Fonction inverse : exercices de maths en 2de corrigés à télécharger en PDF

\(x\) et \(y\) désignent des nombres réels. Donner l’information la plus précise possible sur l’inverse du nombre.

a) \(x\geqslant 100\)
b) \(-4\leqslant y\leqslant -2\)

Voici la courbe représentative de la fonction inverse. S’aider de cette courbe pour donner l’information la plus précise possible sur le nombre \(\dfrac{1}{x}\).

a) \(x\geqslant 0{,}1\)
b) \(x\leqslant -0{,}2\)
c) \(0\lt x\lt 0{,}1\)
d) \(0{,}1\leqslant x\leqslant 0{,}2\)

On se propose d’étudier le signe de l’expression \(\dfrac{x+2}{x-3}-1\) selon les valeurs de \(x\).

a) Recopier et compléter :

pour tout \(x\neq 3\),

\(\dfrac{x+2}{x-3}-1=\dfrac{x+2}{x-3}-\dfrac{\ldots}{x-3}\)

\(\dfrac{x+2}{x-3}-1=\dfrac{x+2-(\ldots)}{x-3}\)

\(\dfrac{x+2}{x-3}-1=\dfrac{\ldots}{x-3}\)

b) En déduire le tableau de signes de \(\dfrac{x+2}{x-3}-1\).

Un électricien dispose de deux résistances \(\text{R}_1\) et \(\text{R}_2\), l’une fixe de \(10\ \Omega\), l’autre pouvant varier de 0 à \(10\ \Omega\). Il associe ces deux résistances en parallèle.

\[\dfrac{1}{\text{R}_e}=\dfrac{1}{\text{R}_1}+\dfrac{1}{\text{R}_2}\]

1. On note \(x\) la valeur de la résistance variable.

a) Démontrer que la valeur de la résistance équivalente \(\text{R}_e\) est donnée par : \(\text{R}_e=\dfrac{10x}{x+10}\)

b) Afficher à l^{\prime}écran de la calculatrice la courbe représentative de la fonction \(x\mapsto\dfrac{10x}{x+10}\) sur l^{\prime}intervalle \([0\,;\,10]\).

2. Déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles la valeur de la résistance équivalente est supérieure à \(4\ \Omega\) :

a) graphiquement ; b) algébriquement.

\(f\) et \(g\) sont les fonctions définies par : \(f(x)=\dfrac{x+2}{x-1}\) pour \(x\neq 1\) et \(g(x)=2x\).

a) Afficher à l’écran de la calculatrice les courbes représentative de \(f\) et \(g\) (fenêtre : \(-3\leqslant X\leqslant 6\), pas 1 et \(-5\leqslant Y\leqslant 7\), pas 1).

b) Conjecturer l’ensemble des solutions de l’inéquation \(f(x)\leqslant g(x)\).

c) Démontrer cette conjecture avec l’affichage ci-dessous.

À l’intérieur d’un piston, la pression \(P\), en bars, et le volume \(V\), en litres, suivent la loi :

\[P \times V = 1\]

1. Expliquer pourquoi cette loi est liée à la fonction inverse.
2. À l^{\prime}intérieur du piston, le volume peut varier entre \(0{,}5\) et \(5\) litres. Quelles sont les valeurs possibles pour la pression ?

\(f\) est la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par :

\[f(x) = \dfrac{1}{x}\]

On note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’origine \(O\). Pour tout nombre réel \(x\) de \(]0\,;+\infty[\), on note \(M\) le point de \(\mathcal{C}\) d^{\prime}abscisse \(x\) et \(N\) le point de coordonnées \((x\,;0)\).

1. Exprimer les longueurs \(ON\) et \(MN\) en fonction de \(x\).
2. Démontrer que l’aire du triangle \(OMN\) est constante.

Résoudre dans l’intervalle \(I\), chacune des inéquations.

1. \(I = ]2\,;+\infty[\), \(\dfrac{1}{x - 2} \gt 1\) ;
2. \(I = ]-\infty\,;-3[\), \(\dfrac{2}{x + 3} \lt -4\).

1. Utiliser un tableau pour étudier le signe du quotient \(\dfrac{2x - 1}{3 - x}\) selon les valeurs de \(x\).
2. En déduire la résolution de l^{\prime}inéquation :

   \[\dfrac{2x - 1}{3 - x} \lt 0\]

3. Avec la calculatrice, contrôler graphiquement la réponse à la question b).

Justifier l’affichage obtenu ci-dessous.

Avec les données ci-contre, déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(MP \geqslant 6\) cm.

Marion affirme : « Le nombre \(\dfrac{x + 5}{x - 1}\) est inférieur à \(10\) lorsque je donne à \(x\) des valeurs supérieures à \(2\) ». Qu’en pensez-vous ? Justifier.

1. Dans un repère orthonormé, tracer la courbe représentative de la fonction \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\).
2. Utiliser le graphique pour déterminer les nombres réels \(x\) tels que :
   1. \(0{,}5 \lt \dfrac{1}{x} \lt 2\)
   2. \(-3 \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant -1\)

\(f\) est la fonction inverse.

Calculer l’image par \(f\) de chaque nombre réel sans laisser de racine carrée au dénominateur.

1. \(\sqrt{2}\)
2. \(-\sqrt{3}\)
3. \(2\sqrt{5}\)

Conseil

Pour tout nombre réel \(a \gt 0\),

\[\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} \times \sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}\]

a. Recopier et compléter ce tableau de valeurs :

b. Tracer un repère orthogonal \(\left(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)\) tel que :

• 1 cm sur l^{\prime}axe des abscisses représente 1 unité ;
• 1 cm sur l^{\prime}axe des ordonnées représente 0,5 unité.

c. Dans ce repère, placer les points de coordonnées \(\left(x\,;\dfrac{1}{x}\right)\) associés au tableau de valeurs puis tracer la courbe représentative de la fonction inverse sur \([-4\,;0[\,\cup\,]0\,;4]\).

Déterminer pour la fonction inverse :

a. l’image des nombres : \(-4\) ; \(-2\) ; \(5\) ; \(\dfrac{1}{4}\) ; \(\dfrac{5}{9}\) ; \(-\dfrac{3}{7}\) ; \(-\dfrac{7}{6}\) ;

b. les éventuels antécédents de : \(9\) ; \(2\) ; \(-7\) ; \(8\) ; \(3\) ; \(\dfrac{4}{5}\) ; \(-\dfrac{7}{3}\).

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ?

1. \(\dfrac{3}{4} \gt \dfrac{7}{3}\)
2. \(\dfrac{6}{5} \lt \dfrac{9}{7}\)
3. \(-\dfrac{3}{7} \lt -\dfrac{2}{9}\)
4. L^{\prime}inverse de l^{\prime}inverse de \(\dfrac{3}{5}\) est \(\dfrac{5}{3}\).

On note \(f\) la fonction inverse définie sur \(\mathbb{R}^{*}\). Sans faire de calculs, comparer :

1. \(f(2{,}1)\) et \(f(3{,}4)\)
2. \(f(-4{,}7)\) et \(f(-3{,}2)\)
3. \(f\left(\dfrac{3}{4}\right)\) et \(f\left(\dfrac{7}{4}\right)\)
4. \(f\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}\right)\) et \(f\left(-1 + \dfrac{2}{3}\right)\)

ALGO

Voici un programme de calculs :

• Choisir un nombre.
• Prendre son inverse.
• Multiplier le résultat par \((-5)\).
• Soustraire 4 au résultat.
• Afficher le résultat.

1. Exécuter ce programme avec le nombre 3. Quel résultat obtient-on ?
2. Traduire ce programme à l’aide d’une fonction \(f\) où le nombre de départ est \(x\).
3. Rédiger un algorithme qui permet d’afficher le résultat obtenu en saisissant la valeur de \(x\) en entrée.
4. Quelle ligne de l’algorithme faut-il modifier si l’on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^{*}\) par : \(f(x) = -6\left(-\dfrac{8}{x} + 23\right)\) ?

Résoudre algébriquement dans \(\mathbb{R}^{*}\) :

1. \(\dfrac{1}{x} = 9\)
2. \(\dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{4}\)
3. \(\dfrac{1}{x} = \dfrac{6}{11}\)
4. \(\dfrac{1}{x} = -5\)
5. \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{8}{7} = 0\)
6. \(\dfrac{1}{x} - \dfrac{4}{7} = 0\)

La fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}^{*}\) et la fonction \(g\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = \dfrac{1}{x} \quad \text{et} \quad g(x) = x.\]

1. Dans un repère orthogonal ou à l’aide d’une calculatrice, tracer les courbes représentatives des fonctions \(f\) et \(g\) sur l’intervalle \([-4\,;4]\).
2. En déduire s’il existe des nombres réels égaux à leur inverse.

On note \(f\) la fonction inverse et \(\mathcal{H}\) son hyperbole d^{\prime}équation \(y = \dfrac{1}{x}\).

1. Dans un repère adéquat, tracer l’hyperbole \(\mathcal{H}\) d^{\prime}équation \(y = \dfrac{1}{x}\) et la droite \(\mathcal{D}\) d^{\prime}équation \(y = 4\).
2. Déterminer les coordonnées des points d^{\prime}intersection de l^{\prime}hyperbole \(\mathcal{H}\) et de la droite \(y = 4\).
3. En déduire les solutions de l’inéquation \(f(x) \geqslant 4\) en expliquant votre méthode.
4. De la même façon, résoudre sur l^{\prime}intervalle \([-4\,;0[\,\cup\,]0\,;4]\) les inéquations suivantes :
   1. \(f(x) \gt -2\)
   2. \(f(x) \leqslant 4\)
   3. \(f(x) \geqslant \dfrac{1}{6}\)
   4. \(f(x) \lt 5\)

Résoudre, dans \(\mathbb{R}^{*}\), les inéquations suivantes où \(f\) désigne la fonction inverse :

a. \(f(x) \gt \dfrac{1}{3}\) b. \(f(x) \geqslant 0{,}25\) c. \(f(x) \lt -4\)

d. \(f(x) \gt 9\) e. \(f(x) \geqslant -1\) d. \(f(x) \lt 2\)

ALGO 1. Déterminer la fonction \(f\) associée à l’algorithme proposé.

a.

b.

2. Calculer l’image de \(5\) puis de \((-1)\) pour chacune des fonctions précédentes.

\(i\) est la fonction inverse.

1. Calculer \(i(3 + 4)\) et \(i(3) + i(4)\).
2. Alex affirme : « quels que soient les réels \(x\) et \(y\) non nuls, \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{x + y}\) ». A-t-il raison ?

On note \(f\) la fonction inverse. Compléter les phrases ci-dessous par « quel que soit » ou « pour un certain »

1. ………… \(x \in ]0\,;5]\), on a : \(f(x) \in \left[\dfrac{1}{5}\,;+\infty\right[\)
2. ………… \(x \in [-3\,;0[\), on a : \(f(x) = -2\)
3. ………… \(x \in ]0\,;+\infty[\), on a : \(f(x) \gt 0\)
4. ………… \(x \in [-8\,;0[\,\cup\,]0\,;2]\), on a : \(f(x) \leqslant \dfrac{1}{2}\)

Dans \(\mathbb{R}^{*}\) :

1. \(\dfrac{1}{x} + 4 = 3\)
2. \(5 - \dfrac{1}{x} = 9\)
3. \(\dfrac{4}{x} = 1\)
4. \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{5} = 6\)

1. \(\dfrac{3}{x} - 4 = \dfrac{8}{x} + 6\)
2. \(5 - \dfrac{9}{x} = 7\)
3. \(6x + \dfrac{3}{x} = \dfrac{5}{x} + 6x - 4\)
4. \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{x} = \dfrac{7}{5} - \dfrac{3}{x}\)

Soit \(a\) un réel non nul. On pose pour tout réel \(x\) non nul \(f(x) = \dfrac{a}{x}\).

1. Montrer que \(f\) est une fonction impaire.
2. On suppose que \(f(-2) = \dfrac{1}{4}\). Déterminer l’expression de \(f(x)\) pour tout réel \(x\) non nul.
3. Avec l’aide de la calculatrice, représenter la fonction \(f\) dans un repère orthogonal du plan.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{5}{x^{2} + 1}\). Soit \(\mathcal{C}\) la représentation graphique de \(f\) dans le plan rapporté à un repère orthonormé \(\left(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)\).

1. Montrer que la fonction \(f\) est paire.
2. Compléter le tableau des valeurs suivant :
   

   \(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
   \(f(x)\)

   1. Montrer que pour tout réel \(x\), \(f(x) \gt 0\).
   2. Montrer que pour tout réel \(x\), \(f(x) \leqslant 5\).
   3. En déduire que la courbe \(\mathcal{C}\) est comprise entre la droite \(D\) d^{\prime}équation \(y = 5\) et l^{\prime}axe des abscisses.
3. Soit \(\Delta\) la droite d’équation \(y = \dfrac{1}{10}\). Déterminer l^{\prime}ensemble des points de \(\mathcal{C}\) situés en dessous de \(\Delta\).
4. Représenter dans le repère orthonormé \(\left(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)\) la partie de \(\mathcal{C}\) au-dessus de \(\Delta\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}\).

1. Montrer que la fonction \(f\) est impaire.
2. Calculer \(f(0)\) et \(f(1)\).
   1. Étudier le signe de \(1 - f(x)\) pour tout réel \(x\).
   2. Étudier le signe de \(1 + f(x)\) pour tout réel \(x\).
3. En déduire que la courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) de \(f\) dans un repère orthonormé \(\left(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)\) est située entre les deux droites d’équation \(y = 1\) et \(y = -1\).
4. Dans le repère précédent tracer la portion \(\mathcal{C}^{\prime}\) de la courbe \(\mathcal{C}_f\) dont les points ont une abscisse comprise entre \(-3\) et \(3\).
5. Soit \(D\) la droite d^{\prime}équation \(y = \dfrac{1}{2}\).
   1. Déterminer graphiquement les coordonnées du point \(A\) d’intersection de \(D\) et de \(\mathcal{C}^{\prime}\). On pourra s’aider d’une calculatrice.
   2. Montrer que \(x^{2} - 4x + 1 = (x - 2)^{2} - 3\).
   3. En déduire les coordonnées exactes de \(A\).
6. 1. Résoudre dans \([-3\,;3]\) l^{\prime}inéquation \(f(x) \leqslant \dfrac{1}{2}\).
   2. Sur quel intervalle contenu dans \([-3\,;3]\) la courbe \(\mathcal{C}^{\prime}\) est-elle au-dessous de \(D\) ?