Dunford et Jordan en L3 de maths : cours et méthodes

Les polynômes qui annulent \(u\) forment un idéal de \(\mathbb{K}[X]\), non réduit à zéro. Cet idéal est principal. On note \(\mu_u\) son générateur unitaire et on le nomme polynôme minimal de \(u\). Ainsi, un polynôme annule \(u\) exactement lorsqu’il est multiple de \(\mu_u\).

Les racines de \(\mu_u\) dans \(\mathbb{K}\) sont exactement les valeurs propres de \(u\). De plus, \(\mu_u\) divise \(\chi_u\), donc \(\deg \mu_u \leq n\).

Soit \(\lambda\) une valeur propre et \(x\) un vecteur propre associé. On a \(P(u)(x) = P(\lambda)x\) pour tout polynôme \(P\). En prenant \(P = \mu_u\), on obtient \(\mu_u(\lambda)x = 0\), donc \(\mu_u(\lambda) = 0\). Réciproquement, si \(\mu_u(\lambda) = 0\), on écrit \(\mu_u = (X – \lambda)Q\) avec \(\deg Q < \deg \mu_u\). Alors \(Q(u) \neq 0\) par minimalité. Or \((u – \lambda \, \mathrm{id})\circ Q(u) = 0\), donc l’image de \(Q(u)\), non nulle, est contenue dans \(\ker(u – \lambda \, \mathrm{id})\). Ainsi \(\lambda\) est valeur propre. La divisibilité découle enfin de Cayley-Hamilton.

On se donne \(r\) polynômes \(P_1, \ldots, P_r\), premiers entre eux pris deux à deux, et l’on note \(P\) leur produit. Le noyau de \(P(u)\) se découpe alors ainsi :
\[\ker P(u) = \ker P_1(u) \oplus \cdots \oplus \ker P_r(u).\]
En outre, chaque projection sur l’un des facteurs s’obtient en restreignant à \(\ker P(u)\) un polynôme en \(u\).

Nous traitons \(r = 2\) ; une récurrence donne le cas général. Par Bézout, il existe \(A\) et \(B\) avec \(AP_1 + BP_2 = 1\). D’abord, si \(x \in \ker P_1(u) \cap \ker P_2(u)\), alors \(x = A(u)P_1(u)x + B(u)P_2(u)x = 0\). Ensuite, soit \(x \in \ker P(u)\). On pose \(x_1 = B(u)P_2(u)x\) et \(x_2 = A(u)P_1(u)x\), de sorte que \(x = x_1 + x_2\). Or \(P_1(u)x_1 = B(u)P(u)x = 0\), donc \(x_1 \in \ker P_1(u)\). De même, \(x_2 \in \ker P_2(u)\). L’inclusion réciproque est immédiate, car \(P_1\) et \(P_2\) divisent \(P\). Enfin, les projections \(x \mapsto x_1\) et \(x \mapsto x_2\) sont bien des polynômes en \(u\).

Le sous-espace caractéristique de \(u\) associé à \(\lambda_i\) est \(F_i = \ker (u – \lambda_i \, \mathrm{id})^{m_i}\), où \(m_i\) est la multiplicité de \(\lambda_i\) dans \(\chi_u\).

On a \(E = F_1 \oplus \cdots \oplus F_s\). Chaque \(F_i\) est stable par \(u\) et \(\dim F_i = m_i\). Sur \(F_i\), l’endomorphisme induit \(u_i – \lambda_i \, \mathrm{id}\) est nilpotent. Enfin, \(F_i = \ker(u – \lambda_i\,\mathrm{id})^{k_i}\), où \(k_i\) est la multiplicité de \(\lambda_i\) dans \(\mu_u\).

La somme directe vient du lemme des noyaux. Ensuite, l’endomorphisme \((u – \lambda_i\,\mathrm{id})^{m_i}\) commute avec \(u\), ce qui assure la stabilité de son noyau \(F_i\). Par construction, \((u_i – \lambda_i \,\mathrm{id})^{m_i} = 0\), donc \(u_i\) n’a que \(\lambda_i\) pour valeur propre. Ainsi \(\chi_{u_i} = (X – \lambda_i)^{\dim F_i}\). Or \(\chi_u\) est le produit des \(\chi_{u_i}\), et l’identification des exposants donne \(\dim F_i = m_i\). Le même raisonnement, mené avec \(\mu_u\) au lieu de \(\chi_u\), fournit la dernière égalité.

Prenons \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -3 \\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix}\). Un calcul direct donne \(\chi_A = (X – 2)^2(X + 1)\). D’abord, \(\ker(A + I_3)\) est la droite engendrée par \((0, 1, 1)\). Ensuite,
\[(A – 2I_3)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -9 & 0 & 9 \\ -9 & 0 & 9 \end{pmatrix},\]
donc \(F_2 = \ker(A – 2I_3)^2\) est le plan d’équation \(x = z\). En revanche, \(\ker(A – 2I_3)\) est seulement la droite dirigée par \((1, 0, 1)\). Par conséquent, \(A\) n’est pas diagonalisable et \(\mu_A = (X – 2)^2(X + 1)\).

On suppose \(\chi_u\) scindé. Il existe un unique couple \((d, n)\) d’endomorphismes de \(E\) tel que :

• \(u = d + n\) ;
• \(d\) est diagonalisable et \(n\) est nilpotent ;
• \(d \circ n = n \circ d\).

De plus, \(d\) et \(n\) sont des polynômes en \(u\).

Existence. Notons \(p_i\) le projecteur sur \(F_i\) parallèlement aux autres sous-espaces caractéristiques. D’après le lemme des noyaux, chaque \(p_i\) est un polynôme en \(u\). Posons \(d = \sum \lambda_i p_i\) et \(n = u – d\). Ainsi \(d\) vaut \(\lambda_i \,\mathrm{id}\) sur \(F_i\) : il est diagonalisable. Ensuite, \(n\) coïncide avec \(u – \lambda_i \,\mathrm{id}\) sur chaque \(F_i\), donc \(n^{m} = 0\) pour \(m = \max m_i\). Enfin, ces deux endomorphismes s’expriment polynomialement en \(u\), ce qui garantit leur commutation.

Unicité. Considérons un second couple \((d^{\prime}, n^{\prime})\) vérifiant les trois conditions. Comme \(d^{\prime}\) commute avec \(n^{\prime}\), il commute avec \(u\), donc avec tout polynôme en \(u\), en particulier avec \(d\) et \(n\). Or \(n^{\prime} – n\) est égal à \(d – d^{\prime}\). Le membre de gauche est diagonalisable, car \(d\) et \(d^{\prime}\) commutent et sont diagonalisables, donc codiagonalisables. Le membre de droite est nilpotent, par la formule du binôme. Un endomorphisme à la fois diagonalisable et nilpotent est nul, d’où \(d = d^{\prime}\) et \(n = n^{\prime}\).

Pour calculer la décomposition de Dunford d’une matrice \(A\) :

1. factoriser \(\chi_A\) (ou \(\mu_A\)) en facteurs \((X – \lambda_i)^{m_i}\) ;
2. écrire une relation de Bézout entre ces facteurs, ce qui donne les projecteurs \(p_i\) comme polynômes en \(A\) ;
3. poser \(D = \sum \lambda_i p_i\) et \(N = A – D\) ;
4. contrôler que \(N\) est nilpotente et que \(DN = ND\).

Reprenons la matrice \(A\) de la partie 2, avec \(\chi_A = (X – 2)^2(X + 1)\). On cherche une relation de Bézout entre \((X – 2)^2\) et \(X + 1\). Le développement donne \((X – 2)^2 – (X + 1)(X – 5) = 9\). Par conséquent,
\[p_{-1} = \tfrac{1}{9}(A – 2I_3)^2, \qquad p_2 = I_3 – p_{-1}.\]
Le calcul fournit \(p_{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). Ensuite, \(D = 2p_2 – p_{-1} = 2I_3 – 3p_{-1}\), d’où
\[D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad N = A – D = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.\]
On vérifie enfin que \(N^2 = 0\) et que \(DN = ND\). Ces deux contrôles sont indispensables.

Soit \(T = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\). On a \(T = \Delta + U\) avec \(\Delta = \mathrm{diag}(1, 3)\) et \(U\) nilpotente. Pourtant \(\Delta U\) a pour coefficient \(5\) en haut à droite, alors que \(U\Delta\) a pour coefficient \(15\). En réalité, \(T\) a deux valeurs propres distinctes, donc elle est diagonalisable : sa décomposition de Dunford est \(D = T\) et \(N = 0\).

On dit que \(v\) est nilpotent lorsqu’une de ses puissances est l’endomorphisme nul. Dans ce cas, l’entier \(p = \min\{k \geq 1 : v^k = 0\}\) s’appelle l’indice de nilpotence de \(v\), et \(\mu_v = X^p\).

Soit \(v\) nilpotent d’indice \(p\). La suite \(d_k = \dim \ker v^k\) croît strictement de \(d_0 = 0\) à \(d_p = n\), puis elle reste constante. En particulier, \(p \leq n\).

Les inclusions \(\ker v^k \subset \ker v^{k+1}\) sont claires. Supposons que les noyaux d’ordre \(k\) et \(k + 1\) coïncident. Prenons \(x\) annulé par \(v^{k+2}\). Le vecteur \(v(x)\) est annulé par \(v^{k+1}\), donc aussi par \(v^k\), ce qui signifie \(v^{k+1}(x) = 0\). Ainsi, dès qu’un palier apparaît, la suite reste stationnaire. Or \(\ker v^p = E\) et \(\ker v^{p-1} \neq E\). Par conséquent, aucun palier n’existe avant le rang \(p\). Enfin, \(p\) sauts d’au moins 1 mènent de 0 à \(n\), donc \(p \leq n\).

Posons \(\delta_k = d_k – d_{k-1}\) pour \(k \geq 1\). Alors \(\delta_1 \geq \delta_2 \geq \cdots \geq \delta_p \geq 1\).

Soit \(S\) un supplémentaire de \(\ker v^{k}\) dans \(\ker v^{k+1}\), donc \(\dim S = \delta_{k+1}\). L’application \(v\) envoie \(S\) dans \(\ker v^{k}\). De plus, \(v(S) \cap \ker v^{k-1} = \{0\}\) : en effet, si \(v(x) \in \ker v^{k-1}\) avec \(x \in S\), alors \(x \in \ker v^k \cap S = \{0\}\). Le même argument montre que \(v\) est injective sur \(S\). Ainsi \(v(S)\) est un sous-espace de dimension \(\delta_{k+1}\) dans \(\ker v^k\), en somme directe avec \(\ker v^{k-1}\). D’où \(\delta_{k+1} \leq \delta_k\).

Considérons \(N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\). Pour \(x = (x_1, x_2, x_3, x_4)\), on trouve \(Nx = (x_2, x_3, 0, x_2 – x_3)\). Donc \(\ker N\) est défini par \(x_2 = x_3 = 0\) et \(d_1 = 2\). Ensuite, \(N^2\) n’a qu’une colonne non nulle, la troisième, égale à \((1, 0, 0, 1)\). Ainsi \(\ker N^2\) est l’hyperplan \(x_3 = 0\) et \(d_2 = 3\). Enfin, \(N^3 = 0\), d’où \(d_3 = 4\) et un indice égal à 3. Les sauts valent \(2, 1, 1\).

Soit \(v\) nilpotent d’indice \(p\). On peut choisir une base de \(E\) où \(v\) est représenté par une juxtaposition diagonale de blocs \(J_{q}(0)\). Le nombre de blocs de taille au moins \(k\) vaut \(\delta_k = \dim \ker v^k – \dim \ker v^{k-1}\). Par conséquent, les tailles des blocs sont les hauteurs des colonnes du tableau de Young, et elles ne dépendent pas de la base choisie.

Nous construisons la base par couches, du haut vers le bas. D’abord, on choisit un supplémentaire \(S_p\) de \(\ker v^{p-1}\) dans \(\ker v^p = E\). Ensuite, le lemme de la partie 4 montre que \(v(S_p)\) est en somme directe avec \(\ker v^{p-2}\) dans \(\ker v^{p-1}\). On complète donc \(v(S_p)\) en un supplémentaire \(S_{p-1}\) de \(\ker v^{p-2}\) dans \(\ker v^{p-1}\). On recommence jusqu’à \(S_1\), supplémentaire de \(\{0\}\) dans \(\ker v\). À chaque étape, on ne garde comme nouveaux points de départ que les vecteurs ajoutés lors de la complétion. Chaque vecteur ajouté dans \(S_k\) engendre une chaîne de longueur \(k\). La réunion de toutes les chaînes est une base, car \(E = S_1 \oplus \cdots \oplus S_p\). Enfin, le nombre de chaînes de longueur au moins \(k\) est \(\dim S_k = \delta_k\).

On part d’un vecteur hors de \(\ker N^2\), par exemple \(e_3\). Alors \(Ne_3 = (0, 1, 0, -1)\) et \(N^2 e_3 = (1, 0, 0, 1)\), puis \(N^3 e_3 = 0\). Ensuite, on complète \(N^2 e_3\) en une base de \(\ker N = \mathrm{Vect}(e_1, e_4)\) : le vecteur \(e_1\) convient. Dans la base \((N^2e_3, Ne_3, e_3, e_1)\), la matrice de \(N\) vaut donc \(J_3(0) \oplus J_1(0)\).

Supposons \(\chi_u\) scindé. Alors \(u\) admet une base adaptée où sa matrice juxtapose, le long de la diagonale, des blocs \(J_q(\lambda)\), avec \(\lambda\) valeur propre. Cette réduite de Jordan est unique à l’ordre des blocs près. Pour chaque \(\lambda\), le nombre de blocs \(J_q(\lambda)\) avec \(q \geq k\) vaut \(\dim \ker (u – \lambda\,\mathrm{id})^k – \dim \ker (u – \lambda\,\mathrm{id})^{k-1}\).

Pour trouver la réduite de Jordan d’une matrice \(A\) et une base adaptée :

1. factoriser \(\chi_A\) ;
2. pour chaque valeur propre \(\lambda\), calculer les rangs de \((A – \lambda I)^k\) jusqu’à stabilisation, ce qui fixe les tailles des blocs ;
3. pour chaque bloc de taille \(q\), choisir un vecteur de \(\ker(A – \lambda I)^q\) hors de \(\ker(A – \lambda I)^{q-1}\), sans dépendance avec les chaînes déjà construites ;
4. écrire chaque chaîne de la fin vers le début dans la matrice de passage.

Soit \(B =\begin{pmatrix} 4 & -1 & -1 & 1 \\ 4 & -5 & -4 & 4 \\ 1 & -1 & 2 & 1 \\ 4 & -8 & -4 & 7 \end{pmatrix}\), dont le polynôme caractéristique est \((X – 3)^3(X + 1)\). La matrice \(B – 3I_4\) n’a que deux lignes distinctes, \((1, -1, -1, 1)\) et \((4, -8, -4, 4)\), qui sont indépendantes. Elle est donc de rang 2, et \(\dim \ker(B – 3I_4) = 2\). Ainsi la valeur propre 3 porte deux blocs, dont les tailles ont pour somme 3 : ce sont \(J_2(3)\) et \(J_1(3)\).

Pour la chaîne longue, on prend \(y = (2, 1, 0, 0)\), qui annule \((B – 3I_4)^2\) mais pas \(B – 3I_4\). On obtient \((B – 3I_4)y = (1, 0, 1, 0)\). Ensuite, \((-1, 0, 0, 1)\) complète \((1, 0, 1, 0)\) en une base de \(\ker(B – 3I_4)\). Enfin, \((0, 1, 0, 1)\) engendre \(\ker(B + I_4)\). Dans la base \(\big((1,0,1,0), y, (-1,0,0,1), (0,1,0,1)\big)\), la matrice devient \(J_2(3) \oplus J_1(3) \oplus J_1(-1)\).

Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), de polynômes caractéristiques scindés. Elles sont semblables si et seulement si elles ont les mêmes valeurs propres et si, pour chaque valeur propre \(\lambda\) et chaque \(k \in \{1, \ldots, n\}\), on a \(\mathrm{rg}(A – \lambda I_n)^k = \mathrm{rg}(B – \lambda I_n)^k\).

Si \(B = P^{-1}AP\), alors \((B – \lambda I_n)^k = P^{-1}(A – \lambda I_n)^k P\), donc les rangs coïncident. Réciproquement, les rangs donnent les dimensions des noyaux itérés, donc les sauts \(\delta_k\) pour chaque valeur propre. Par le théorème de Jordan, ces sauts déterminent la réduite. Ainsi \(A\) et \(B\) sont semblables à la même réduite, donc semblables entre elles.

Soient \(N_1 = J_2(0) \oplus J_2(0)\) et \(N_2 = J_2(0) \oplus J_1(0) \oplus J_1(0)\), de taille 4. Toutes deux vérifient \(\chi = X^4\) et \(\mu = X^2\). Pourtant \(\mathrm{rg}\, N_1 = 2\) et \(\mathrm{rg}\, N_2 = 1\). Par conséquent, elles ne sont pas semblables. Le couple formé du polynôme caractéristique et du polynôme minimal ne suffit donc pas à partir de la dimension 4.

On peut associer à \(u\) une liste \(P_1, \ldots, P_r\) de polynômes unitaires de degré au moins 1, chacun divisant le suivant, ainsi qu’une base où \(u\) a pour matrice \(C(P_1) \oplus \cdots \oplus C(P_r)\). Cette liste est déterminée par \(u\) seul : ce sont ses invariants de similitude. On a \(P_r = \mu_u\) et \(P_1 \cdots P_r = \chi_u\). Deux matrices sont semblables si et seulement si elles ont les mêmes invariants. Nous admettons ce théorème, dit de Frobenius.

Quand \(\chi_u\) est scindé, on passe de Jordan aux invariants ainsi. Pour chaque valeur propre, on range les tailles de blocs par ordre décroissant. Ensuite, \(P_r\) est le produit des \((X – \lambda)^{q}\) pour les plus grands blocs, \(P_{r-1}\) le produit pour les blocs suivants, et ainsi de suite. Par exemple, la réduite \(J_3(0) \oplus J_1(0) \oplus J_2(5)\) a pour invariants \(P_1 = X\) et \(P_2 = X^3(X – 5)^2\).

On note \(E^*\) l’espace \(\mathcal{L}(E, \mathbb{K})\), appelé dual de \(E\) ; ses éléments sont les formes linéaires. Partons d’une base \((e_1, \ldots, e_n)\). Pour chaque indice \(i\), la forme \(e_i^*\) lit la \(i\)-ème coordonnée : elle vaut 1 en \(e_i\) et 0 en chaque autre \(e_j\). La famille \((e_1^*, \ldots, e_n^*)\) engendre \(E^*\) et elle est libre ; on la nomme base duale. Ainsi \(x = \sum e_i^*(x)\, e_i\).

Dans \(\mathbb{R}^2\), prenons \(v_1 = (3, 1)\) et \(v_2 = (2, 1)\). La matrice des deux vecteurs est \(\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\), de déterminant 1, et son inverse vaut \(\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\). Donc \(v_1^*(x, y) = x – 2y\) et \(v_2^*(x, y) = -x + 3y\). On vérifie : \(v_1^*(v_2) = 2 – 2 = 0\) et \(v_2^*(v_1) = -3 + 3 = 0\). Ainsi le noyau de \(v_1^*\) est la droite portée par \(v_2\), et réciproquement.

L’orthogonal d’un sous-espace \(F\) de \(E\) est \(F^{\circ} = \{\varphi \in E^* : \varphi(x) = 0 \text{ pour tout } x \in F\}\). C’est un sous-espace de \(E^*\).

On a \(\dim F^{\circ} = n – \dim F\).

Prenons une base \((e_1, \ldots, e_m)\) de \(F\), prolongée en une base \((e_1, \ldots, e_n)\) de \(E\). Décomposons \(\varphi = \sum c_i e_i^*\). Comme \(c_i = \varphi(e_i)\), la forme \(\varphi\) est nulle sur \(F\) exactement lorsque \(c_1 = \cdots = c_m = 0\). Ainsi \(F^{\circ} = \mathrm{Vect}(e_{m+1}^*, \ldots, e_n^*)\), de dimension \(n – m\).

La transposée de \(u\) est l’endomorphisme \({}^t u\) de \(E^*\) défini par \({}^t u(\varphi) = \varphi \circ u\).

Si \(A\) est la matrice de \(u\) dans une base \(\mathcal{B}\), la matrice de \({}^t u\) dans la base duale \(\mathcal{B}^*\) est \(A^{T}\). De plus, \(\ker {}^t u = (\mathrm{Im}\, u)^{\circ}\), et \(u\) a le même rang que sa transposée.

Le coefficient \((i, j)\) de la matrice de \({}^t u\) vaut \({}^t u(e_j^*)(e_i) = e_j^*(u(e_i)) = a_{ji}\). C’est bien le coefficient de \(A^T\). Ensuite, \(\varphi \circ u = 0\) signifie exactement que \(\varphi\) s’annule sur \(\mathrm{Im}\, u\). Enfin, la proposition précédente donne \(\dim \ker {}^t u = n – \mathrm{rg}\, u\), puis le théorème du rang conclut.

Toute matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) est semblable à sa transposée.

Pour tout \(\lambda\) et tout \(k\), on a \((A^T – \lambda I_n)^k = \big((A – \lambda I_n)^k\big)^T\). Or une matrice et sa transposée ont le même rang. Le critère de la partie 6 s’applique donc directement.

• S’exercer : exercices corrigés de L3 de maths sur dunford et Jordan
• Chapitre d’avant : Extensions algébriques et corps finis
• Chapitre d’après : Différentielle de Fréchet et formules de Taylor
• Vérifier ses acquis : QCM de L3 de maths sur dunford et Jordan
• Contrôle corrigé en temps limité : Réduites de Jordan et similitude : contrôle de maths en L3
• Tous les chapitres : le sommaire de la L3 de maths
• Après le bac : les maths post-bac, de la MPSI à la L3