = \sum_{j \geqslant 1} \frac{x_j}{2^j}\).

1. Montrer que \(\psi\) est linéaire continue et que \(\|\psi\| \leqslant 1\).
2. Avec des suites de \(c_{00}\) bien choisies, montrer que \(\|\psi\| = 1\).
3. Enfin, montrer qu’aucun \(x \in c_0\) tel que \(\|x\|_\infty \leqslant 1\) ne vérifie \(\psi(x) = 1\).

Exercice 11 – Série de Neumann et équation intégrale

Sur \(C([0,1])\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\), on définit \(K(f)(x) = \frac{x}{2}\int_0^1 t f(t)\,dt\).

1. Montrer que \(K\) est linéaire continue et que \(\|K\| = \frac{1}{4}\).
2. En déduire que, pour toute \(g \in C([0,1])\), l’équation \(f – K(f) = g\) a une unique solution \(f \in C([0,1])\), et que \(\|f\|_\infty \leqslant \frac{4}{3}\|g\|_\infty\).
3. Enfin, résoudre explicitement l’équation lorsque \(g\) est la fonction constante égale à \(1\).

Exercice 12 – La dérivation en dimension finie

Soit \(n \geqslant 1\). On munit \(\mathbb{R}_n[X]\) de la norme \(\|P\|_1 = \sum_{k=0}^{n} |a_k|\) pour \(P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k\), et l’on note \(D(P) = P^{\prime}\).

1. Sans calcul, justifier que \(D : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}_n[X]\) est continue.
2. Calculer \(\|D\|\) et donner un polynôme qui l’atteint.
3. Calculer de même la norme de la forme linéaire \(P \mapsto P(2)\).
4. Enfin, montrer que, sur \(\mathbb{R}[X]\) muni de la même norme (somme des valeurs absolues des coefficients), la dérivation n’est plus continue.

Exercice 13 – Applications bilinéaires continues ou non

1. Sur \(C([0,1])\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\), montrer que \(P(f, g) = fg\) est bilinéaire continue et calculer sa norme.
2. Ensuite, montrer que \(\beta(x, y) = \sum_{j \geqslant 1} x_j y_j\) définit une application bilinéaire continue de \(\ell^1 \times \ell^\infty\) dans \(\mathbb{R}\), de norme \(1\).
3. On restreint \(\beta\) à \(c_{00} \times c_{00}\), muni de \(\|\cdot\|_\infty\) sur chaque facteur. Montrer que \(\beta\) n’est plus continue.

Exercice 14 – Boules non compactes et théorème de Riesz

1. Dans \(\ell^\infty\), calculer \(\|e_k – e_m\|_\infty\) pour \(k \neq m\). En déduire directement que la boule unité fermée n’est pas compacte.
2. De même, dans \(C([0,1])\), on note \(h_k\) la fonction affine par morceaux nulle hors de \(\big[2^{-k-1}, 2^{-k}\big]\), qui vaut \(1\) au milieu de ce segment et qui est affine sur chacune de ses deux moitiés. Calculer \(\|h_k – h_m\|_\infty\) pour \(k \neq m\) et conclure de même.
3. Soit \(E\) un espace normé et \(T \in \mathcal{L}_c(E)\) bijective, d’inverse continu, telle que l’adhérence de \(T\big(\overline{B}(0,1)\big)\) soit compacte. Montrer que \(E\) est de dimension finie.

La figure montre les premières fonctions \(h_k\), à supports disjoints.

Exercice 15 – Normes matricielles subordonnées

Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). On désigne par \(\|A\|_{\infty}\) la norme d’opérateur de \(A\) quand \(\mathbb{R}^n\) porte \(\|\cdot\|_\infty\), et par \(\|A\|_{1}\) celle obtenue avec \(\|\cdot\|_1\).

1. Montrer que \(\|A\|_\infty = \max_i \sum_j |a_{ij}|\).
2. De même, montrer que \(\|A\|_1 = \max_j \sum_i |a_{ij}|\).
3. Application : calculer ces deux normes pour \(A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}\) et donner, pour chacune, un vecteur qui l’atteint.

Pour approfondir

Exercice 16 – Problème : l’espace C1 et la dérivation

On note \(E = C^1([0,1])\) muni de \(\|f\|_{C^1} = \|f\|_\infty + \|f^{\prime}\|_\infty\), et \(F = C([0,1])\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\).

1. Soit \((f_k)\) une suite de Cauchy de \(E\). Montrer que \((f_k)\) et \((f_k^{\prime})\) convergent uniformément vers des fonctions continues \(f\) et \(g\).
2. En écrivant \(f_k(x) = f_k(0) + \int_0^x f_k^{\prime}(t)\,dt\), montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) avec \(f^{\prime} = g\). En déduire que \(E\) est un espace de Banach.
3. Ensuite, montrer que \(D : E \to F\), \(f \mapsto f^{\prime}\), est continue et que \(\|D\| \leqslant 1\).
4. Avec \(f_k(t) = \frac{\sin(kt)}{k}\) pour \(k \geqslant 2\), montrer que \(\|D\| = 1\).
5. Enfin, montrer que la norme de \(D\) n’est pas atteinte.

Exercice 17 – Problème : le dual de l1

On note \((\ell^1)^{\prime} = \mathcal{L}_c(\ell^1, \mathbb{R})\), muni de la norme subordonnée. Pour \(y \in \ell^\infty\), on pose \(\Phi(y)(x) = \sum_{j \geqslant 1} x_j y_j\) pour \(x \in \ell^1\).

1. Montrer que \(\Phi(y)\) est une forme linéaire continue sur \(\ell^1\), avec \(\|\Phi(y)\| \leqslant \|y\|_\infty\).
2. En utilisant les vecteurs \(e_j\), montrer que \(\|\Phi(y)\| = \|y\|_\infty\). Ainsi \(\Phi\) est une isométrie linéaire de \(\ell^\infty\) dans \((\ell^1)^{\prime}\).
3. Inversement, soit \(u \in (\ell^1)^{\prime}\) et \(y_j = u(e_j)\). Montrer que \(y \in \ell^\infty\).
4. Pour \(x \in \ell^1\), montrer que \(\big\|x – \sum_{j=1}^{m} x_j e_j\big\|_1 \to 0\) quand \(m \to +\infty\). En déduire que \(u = \Phi(y)\).
5. Enfin, conclure que \(\Phi\) est une bijection isométrique, et retrouver ainsi que \(\ell^\infty\) est complet.

Exercice 18 – Problème : exponentielle d’une matrice

Une norme est fixée sur \(\mathbb{R}^n\), et \(\|\cdot\|\) désigne la norme d’opérateur qu’elle induit sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

1. Montrer que, pour toute matrice \(A\), la série \(\sum_{k \geqslant 0} \frac{A^k}{k!}\) converge dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). On note \(\exp(A)\) sa somme.
2. Ensuite, établir \(\|\exp(A)\| \leqslant e^{\|A\|}\).
3. Calculer \(\exp(N)\) pour \(N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\).
4. Soit \(\theta \in \mathbb{R}\) et \(J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\). En séparant les puissances paires et impaires, calculer \(\exp(\theta J)\).
5. Enfin, on admet que \(\exp(A + B) = \exp(A)\exp(B)\) lorsque \(AB = BA\). Montrer que \(\exp(A)\) est toujours inversible et donner son inverse.

Exercice 19 – Formes linéaires continues et noyau fermé

Dans tout l’exercice, \(\varphi\) désigne une forme linéaire réelle, non identiquement nulle, sur un espace normé \(E\).

1. Établir que la continuité de \(\varphi\) entraîne la fermeture de \(\ker \varphi\).
2. On se place désormais dans le cas où \(\varphi\) est discontinue. Justifier l’existence de vecteurs \(x_k\) tels que \(\|x_k\| \leqslant 1\) et \(|\varphi(x_k)| \geqslant k\).
3. Ensuite, soit \(a \in E\) tel que \(\varphi(a) = 1\). En considérant \(a – \frac{x_k}{\varphi(x_k)}\), montrer que \(a\) est adhérent à \(\ker \varphi\). En déduire que \(\ker \varphi\) n’est pas fermé, puis qu’il est dense dans \(E\).
4. Application : on munit \(\mathbb{R}[X]\) de la norme \(\|P\| = \sup_{[0,1]} |P|\). Montrer que \(P \mapsto P(2)\) n’est pas continue, puis que l’ensemble des polynômes qui s’annulent en \(2\) est dense dans \((\mathbb{R}[X], \|\cdot\|)\).

Pour aller plus loin

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