Orbites, stabilisateurs et Sylow : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « orbites, stabilisateurs et Sylow », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente se place au semestre 6, dès que le chapitre sur les actions de groupes est terminé. Vous commencerez par trois démonstrations de cours autour de la relation orbite-stabilisateur. Ensuite, le groupe des rotations du cube agit sur les faces, les sommets, les arêtes et les trois axes du cube : vous en déduirez son ordre, puis un morphisme vers un groupe symétrique. Le groupe affine de \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) sert alors à étudier l’action par conjugaison et à écrire une formule des classes complète. Puis vous prouverez que le centre d’un p-groupe est non trivial. Enfin, le problème mobilise les théorèmes de Sylow pour décrire tous les groupes d’ordre 15, puis ceux d’ordre 175.
Ce qu’évalue le contrôle : orbites, stabilisateurs et Sylow
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Actions de groupes, formule des classes et Sylow (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Démontrer la relation orbite-stabilisateur et la conjugaison des stabilisateurs d’une même orbite
- Calculer l’ordre du groupe des rotations du cube en le faisant agir sur ses faces, ses sommets et ses arêtes
- Déterminer les classes de conjugaison du groupe affine de Z/5Z puis écrire sa formule des classes
- Établir la congruence des points fixes sous un p-groupe et en déduire que son centre est non trivial
- Utiliser les théorèmes de Sylow pour montrer qu’un groupe d’ordre 15 est cyclique et qu’un groupe d’ordre 175 est abélien
Avant de commencer le devoir
Chaque fois que vous utilisez la relation orbite-stabilisateur, nommez clairement l’action, l’ensemble et le point choisi, car une même question admet souvent plusieurs actions possibles. Pour les rotations du cube, raisonnez sur les centres des faces et les coordonnées plutôt que sur un dessin. Dans l’exercice 3, calculez d’abord un conjugué général \(g f g^{-1}\), puis lisez ce qui reste invariant. Enfin, pour Sylow, écrivez toujours les deux conditions divisibilité et congruence avant de conclure, et vérifiez ensuite que le nombre trouvé est unique.
Le sujet du contrôle : orbites, stabilisateurs et Sylow
Exercice 1 – Trois résultats de cours sur les actions (3 points)
Dans cet exercice, \(G\) est un groupe fini, d’élément neutre \(e\), qui agit sur un ensemble \(X\). On note \(g \cdot x\) l’image de \(x\) sous l’action de \(g\). Pour \(x \in X\), on pose alors \(\text{Orb}(x) = \{g \cdot x,\ g \in G\}\) et \(\text{Stab}(x) = \{g \in G,\ g \cdot x = x\}\).
- Montrer que \(\text{Stab}(x)\) est un sous-groupe de \(G\).
- Prouver que l’application \(g\,\text{Stab}(x) \mapsto g \cdot x\) est bien définie sur l’ensemble des classes à gauche \(G/\text{Stab}(x)\), puis qu’elle réalise une bijection de cet ensemble sur \(\text{Orb}(x)\). En déduire que \(|\text{Orb}(x)| \times |\text{Stab}(x)| = |G|\).
- Soit \(g \in G\). Établir l’égalité \(\text{Stab}(g \cdot x) = g\,\text{Stab}(x)\,g^{-1}\).
Exercice 2 – Le cube et ses rotations (4 points)
On note \(C = [-1, 1]^3\) le cube de \(\mathbb{R}^3\) et \(G\) l’ensemble des rotations vectorielles de \(\mathbb{R}^3\) (matrices orthogonales de déterminant 1) qui laissent \(C\) globalement invariant. On admet que \(G\) est un groupe fini. Il agit donc sur l’ensemble des six faces, sur celui des huit sommets et sur celui des douze arêtes du cube.
La figure montre la face \(F_1\) d’équation \(x = 1\), son centre \(\Omega(1, 0, 0)\), le sommet \(S(1, 1, 1)\) et le milieu \(M(1, 1, 0)\) d’une arête. Elle montre aussi les trois axes \(\Delta_x\), \(\Delta_y\) et \(\Delta_z\) qui joignent les centres de deux faces opposées.
La figure n’est pas à l’échelle.
- En utilisant les rotations d’angle \(\frac{\pi}{2}\) autour de \(\Delta_y\) et de \(\Delta_z\), justifier que l’action de \(G\) sur les six faces est transitive.
- Montrer que le stabilisateur de \(F_1\) est formé des quatre rotations d’axe \(\Delta_x\) et d’angle \(\frac{k\pi}{2}\), avec \(k \in \{0, 1, 2, 3\}\). En déduire que \(|G| = 24\).
- On admet que \(G\) agit aussi transitivement sur les sommets et sur les arêtes. Déterminer l’ordre du stabilisateur de \(S\), puis celui du stabilisateur de l’arête de milieu \(M\). Donner ensuite la matrice d’un élément non trivial de chacun.
- Le groupe \(G\) agit enfin sur l’ensemble \(D = \{\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z\}\), ce qui fournit un morphisme \(\rho : G \to \mathfrak{S}(D)\). Montrer que le noyau de \(\rho\) contient exactement l’identité et les trois demi-tours d’axes \(\Delta_x\), \(\Delta_y\), \(\Delta_z\). Prouver ensuite que \(\rho\) est surjectif.
Exercice 3 – Applications affines modulo 5 (4 points)
On note \(K = \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\), qui est un corps, et \(K^*\) l’ensemble de ses éléments non nuls. Pour \(a \in K^*\) et \(b \in K\), on définit \(f_{a,b} : K \to K\) par \(f_{a,b}(x) = ax + b\). On admet que \(G = \{f_{a,b},\ a \in K^*,\ b \in K\}\) est un groupe pour la composition, de neutre \(f_{1,\,0}\). Ce groupe agit sur lui-même par conjugaison. La figure représente \(f_{2,\,1}\) : chaque flèche va de \(x\) vers \(f_{2,\,1}(x)\).
- Justifier que \(|G| = 20\). Calculer ensuite \(f_{a,b} \circ f_{c,d}\), puis l’inverse de \(f_{a,b}\).
- Montrer que \(\varphi : f_{a,b} \mapsto a\) est un morphisme surjectif de \(G\) sur \(K^*\), dont le noyau est le sous-groupe \(T\) des translations \(f_{1,b}\).
- Pour \(g = f_{c,d}\), établir que \(g \circ f_{1,b} \circ g^{-1} = f_{1,cb}\). En déduire la classe de conjugaison de \(f_{1,\,1}\), puis l’ordre de son centralisateur.
- On suppose \(a \neq 1\). Montrer que \(f_{a,b}\) admet un unique point fixe \(\omega\), et que \(f_{a,b}(x) – \omega = a(x – \omega)\) pour tout \(x\). Vérifier ce résultat sur la figure. Prouver enfin que la classe de conjugaison de \(f_{a,b}\) est \(\{f_{a,b^{\prime}},\ b^{\prime} \in K\}\).
- Écrire la formule des classes de \(G\), puis en déduire son centre.
Exercice 4 – Points fixes sous un p-groupe (4 points)
Soit \(p\) un nombre premier et \(G\) un groupe d’ordre \(p^n\), avec \(n \geq 1\). On suppose que \(G\) agit sur un ensemble fini \(X\), et l’on note \(X^G\) l’ensemble des points de \(X\) fixés par tous les éléments de \(G\).
- Montrer que \(|X| \equiv |X^G| \pmod{p}\).
- Prouver qu’un groupe d’ordre 27 qui agit sur un ensemble à 10 éléments fixe au moins un point. Montrer de même qu’un groupe d’ordre 49 qui agit sur un ensemble à 20 éléments fixe au moins 6 points.
- En faisant agir \(G\) sur lui-même par conjugaison, démontrer que le centre \(Z(G)\) n’est pas réduit à \(\{e\}\).
- Soit \(H\) un groupe quelconque tel que le quotient \(H/Z(H)\) soit cyclique. Montrer que \(H\) est abélien.
- En déduire que tout groupe d’ordre \(p^2\) est abélien.
Exercice 5 – Problème : groupes d’ordre 15 et 175 (5 points)
Pour un nombre premier \(p\) et un groupe fini \(G\), on note \(n_p\) le nombre de \(p\)-sous-groupes de Sylow de \(G\). La partie B réutilise les raisonnements de la partie A, ainsi que le résultat final de l’exercice 4.
Partie A : un groupe \(G\) d’ordre 15
- Rappeler les trois théorèmes de Sylow : existence, conjugaison, puis conditions sur \(n_p\).
- Déterminer \(n_3\) et \(n_5\). En déduire que \(G\) possède un unique sous-groupe \(P\) d’ordre 5 et un unique sous-groupe \(Q\) d’ordre 3, et que tous deux sont distingués.
- Montrer que \(P \cap Q = \{e\}\). Pour \(x \in P\) et \(y \in Q\), prouver ensuite que \(xyx^{-1}y^{-1}\) appartient à \(P \cap Q\), puis conclure que \(xy = yx\).
- Soit \(x\) un générateur de \(P\) et \(y\) un générateur de \(Q\). Montrer que \(xy\) est d’ordre 15, puis que \(G\) est cyclique.
Partie B : un groupe \(G\) d’ordre \(175 = 5^2 \times 7\)
- Prouver que \(G\) possède un unique 5-Sylow \(P\) et un unique 7-Sylow \(Q\).
- À l’aide de l’exercice 4 et du raisonnement de la question 3, montrer que \(G = PQ\), puis que \(G\) est abélien.
Réviser orbites, stabilisateurs et Sylow avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours actions de groupes, formule des classes et sylow ; entraînez-vous sur les exercices actions de groupes, formule des classes et sylow avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L3 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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