Résidus et séries de Laurent en L3 de maths : cours et méthodes
Ce chapitre prolonge directement la formule de Cauchy du semestre 6. Nous y développons une fonction holomorphe sur une couronne grâce aux séries de Laurent, puis nous classons ses singularités isolées : fausses singularités, pôles et singularités essentielles. Ensuite, l’indice d’un lacet permet d’énoncer proprement le théorème des résidus.
Ce cours de résidus L3 insiste surtout sur la pratique. D’abord, nous rassemblons les formules rapides de calcul d’un résidu. Ensuite, nous expliquons pas à pas le choix du contour pour les trois grandes familles d’intégrales réelles : fractions trigonométriques, fractions rationnelles et intégrales de type Fourier. Pour finir, nous dénombrons les racines d’une fonction dans un disque sans les calculer, d’abord grâce au principe de l’argument, puis grâce au théorème de Rouché.
Vous trouverez à chaque étape un exemple guidé, une méthode et les pièges classiques des partiels, car ces calculs reviennent dans presque toutes les épreuves d’analyse complexe.
Ce que vous saurez faire
- Développer une fonction holomorphe en série de Laurent sur une couronne bien choisie.
- Classer une singularité isolée : fausse singularité, pôle d’ordre donné ou singularité essentielle.
- Calculer l’indice d’un lacet autour d’un point, puis un résidu par la formule la plus rapide.
- Appliquer le théorème des résidus en vérifiant quels pôles sont entourés.
- Calculer une intégrale réelle en choisissant le contour adapté et en contrôlant les arcs.
- Compter les zéros d’une fonction dans un disque ou une couronne par le théorème de Rouché.
1. Séries de Laurent sur une couronne
Sur un disque, l’holomorphie fournit un développement en série entière. Or les fonctions rencontrées en pratique présentent souvent un trou : un point, ou tout un disque, leur échappe. Par exemple, \( z \mapsto 1/z \) n’admet aucun développement en série entière autour de \( 0 \). Nous autorisons donc des puissances négatives. Le bon domaine devient alors une couronne.
Pour \( a \in \mathbb{C} \) et \( 0 \leq r < R \leq +\infty \), on note \( A(a, r, R) = \{ z \in \mathbb{C} : r < |z – a| < R \} \) la couronne de centre \( a \). Le cas \( r = 0 \) donne un disque épointé, et le cas \( R = +\infty \) donne l’extérieur d’un disque.
1.1 Existence et unicité du développement
Soit \( f \) holomorphe sur la couronne \( A(a, r, R) \). Il existe une unique famille \( (c_n)_{n \in \mathbb{Z}} \) de complexes telle que, pour tout \( z \) de la couronne,
\[ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n (z-a)^n , \]
les deux séries \( \sum_{n \geq 0} \) et \( \sum_{n \geq 1} \) convergeant normalement sur tout compact de la couronne. De plus, pour tout \( \rho \in \, ]r, R[ \),
\[ c_n = \frac{1}{2 i \pi} \int_{|w-a| = \rho} \frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}} \, dw . \]
Fixons \( z \) dans la couronne, puis deux rayons \( s \) et \( t \) qui encadrent \( |z-a| \), avec \( r < s \) et \( t < R \). D’abord, la formule de Cauchy appliquée au bord orienté de la petite couronne \( s < |w-a| < t \) donne \( f(z) \) comme différence de deux intégrales. Sur le grand cercle, on a \( |z-a| < |w-a| \) : on développe donc \( 1/(w-z) \) en série géométrique de raison \( (z-a)/(w-a) \). On obtient ainsi les puissances positives. Sur le petit cercle, en revanche, \( |w-a| < |z-a| \) : on développe en raison \( (w-a)/(z-a) \), ce qui fait apparaître les puissances négatives. La convergence uniforme sur les cercles autorise l’échange somme-intégrale. Enfin, l’unicité vient de l’orthogonalité \( \int_{|w-a|=\rho} (w-a)^{k} \, dw = 2 i \pi \) si \( k = -1 \) et \( 0 \) sinon.
La partie \( \sum_{n \geq 0} c_n (z-a)^n \) s’appelle la partie régulière. La partie \( \sum_{n \geq 1} c_{-n} (z-a)^{-n} \) s’appelle la partie principale. Notons surtout le coefficient \( c_{-1} \) : il est le seul à survivre à une intégration sur un cercle.
1.2 Calcul pratique des coefficients
En pratique, on n’utilise presque jamais la formule intégrale. On préfère manipuler des séries connues : série géométrique, exponentielle, sinus. L’unicité garantit alors que le résultat est le bon développement. Toutefois, une même fonction possède en général plusieurs développements, un par couronne.
- Repérer les singularités et tracer les cercles centrés en \( a \) qui passent par elles.
- Décomposer la fonction en éléments simples si c’est une fraction rationnelle.
- Pour chaque terme \( 1/(z-b) \), comparer \( |z-a| \) et \( |b-a| \) sur la couronne choisie.
- Factoriser par le plus grand des deux modules, puis développer en série géométrique.
Développons \( f(z) = \dfrac{4}{(z-1)(z+3)} \) sur la couronne \( 1 < |z| < 3 \). D’abord, \( f(z) = \dfrac{1}{z-1} – \dfrac{1}{z+3} \). Ensuite, comme \( |z| > 1 \), on factorise par \( z \) :
\[ \frac{1}{z-1} = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 – 1/z} = \sum_{n \geq 1} z^{-n} . \]
De plus, comme \( |z| < 3 \), on factorise par \( 3 \) :
\[ \frac{1}{z+3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 + z/3} = \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{3^{n+1}} z^n . \]
Finalement, \( c_{-n} = 1 \) pour \( n \geq 1 \) et \( c_n = (-1)^{n+1}/3^{n+1} \) pour \( n \geq 0 \). En particulier \( c_{-1} = 1 \).
La figure suivante montre les deux pôles et la couronne où ce développement est valable. Tout cercle centré en \( 0 \) tracé dans cette couronne convient pour calculer les coefficients.
Piège à éviter :
Le développement dépend de la couronne. Sur \( |z| < 1 \), le même \( f \) est holomorphe et sa série n’a aucune puissance négative. Ainsi, parler « du » développement de Laurent sans préciser la couronne n’a pas de sens.
2. Singularités isolées et fonctions méromorphes
Soit \( U \) un ouvert, \( a \in U \) et \( f \) holomorphe sur \( U \setminus \{a\} \). On dit alors que \( a \) est une singularité isolée de \( f \). Sur un disque épointé \( 0 < |z-a| < \delta \), la fonction admet un développement de Laurent. C’est sa partie principale qui décide de la nature du point.
2.1 Les trois types de singularités
Soit \( \sum_{k} c_k (z-a)^k \) le développement de \( f \) sur un disque épointé centré en \( a \).
- Si \( c_n = 0 \) pour tout \( n < 0 \), le point \( a \) est une fausse singularité : \( f \) se prolonge en une fonction holomorphe en \( a \).
- S’il existe \( m \geq 1 \) avec \( c_{-m} \neq 0 \) et \( c_n = 0 \) pour \( n < -m \), le point \( a \) est un pôle d’ordre \( m \).
- Si \( c_n \neq 0 \) pour une infinité d’indices négatifs, le point \( a \) est une singularité essentielle.
Le développement complet est souvent long à obtenir. Heureusement, des critères portant sur le module suffisent dans la plupart des cas.
Avec les notations précédentes :
- (Riemann) \( a \) est une fausse singularité si et seulement si \( f \) est bornée au voisinage de \( a \) ;
- \( a \) est un pôle si et seulement si \( |f(z)| \to +\infty \) quand \( z \to a \) ;
- \( a \) est un pôle d’ordre \( m \) si et seulement si \( f(z) = g(z)/(z-a)^m \) avec \( g \) holomorphe près de \( a \) et \( g(a) \neq 0 \).
Montrons le critère de Riemann. Supposons \( |f| \leq M \) sur \( 0 < |z-a| < \delta \). Pour \( n \geq 1 \) et \( 0 < \rho < \delta \), la formule des coefficients donne \( |c_{-n}| \leq M \rho^{n} \). En faisant tendre \( \rho \) vers \( 0 \), on obtient \( c_{-n} = 0 \). Par conséquent, la partie principale est nulle. Pour les pôles, on applique ensuite ce critère à \( 1/f \), qui tend vers \( 0 \) et possède donc en \( a \) un zéro d’ordre fini.
Remarque :
Près d’une singularité essentielle, le comportement est très sauvage. En effet, le théorème de Casorati-Weierstrass affirme que l’image de tout disque épointé est dense dans \( \mathbb{C} \). Ce résultat sert surtout à reconnaître une singularité essentielle : deux limites différentes selon deux chemins suffisent.
Classons la singularité \( 0 \) pour trois fonctions.
- \( f_1(z) = \dfrac{e^{2z}-1}{z} = 2 + 2z + \dfrac{4}{3} z^2 + \cdots \) : aucune puissance négative, donc fausse singularité, prolongée par \( f_1(0) = 2 \).
- \( f_2(z) = \dfrac{\sin z}{z^4} = \dfrac{1}{z^3} – \dfrac{1}{6z} + \dfrac{z}{120} – \cdots \) : pôle d’ordre \( 3 \), et le coefficient de \( 1/z \) vaut \( -1/6 \).
- \( f_3(z) = e^{-1/z^2} \) : sur l’axe réel, \( f_3(x) \to 0 \) ; sur l’axe imaginaire, \( f_3(iy) = e^{1/y^2} \to +\infty \). Ni bornée ni de module tendant vers l’infini, \( f_3 \) a donc une singularité essentielle.
2.2 Fonctions méromorphes
On qualifie \( f \) de méromorphe sur l’ouvert \( U \) lorsque deux conditions sont réunies. D’une part, \( f \) est holomorphe en dehors d’un ensemble \( P \subset U \) formé de points isolés, qui ne s’accumulent en aucun point de \( U \). D’autre part, chaque élément de \( P \) est un pôle de \( f \).
Les fractions rationnelles sont méromorphes sur \( \mathbb{C} \). De même, \( \tan \), \( 1/\sin \) ou \( z \mapsto \pi \cot(\pi z) \) le sont, avec une infinité de pôles. De plus, le quotient de deux fonctions holomorphes sur un ouvert connexe, le dénominateur n’étant pas identiquement nul, est méromorphe : ses zéros sont isolés.
La fonction \( g(z) = 1/\sin(1/z) \) n’est pas méromorphe sur \( \mathbb{C} \). En effet, ses pôles \( 1/(k\pi) \), pour \( k \in \mathbb{Z}^* \), s’accumulent en \( 0 \). Ainsi, \( 0 \) n’est même pas une singularité isolée : aucun disque épointé centré en \( 0 \) n’est inclus dans le domaine d’holomorphie. Par conséquent, la classification précédente ne s’applique pas en ce point.
3. Indice d’un lacet
Le théorème des résidus doit tenir compte du nombre de tours qu’un chemin fait autour de chaque pôle. Un cercle parcouru deux fois compte en effet double. Nous introduisons donc un entier qui mesure ce nombre de tours.
Soit \( \gamma : [\alpha, \beta] \to \mathbb{C} \) un lacet de classe \( C^1 \) par morceaux et \( a \) un point hors de son image \( \Gamma = \gamma([\alpha, \beta]) \). L’indice de \( \gamma \) par rapport à \( a \) est
\[ \mathrm{Ind}_\gamma(a) = \frac{1}{2 i \pi} \int_\gamma \frac{dz}{z – a} . \]
L’application \( a \mapsto \mathrm{Ind}_\gamma(a) \) prend des valeurs entières en dehors de \( \Gamma \). Elle est constante sur chaque composante connexe de cet ouvert. Enfin, elle est nulle sur l’unique composante non bornée.
Posons \( \varphi(t) = \exp\left( \int_\alpha^t \frac{\gamma^{\prime}(s)}{\gamma(s) – a} \, ds \right) \). Un calcul direct montre que la dérivée de \( \varphi/(\gamma – a) \) est nulle. Donc \( \varphi(t) = (\gamma(t) – a)/(\gamma(\alpha) – a) \). Comme le lacet est fermé, \( \varphi(\beta) = 1 \), si bien que l’intégrale appartient à \( 2 i \pi \mathbb{Z} \). Ensuite, l’indice dépend continûment de \( a \) : continu et entier, il est localement constant. Enfin, il tend vers \( 0 \) quand \( |a| \to +\infty \), car l’intégrande est majoré par une quantité de l’ordre de \( 1/|a| \).
Concrètement, l’indice mesure un enroulement algébrique : chaque rotation trigonométrique ajoute \( 1 \), alors que chaque rotation horaire retire \( 1 \). Ainsi, pour le cercle \( t \mapsto a + \rho e^{ikt} \), \( t \in [0, 2\pi] \), on trouve \( \mathrm{Ind}(a) = k \). La figure montre un lacet qui fait deux tours autour des points de sa boucle intérieure.
Piège à éviter :
Un point sur le lacet n’a pas d’indice. Avant d’appliquer un théorème, il faut donc vérifier qu’aucune singularité ne se trouve sur le contour. Par exemple, le cercle \( |z| = 2 \) ne convient pas pour une fonction ayant un pôle en \( 2i \).
4. Calcul des résidus et théorème des résidus
Soit \( a \) une singularité isolée de \( f \). Le résidu de \( f \) en \( a \), noté \( \mathrm{Res}(f, a) \), est le coefficient \( c_{-1} \) de son développement de Laurent sur un disque épointé centré en \( a \). Autrement dit, pour \( \rho \) assez petit,
\[ \mathrm{Res}(f, a) = \frac{1}{2 i \pi} \int_{|z-a| = \rho} f(z) \, dz . \]
4.1 Formules rapides
- Pôle simple : \( \mathrm{Res}(f, a) = \lim_{z \to a} (z-a) f(z) \).
- Quotient : si \( f = g/h \) avec \( g(a) \neq 0 \), \( h(a) = 0 \) et \( h^{\prime}(a) \neq 0 \), alors \( \mathrm{Res}(f, a) = g(a)/h^{\prime}(a) \).
- Pôle d’ordre \( m \) : \( \mathrm{Res}(f, a) = \dfrac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to a} \dfrac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z-a)^m f(z) \right] \).
- Fausse singularité : le résidu est nul.
La troisième formule vient du fait que \( (z-a)^m f(z) \) est holomorphe. Son coefficient d’indice \( m-1 \) est précisément \( c_{-1} \). Cependant, au-delà de l’ordre \( 2 \), un développement limité est souvent plus rapide que la dérivation.
- Déterminer l’ordre du pôle en factorisant le dénominateur ou en comptant l’ordre du zéro.
- Pôle simple : utiliser \( g(a)/h^{\prime}(a) \), qui évite toute factorisation.
- Pôle double : dériver une seule fois \( (z-a)^2 f(z) \).
- Pôle d’ordre \( 3 \) ou plus, ou singularité essentielle : poser \( z = a + u \) et développer en \( u \) jusqu’au terme en \( u^{-1} \).
Soit \( f(z) = \dfrac{e^z}{z^2 (z-1)} \). D’abord, \( 1 \) est un pôle simple et \( \mathrm{Res}(f, 1) = e^1 / 1^2 = e \). Ensuite, \( 0 \) est un pôle double. Posons \( h(z) = z^2 f(z) = e^z/(z-1) \). Alors \( h^{\prime}(z) = e^z (z-2)/(z-1)^2 \), donc \( \mathrm{Res}(f, 0) = h^{\prime}(0) = -2 \).
4.2 Le théorème des résidus
Soit \( U \) un ouvert étoilé, \( S \) une partie finie de \( U \) et \( f \) holomorphe sur \( U \setminus S \). Pour tout lacet \( \gamma \) de \( U \setminus S \), de classe \( C^1 \) par morceaux,
\[ \int_\gamma f(z) \, dz = 2 i \pi \sum_{a \in S} \mathrm{Ind}_\gamma(a) \, \mathrm{Res}(f, a) . \]
Pour chaque \( a \in S \), notons \( P_a \) la partie principale de \( f \) en \( a \). C’est une série en \( 1/(z-a) \) qui converge sur \( \mathbb{C} \setminus \{a\} \). La fonction \( g = f – \sum_{a \in S} P_a \) n’a alors que des fausses singularités. Prolongée, elle est holomorphe sur l’ouvert étoilé \( U \), donc \( \int_\gamma g = 0 \) par le théorème de Cauchy. Enfin, on intègre \( P_a \) terme à terme : seul \( c_{-1}/(z-a) \) donne une contribution, égale à \( 2 i \pi \, \mathrm{Ind}_\gamma(a) \, c_{-1} \).
Reprenons l’exemple précédent sur le cercle \( |z| = 2 \) parcouru une fois dans le sens direct. Les deux pôles sont à l’intérieur, chacun d’indice \( 1 \). Par conséquent, \( \int_{|z|=2} f(z) \, dz = 2 i \pi (e – 2) \).
5. Intégrales réelles par la méthode des résidus
Le principal usage concret des résidus est le calcul d’intégrales réelles sans primitive explicite. L’idée tient en trois temps. D’abord, on choisit une fonction holomorphe dont la restriction à l’axe réel donne l’intégrande. Ensuite, on ferme le chemin réel par un arc. Enfin, on montre que l’arc ne contribue pas à la limite.
5.1 Fractions rationnelles en cosinus et sinus
Pour \( I = \int_0^{2\pi} R(\cos t, \sin t) \, dt \), on pose \( z = e^{it} \). Le segment \( [0, 2\pi] \) devient alors le cercle unité parcouru une fois. De plus, on remplace \( \cos t = (z + z^{-1})/2 \), \( \sin t = (z – z^{-1})/(2i) \) et \( dt = dz/(iz) \). Seuls comptent ensuite les pôles de module strictement inférieur à \( 1 \).
Calculons \( I = \int_0^{2\pi} \dfrac{dt}{13 + 5 \sin t} \). Après substitution,
\[ I = \int_{|z|=1} \frac{2 \, dz}{5z^2 + 26 i z – 5} . \]
Le discriminant réduit vaut \( (13i)^2 + 25 = -144 \). Les racines sont donc \( -i/5 \) et \( -5i \). Seule \( -i/5 \) est dans le disque unité. Par la formule du quotient, le résidu vaut \( 2/(10 \cdot (-i/5) + 26 i) = 2/(24 i) \). Finalement, \( I = 2 i \pi \cdot \dfrac{1}{12 i} = \dfrac{\pi}{6} \).
5.2 Fractions rationnelles sur la droite réelle
Soit \( F = P/Q \) une fraction sans pôle réel, avec \( \deg Q \geq \deg P + 2 \). L’intégrale \( \int_{\mathbb{R}} F \) converge alors absolument. On intègre \( F \) sur le bord du demi-disque supérieur de rayon \( R \), comme sur la figure.
Sous ces hypothèses, \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} F(x) \, dx = 2 i \pi \sum_{\mathrm{Im}\, a > 0} \mathrm{Res}(F, a) \).
Pour \( R \) assez grand, tous les pôles du demi-plan supérieur sont entourés une fois. Sur le demi-cercle \( C_R \), on a \( |F(z)| \leq K/R^2 \) pour une constante \( K \), grâce à l’écart de degrés. L’intégrale sur \( C_R \) est donc majorée par \( \pi R \cdot K/R^2 \), qui tend vers \( 0 \). Il reste l’intégrale sur \( [-R, R] \), qui converge vers \( \int_{\mathbb{R}} F \).
Par exemple, pour \( F(x) = 1/((x^2+1)(x^2+9)) \), les pôles supérieurs sont \( i \) et \( 3i \). Le résidu en \( i \) vaut \( 1/(2i \cdot 8) \), celui en \( 3i \) vaut \( 1/(-8 \cdot 6i) \). Leur somme est \( 1/(24 i) \), donc l’intégrale vaut \( \pi/12 \).
5.3 Intégrales de type Fourier
Pour \( \int_{\mathbb{R}} F(x) \cos(\lambda x) \, dx \) avec \( \lambda > 0 \), on n’intègre pas \( \cos(\lambda z) \). En effet, ce cosinus explose dans les deux demi-plans. On intègre plutôt \( F(z) e^{i \lambda z} \), qui vérifie \( |e^{i\lambda z}| = e^{-\lambda \, \mathrm{Im}\, z} \leq 1 \) dans le demi-plan supérieur. On prend ensuite la partie réelle ou la partie imaginaire.
Calculons \( J = \int_{\mathbb{R}} \dfrac{\cos(2x)}{x^2 + 4x + 5} \, dx \). Les pôles de \( g(z) = e^{2iz}/(z^2+4z+5) \) sont \( -2 \pm i \). Seul \( a = -2 + i \) est dans le demi-plan supérieur, et
\[ \mathrm{Res}(g, a) = \frac{e^{2i(-2+i)}}{2i} = \frac{e^{-2} e^{-4i}}{2i} . \]
Sur le demi-cercle, \( |g| \leq 1/(R^2 – 4R – 5) \), donc sa contribution tend vers \( 0 \). Ainsi, \( \int_{\mathbb{R}} g = \pi e^{-2} e^{-4i} \). En prenant la partie réelle, on obtient \( J = \pi e^{-2} \cos 4 \).
(Lemme de Jordan) Si \( \lambda > 0 \) et si \( M(R) = \sup_{z \in C_R} |F(z)| \) tend vers \( 0 \), alors \( \int_{C_R} F(z) e^{i\lambda z} \, dz \to 0 \). La preuve repose sur l’inégalité \( \sin \theta \geq 2\theta/\pi \) sur \( [0, \pi/2] \), qui donne \( \int_0^\pi e^{-\lambda R \sin \theta} R \, d\theta \leq \pi/\lambda \).
Ce lemme devient indispensable quand \( F \) ne décroît qu’en \( 1/|z| \). C’est le cas de \( x/(x^2+4) \), où la majoration grossière \( \pi R \cdot M(R) \) ne tend pas vers \( 0 \).
Remarque :
D’autres contours existent. Par exemple, un logarithme ou une puissance non entière imposent une coupure : on contourne alors l’origine par un petit demi-cercle, ou l’on utilise un contour en trou de serrure. Le principe reste identique : choisir l’arc de façon que sa contribution se calcule ou disparaisse.
6. Principe de l’argument et théorème de Rouché
Appliquons maintenant le théorème des résidus à la dérivée logarithmique \( f^{\prime}/f \). Ses pôles sont exactement les zéros et les pôles de \( f \). De plus, ses résidus sont des entiers. Nous obtenons ainsi un moyen de compter des zéros sans les calculer.
6.1 Le principe de l’argument
Si \( f(z) = (z-a)^k g(z) \) près de \( a \), avec \( k \in \mathbb{Z} \), \( g \) holomorphe et \( g(a) \neq 0 \), alors \( \dfrac{f^{\prime}}{f} = \dfrac{k}{z-a} + \dfrac{g^{\prime}}{g} \). Par conséquent, \( \mathrm{Res}(f^{\prime}/f, a) = k \).
Prenons \( f \) méromorphe au voisinage de \( \overline{D}(c, \rho) \). Supposons que le bord \( |z – c| = \rho \) ne porte aucun zéro et aucun pôle de \( f \). À l’intérieur, \( f \) a \( Z \) zéros et \( P \) pôles, multiplicités incluses. Dans ces conditions,
\[ \frac{1}{2 i \pi} \int_{|z-c| = \rho} \frac{f^{\prime}(z)}{f(z)} \, dz = Z – P . \]
Pourquoi parle-t-on d’argument ? Le membre de gauche est aussi l’indice par rapport à \( 0 \) du lacet image \( f \circ \gamma \). Autrement dit, il compte le nombre de tours que fait \( f(z) \) autour de l’origine quand \( z \) parcourt le cercle.
6.2 Le théorème de Rouché
Soient \( f \) et \( g \) holomorphes sur un ouvert contenant \( \overline{D}(c, \rho) \). Si l’inégalité stricte \( |g(z)| < |f(z)| \) est vraie en chaque point de \( |z-c| = \rho \), les fonctions \( f \) et \( f + g \) possèdent autant de racines à l’intérieur, multiplicités comprises.
D’abord, l’inégalité stricte interdit à \( f \) et à \( f+g \) de s’annuler sur le cercle. Pour \( s \in [0, 1] \), posons \( h_s = f + s g \). Sur le cercle, \( |h_s| \geq |f| – |g| > 0 \). Le nombre \( N(s) \) de zéros de \( h_s \) est donné par le principe de l’argument. Or l’intégrale dépend continûment de \( s \), car l’intégrande est continu en \( (s, z) \) sur un compact. Continue et entière, \( N \) est donc constante, et \( N(0) = N(1) \).
- Repérer le terme dominant sur le cercle étudié : c’est lui qui joue le rôle de \( f \).
- Majorer le reste par l’inégalité triangulaire, en remplaçant \( |z| \) par le rayon.
- Vérifier l’inégalité stricte, puis compter les zéros du terme dominant.
- Pour une couronne, recommencer sur le second cercle et faire la différence.
Soit \( P(z) = z^6 – 7z^2 + z + 2 \). Sur \( |z| = 1 \), le terme dominant est \( -7z^2 \). En effet, \( |z^6 + z + 2| \leq 4 < 7 \). Donc \( P \) a deux zéros dans le disque unité, comme \( -7z^2 \). Sur \( |z| = 2 \), en revanche, \( |z^6| = 64 \) et \( |-7z^2 + z + 2| \leq 28 + 2 + 2 = 32 < 64 \). Ainsi, \( P \) a six zéros dans \( |z| < 2 \). Aucun zéro ne se trouve sur les cercles. Par conséquent, la couronne \( 1 < |z| < 2 \) contient exactement quatre zéros.
La figure trace l’image du cercle unité par \( P \). On voit que la courbe fait deux fois le tour de l’origine, ce qui confirme les deux zéros du disque unité.
Piège à éviter :
L’inégalité de Rouché doit être stricte sur tout le cercle. Une majoration large du type \( |g| \leq |f| \) ne suffit pas, car \( f + g \) pourrait alors s’annuler sur le bord. De même, le théorème compte les zéros avec multiplicité : un zéro double compte pour deux.
Les erreurs fréquentes
- Donner un développement de Laurent sans préciser la couronne, ou en factorisant par le mauvais module.
- Utiliser la formule du pôle simple en un pôle double : le résultat obtenu est alors faux, voire infini.
- Oublier de vérifier qu’aucun pôle ne se trouve sur le contour, ou compter un pôle situé hors du contour.
- Intégrer \( \cos(\lambda z) \) au lieu de \( e^{i\lambda z} \) : l’arc ne tend plus vers zéro.
- Affirmer qu’une intégrale sur un arc tend vers zéro sans majoration explicite.
- Appliquer Rouché avec une inégalité large, ou oublier les multiplicités des zéros.
Fiche mémo
- Sur une couronne, \( f \) s’écrit avec des puissances \( (z-a)^k \), \( k \) entier relatif, et chaque couronne a son propre développement.
- Fausse singularité : \( f \) bornée près de \( a \). Pôle : \( |f| \to +\infty \). Sinon : singularité essentielle.
- Méromorphe : holomorphe hors d’un ensemble de pôles sans point d’accumulation.
- L’indice \( \mathrm{Ind}_\gamma(a) \) est un entier, constant sur chaque composante, nul sur la composante non bornée.
- Pôle simple : \( \mathrm{Res}(g/h, a) = g(a)/h^{\prime}(a) \). Pôle d’ordre \( m \) : dériver \( m-1 \) fois \( (z-a)^m f \).
- Théorème des résidus : \( \int_\gamma f = 2 i \pi \sum \mathrm{Ind}_\gamma(a) \, \mathrm{Res}(f, a) \).
- Trigonométrique : \( z = e^{it} \), pôles dans le disque unité. Rationnelle : demi-disque supérieur.
- Type Fourier : intégrer \( F(z) e^{i\lambda z} \) et, si besoin, utiliser le lemme de Jordan.
- Principe de l’argument : \( \int_\gamma f^{\prime}/f = 2i\pi (Z – P) \) sur un cercle sans zéro ni pôle.
- Rouché : si \( |g| < |f| \) sur le cercle, alors \( f \) et \( f+g \) ont autant de zéros dedans.
Questions fréquentes
Comment savoir rapidement si un point est un pôle simple ?
On écrit la fonction sous la forme g/h avec g et h holomorphes près du point a. Si g(a) est non nul, si h(a) vaut zéro et si h'(a) est non nul, alors a est un pôle simple. Le résidu vaut alors g(a)/h'(a), sans aucun développement.
Pourquoi le résidu en une singularité essentielle ne se calcule-t-il pas par une limite ?
Les formules de limite reposent sur l’existence d’un ordre fini m tel que (z-a)^m f(z) soit borné. En une singularité essentielle, aucun ordre ne convient, car la partie principale est infinie. Il faut donc lire directement le coefficient de 1/(z-a) dans la série de Laurent.
Quel contour choisir pour une intégrale sur toute la droite réelle ?
Pour une fraction rationnelle sans pôle réel et de degré au moins 2 en plus au dénominateur, on ferme par un grand demi-cercle supérieur. Pour une intégrale avec cos(ax) ou sin(ax), on intègre e^{iaz} sur le même demi-cercle avec a positif, puis on prend la partie réelle ou imaginaire. Si la décroissance n’est qu’en 1/x, le lemme de Jordan remplace la majoration grossière.
Le théorème de Rouché donne-t-il la position exacte des zéros ?
Non : il donne seulement leur nombre, comptés avec multiplicité, à l’intérieur d’un cercle ou d’un lacet. En revanche, en l’appliquant sur deux cercles, on obtient le nombre de zéros dans une couronne. Le théorème des valeurs intermédiaires ou la symétrie des coefficients réels complètent ensuite la localisation.
Pour aller plus loin
- S’exercer : exercices corrigés de L3 de maths sur résidus et séries de Laurent
- Bases utiles : Holomorphie, formule de Cauchy et Liouville
- Chapitre d’avant : Holomorphie, formule de Cauchy et Liouville
- Chapitre d’après : Bases hilbertiennes, L^2 et transformée de Fourier
- Vérifier ses acquis : QCM de L3 de maths sur résidus et séries de Laurent
- Contrôle corrigé en temps limité : Théorème de Rouché et séries de Laurent : contrôle de maths en L3
- Tous les chapitres : le sommaire de la L3 de maths
- Après le bac : les maths post-bac, de la MPSI à la L3
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