Nombres relatifs et fractions : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « nombres relatifs et fractions », question par question.
Cette correction reprend chaque question dans l’ordre du sujet, avec la rédaction qu’un professeur attend. Pour les relatifs, elle justifie toujours le signe d’un produit avant d’en donner la valeur. Pour les fractions, elle montre comment choisir un dénominateur commun, comment diviser grâce à l’inverse et comment simplifier en décomposant. De plus, la droite graduée complétée et un schéma en barres illustrent les exercices 4 et 5.
Refais d’abord chaque calcul seul, puis compare avec la solution ligne par ligne. Le barème détaillé t’indique où se trouvent les points de méthode, et les pièges signalés t’aident donc à repérer tes erreurs récurrentes.
L’énoncé complet se trouve ici : Nombres relatifs et fractions : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : nombres relatifs et fractions
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Échauffement avec les relatifs | 3 points |
| 2. Fractions et signes | 5 points |
| 3. Simplifier et repérer une erreur | 3 points |
| 4. Ranger sur la droite graduée | 4 points |
| 5. Le budget du club de randonnée | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : nombres relatifs et fractions
Exercice 1 – Échauffement avec les relatifs (3 points)
- On regroupe d’abord les nombres positifs, puis les nombres négatifs.
\(A = 12 + 4 – 7 – 15\)
\(A = 16 – 22\)
\(A = -6\) - Le produit contient trois facteurs négatifs. Or ce nombre est impair, donc le produit est négatif.
\(B = -(6 \times 5 \times 2)\)
\(B = -60\) - On calcule en premier la parenthèse, ensuite la multiplication, enfin la soustraction.
\(C = 5 – 3 \times (-6)\)
\(C = 5 – (-18)\)
\(C = 5 + 18\)
\(C = 23\)
Piège classique : dans C, calculer \(5 – 3 = 2\) avant la multiplication donne \(2 \times (-6) = -12\), ce qui est faux car la multiplication est prioritaire.
Exercice 2 – Fractions et signes (5 points)
- 12 est un multiple commun de 6 et de 4, donc on réduit au même dénominateur.
\(E = -\frac{10}{12} + \frac{9}{12}\)
\(E = -\frac{1}{12}\) - Soustraire \(-\frac{2}{15}\), c’est ajouter son opposé. Ensuite, 30 est un multiple commun de 10 et de 15.
\(F = \frac{7}{10} + \frac{2}{15}\)
\(F = \frac{21}{30} + \frac{4}{30} = \frac{25}{30}\)
\(F = \frac{5}{6}\) - Le produit de deux nombres négatifs est positif. On simplifie aussi avant de multiplier : \(12 = 4 \times 3\), \(8 = 4 \times 2\), \(15 = 5 \times 3\) et \(25 = 5 \times 5\).
\(G = \frac{4 \times 3 \times 5 \times 3}{5 \times 5 \times 4 \times 2}\)
\(G = \frac{9}{10}\) - Diviser par \(\frac{10}{3}\) revient à multiplier par son inverse \(\frac{3}{10}\).
\(H = -\frac{4}{9} \times \frac{3}{10} = -\frac{2 \times 2 \times 3}{3 \times 3 \times 2 \times 5}\)
\(H = -\frac{2}{15}\) - On calcule d’abord la parenthèse : \(\frac{1}{2} – \frac{5}{4} = \frac{2}{4} – \frac{5}{4} = -\frac{3}{4}\).
Puis on multiplie par l’inverse de \(-\frac{3}{8}\), c’est-à-dire par \(-\frac{8}{3}\).
\(K = \left(-\frac{3}{4}\right) \times \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{3 \times 4 \times 2}{4 \times 3}\)
\(K = 2\)
Piège classique : pour diviser par \(\frac{10}{3}\), il faut multiplier par \(\frac{3}{10}\), et non diviser séparément les numérateurs puis les dénominateurs.
Exercice 3 – Simplifier et repérer une erreur (3 points)
- \(84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7\) et \(126 = 2 \times 3 \times 3 \times 7\).
Les facteurs communs sont 2, 3 et 7, donc on simplifie par \(2 \times 3 \times 7 = 42\).
\(-\frac{84}{126} = -\frac{42 \times 2}{42 \times 3}\), ainsi \(-\frac{84}{126} = -\frac{2}{3}\). - D’abord la parenthèse : \(\frac{3}{4} – \frac{1}{6} = \frac{9}{12} – \frac{2}{12} = \frac{7}{12}\).
Ensuite le produit, qui est négatif car un seul facteur est négatif :
\(M = -\frac{7 \times 18}{12 \times 35} = -\frac{7 \times 6 \times 3}{6 \times 2 \times 7 \times 5}\)
\(M = -\frac{3}{10}\), comme annoncé. - Nora a calculé de gauche à droite : \(-\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{1}{5}\), puis \(\frac{1}{5} \times \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{15}\). Or la multiplication est prioritaire sur l’addition.
\(N = -\frac{2}{5} + \left(-\frac{3}{15}\right) = -\frac{2}{5} – \frac{1}{5}\)
\(N = -\frac{3}{5}\)
Exercice 4 – Ranger sur la droite graduée (4 points)
- Une graduation vaut \(\frac{1}{12}\). Le point A est à 20 graduations à gauche de 0, B à 6 graduations à gauche et C à 14 graduations à droite.
\(-\frac{20}{12} = -\frac{5}{3}\) ; \(-\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}\) ; \(\frac{14}{12} = \frac{7}{6}\).
A a pour abscisse \(-\frac{5}{3}\), B a pour abscisse \(-\frac{1}{2}\) et C a pour abscisse \(\frac{7}{6}\). - On écrit les abscisses en douzièmes : \(-\frac{5}{4} = -\frac{15}{12}\) et \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\). Donc D est à 15 graduations à gauche de 0 et E à 8 graduations à droite.
- En douzièmes, les abscisses valent \(-20\), \(-15\), \(-6\), \(8\) et \(14\) douzièmes. Ainsi :
\(-\frac{5}{3} < -\frac{5}{4} < -\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{7}{6}\) - On écrit les deux fractions avec le dénominateur 18 : \(-\frac{7}{9} = -\frac{14}{18}\) et \(-\frac{5}{6} = -\frac{15}{18}\).
Comme \(15 > 14\), le nombre \(-\frac{15}{18}\) est plus éloigné de 0 ; il est donc plus petit.
\(-\frac{5}{6} < -\frac{7}{9}\)
Piège classique : entre deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro, et non l’inverse.
Exercice 5 – Le budget du club de randonnée (5 points)
- On ajoute au solde initial toutes les opérations du mois.
\(-120 + 450 – 84 – 270 + 60\)
\(= (450 + 60) – (120 + 84 + 270)\)
\(= 510 – 474 = 36\)
Au 31 mars, le solde du compte est de \(36\) €. - On suit le solde après chaque opération : \(-120 + 450 = 330\), puis \(330 – 84 = 246\), puis \(246 – 270 = -24\).
Le compte repasse dans le négatif après la location du car (solde de \(-24\) €). - Les dépenses représentent \(\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}\) de la subvention.
Il reste donc \(1 – \frac{11}{15} = \frac{15}{15} – \frac{11}{15} = \frac{4}{15}\).
Le club met de côté \(\frac{4}{15}\) de la subvention. - \(540 \div 15 = 36\), donc une part vaut \(36\) €. Ensuite, \(\frac{4}{15} \times 540 = 4 \times 36 = 144\).
Le club met \(144\) € de côté. - Les gourdes coûtent \(\frac{2}{5} \times 540 = 2 \times 108 = 216\) €. Puis \(216 \div 12 = 18\).
Le club peut acheter 18 gourdes.
Piège classique : ajouter \(\frac{2}{5}\) et \(\frac{1}{3}\) en additionnant les numérateurs et les dénominateurs donne \(\frac{3}{8}\), ce qui est faux.
À retenir de ce contrôle
- Un produit de facteurs non nuls est négatif quand il contient un nombre impair de facteurs négatifs, et positif sinon.
- Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse, en gardant le même signe que la fraction.
- Pour additionner deux fractions, on les écrit d’abord avec un dénominateur commun, puis on ajoute seulement les numérateurs.
- Entre deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui est le plus éloigné de zéro sur la droite graduée.
- La multiplication reste prioritaire sur l’addition, même lorsque l’expression contient des fractions et des nombres négatifs.
Revenir à l’énoncé du contrôle
Consolider nombres relatifs et fractions après ce corrigé
Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon nombres relatifs puis fractions ; entraîne-toi sur la fiche nombres relatifs et fractions.
D’autres évaluations corrigées t’attendent sur la page contrôles de maths en 4ème.
Autres corrigés sur le même thème
Télécharger ou imprimer cette fiche «nombres relatifs et fractions : corrigé du contrôle de maths en 4ème» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
