Multiplication et division des relatifs : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « multiplication et division des relatifs », question par question.
Cette correction reprend chaque question dans l’ordre du sujet, avec la rédaction attendue d’un élève de 4ème. Pour chaque calcul, le signe est justifié avant la valeur, afin que tu voies d’où vient ton éventuelle erreur. La pyramide et le tableau sont redonnés complétés, avec en orange les cases que tu devais trouver.
Commence par comparer tes résultats, puis relis la justification des questions où tu t’es trompé. Le barème détaillé te permet d’estimer ta note, et les encadrés « Piège classique » signalent les confusions les plus fréquentes, en particulier entre l’addition et la multiplication de deux nombres négatifs. Refais ensuite seul les calculs manqués, sans regarder la correction.
L’énoncé complet se trouve ici : Multiplication et division des relatifs : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : multiplication et division des relatifs
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. La règle des signes | 4 points |
| 2. Les nombres manquants | 3 points |
| 3. Produits de plusieurs facteurs | 3 points |
| 4. Pyramide et tableau de produits | 4 points |
| 5. Calculs avec priorités | 3 points |
| 6. Le quiz de la classe | 3 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : multiplication et division des relatifs
Exercice 1 – La règle des signes (4 points)
- Signes contraires, donc résultat négatif : \((-7) \times 8 = -56\).
- Deux facteurs négatifs, donc résultat positif : \((-9) \times (-6) = 54\).
- Signes contraires, donc quotient négatif : \(45 \div (-5) = -9\).
- Même signe, donc quotient positif : \((-63) \div (-7) = 9\).
- Même signe, donc positif ; \(0{,}5 \times 12 = 6\) : \((-0{,}5) \times (-12) = 6\).
- Signes contraires, donc négatif ; \(2{,}5 \times 4 = 10\) : \(2{,}5 \times (-4) = -10\).
- Signes contraires, donc négatif : \((-48) \div 6 = -8\).
- Un produit dont un facteur est nul est nul : \(0 \times (-13) = 0\).
Piège classique : écrire \((-9) \times (-6) = -54\) en pensant à l’addition. « Moins par moins » donne un produit positif ; c’est la somme \((-9) + (-6) = -15\) qui est négative.
Exercice 2 – Les nombres manquants (3 points)
- Le nombre cherché vaut \(42 \div (-6) = -7\). Vérification : \(-6 \times (-7) = 42\). Le nombre manquant est \(-7\).
- Le nombre cherché vaut \((-72) \div (-8) = 9\). Vérification : \(9 \times (-8) = -72\). Le nombre manquant est \(9\).
- Le nombre cherché vaut \(56 \div (-7) = -8\). Vérification : \(56 \div (-8) = -7\). Le nombre manquant est \(-8\).
- Le nombre cherché vaut \(11 \times (-4) = -44\). Vérification : \((-44) \div (-4) = 11\). Le nombre manquant est \(-44\).
- Le nombre cherché vaut \((-3) \div (-1{,}5) = 2\). Vérification : \((-1{,}5) \times 2 = -3\). Le nombre manquant est \(2\).
- Le nombre cherché vaut \((-0{,}5) \times (-3) = 1{,}5\). Vérification : \(1{,}5 \div (-3) = -0{,}5\). Le nombre manquant est \(1{,}5\).
Piège classique : pour le d), diviser 11 par \(-4\) au lieu de multiplier. Si \(? \div (-4) = 11\), alors \(? = 11 \times (-4)\).
Exercice 3 – Produits de plusieurs facteurs (3 points)
- \(A\) contient 3 facteurs négatifs : \(-13\), \(-7\) et \(-21\). 3 est impair, donc \(A\) est négatif.
\(B\) contient 6 facteurs négatifs (tous ses facteurs). 6 est pair, donc \(B\) est positif. - \(C\) contient 3 facteurs négatifs, donc \(C\) est négatif.
Ensuite, on calcule la distance à zéro : \(2 \times 5 \times 3 \times 4 = 10 \times 12 = 120\).
\(C = -120\). - On regroupe les facteurs qui donnent un nombre rond : \(D = (-25) \times (-4) \times (-7)\).
\((-25) \times (-4) = 100\)
\(100 \times (-7) = -700\)
\(D = -700\) (3 facteurs négatifs : le résultat est bien négatif).
Exercice 4 – Pyramide et tableau de produits (4 points)
- La case 3 est le produit de \(-1\) et du nombre manquant. Ce nombre vaut donc \(3 \div (-1) = -3\). Ensuite, on vérifie : \((-1) \times (-3) = 3\). Le nombre manquant est \(-3\).
- Deuxième ligne : \(2 \times (-1) = -2\) et \((-3) \times 2 = -6\).
Troisième ligne : \((-2) \times 3 = -6\) et \(3 \times (-6) = -18\).
Sommet : \((-6) \times (-18) = 108\). Le sommet de la pyramide vaut 108.
- Colonne inconnue : dans la ligne de \(-3\), on lit 27, donc le nombre de la colonne vaut \(27 \div (-3) = -9\).
Ligne inconnue : dans la colonne de \(-4\), on lit 20, donc le nombre de la ligne vaut \(20 \div (-4) = -5\).
Les nombres cherchés sont \(-9\) (colonne) et \(-5\) (ligne). - Ligne de \(-3\) : \((-3) \times (-4) = 12\) et \((-3) \times 6 = -18\).
Ligne de \(-5\) : \((-5) \times 6 = -30\) et \((-5) \times (-9) = 45\).
Ligne de 2 : \(2 \times (-4) = -8\), \(2 \times 6 = 12\) et \(2 \times (-9) = -18\). Le tableau complété est ci-dessous.
Piège classique : additionner les deux cases du dessous comme dans une pyramide d’additions. Ici, on multiplie, donc le sommet est \((-6) \times (-18)\), et non \((-6) + (-18)\).
Exercice 5 – Calculs avec priorités (3 points)
- La multiplication est prioritaire, donc on la calcule d’abord :
\(E = -4 + 3 \times (-5)\)
\(E = -4 + (-15)\)
\(E = -19\) - On effectue la division et la multiplication avant la soustraction :
\(F = (-18) \div (-3) – 2 \times (-7)\)
\(F = 6 – (-14)\)
\(F = 6 + 14\)
\(F = 20\) - On calcule d’abord le numérateur, en commençant par le produit :
\(-6 \times 7 + 2 = -42 + 2 = -40\)
\(G = \dfrac{-40}{-5}\)
\(G = 8\) (quotient de deux nombres négatifs, donc positif).
Piège classique : calculer \(-4 + 3\) avant de multiplier, ce qui donne \((-1) \times (-5) = 5\) au lieu de \(-19\). En effet, la multiplication doit passer avant l’addition.
Exercice 6 – Le quiz de la classe (3 points)
- Score de Lina :
\(9 \times 4 + 5 \times (-3) + 2 \times (-1)\)
\(= 36 + (-15) + (-2)\)
\(= 19\)
Lina obtient 19 points. - Timéo a laissé \(16 – 6 – 8 = 2\) questions sans réponse. Ainsi, son score se calcule comme suit.
\(6 \times 4 + 8 \times (-3) + 2 \times (-1)\)
\(= 24 + (-24) + (-2)\)
\(= -2\)
Le score de Timéo est de \(-2\) points. - Maëlle s’est trompée à \(16 – 4 = 12\) questions. Son score vaut donc :
\(12 \times (-3) + 4 \times (-1) = -36 + (-4) = -40\)
Moyenne par question : \((-40) \div 16 = -2{,}5\).
Maëlle obtient \(-40\) points, soit en moyenne \(-2{,}5\) points par question.
À retenir de ce contrôle
- Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif, celui de deux nombres de signes contraires est négatif.
- Un produit de facteurs non nuls est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair, négatif s’il est impair.
- Pour trouver un facteur manquant, on divise le produit par le facteur connu, puis on vérifie par une multiplication.
- Les multiplications et les divisions se calculent avant les additions et les soustractions, même avec des nombres négatifs.
- Ne confonds pas les règles : la somme de deux négatifs est négative, mais leur produit est positif.
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