Centre de symétrie et propriétés : corrigé du contrôle de maths en 5ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 5ème sur le thème « centre de symétrie et propriétés », question par question.
Ce corrigé montre la rédaction attendue en 5ème : chaque conclusion s’appuie sur une propriété citée en entier, par exemple « le symétrique d’un segment par rapport à un point est un segment de même longueur ». Le quadrillage de l’exercice 2 et le logo de l’exercice 5 sont redessinés complétés, avec les tracés qui passent par le centre. Compare ta figure à la correction : chaque point et son image doivent être alignés avec O, à égale distance. Les pièges les plus courants sont signalés, notamment la confusion avec la symétrie axiale. Le barème indique la part des points réservée à la justification.
L’énoncé complet se trouve ici : Centre de symétrie et propriétés : contrôle de maths en 5ème.
Barème du contrôle corrigé : centre de symétrie et propriétés
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Des lettres à classer | 3 points |
| 2. Retrouver le point O | 4 points |
| 3. Deux triangles symétriques | 4 points |
| 4. Deux segments de même milieu | 4 points |
| 5. Le logo du club de badminton | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : centre de symétrie et propriétés
Exercice 1 – Des lettres à classer (3 points)
- Une lettre a un centre de symétrie si elle retombe sur elle-même après un demi-tour. C’est le cas du N, du S, du H et du Z. Les lettres A, E, T et Y ont un axe de symétrie. Elles n’ont pas de centre. Les lettres numéros 1, 3, 5 et 7 possèdent un centre de symétrie.
- Le centre de symétrie du H est le milieu de sa barre horizontale : c’est aussi le point situé à mi-hauteur. Il est à égale distance des deux barres verticales.
Piège classique : citer A, T ou Y. Ces lettres ont un axe de symétrie. Cela ne donne pas de centre de symétrie.
Exercice 2 – Retrouver le point O (4 points)
- A’ est le symétrique de A par rapport à O, donc O est le milieu de [AA’]. Pour aller de A à A’, on avance de 6 carreaux vers la droite et de 4 carreaux vers le haut. O est situé à 3 carreaux à droite et 2 carreaux au-dessus de A.
- Pour aller de B à O, on avance de 2 carreaux vers la droite et de 2 carreaux vers le bas. On recommence à partir de O : B’ est à 2 carreaux à droite et 2 carreaux en dessous de O, sur la même ligne que A.
- O est le milieu de [AA’] et le milieu de [BB’]. Les diagonales [AA’] et [BB’] du quadrilatère ABA’B’ ont donc le même milieu. Or, si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors c’est un parallélogramme. ABA’B’ est un parallélogramme de centre O.
Piège classique : nommer le quadrilatère dans le mauvais ordre. Dans ABA’B’, A et A’ sont des sommets opposés. Ainsi, [AA’] est bien une diagonale.
Exercice 3 – Deux triangles symétriques (4 points)
- Le segment [E’F’] est le symétrique du segment [EF] par rapport à O. Or la symétrie centrale conserve les longueurs. \(E^{\prime}F^{\prime} = EF = 5\text{ cm}\).
- L’angle \(\widehat{E^{\prime}F^{\prime}G^{\prime}}\) est le symétrique de l’angle \(\widehat{EFG}\). Or la symétrie centrale conserve les mesures d’angles. \(\widehat{E^{\prime}F^{\prime}G^{\prime}} = 48^\circ\).
- Le triangle E’F’G’ est le symétrique du triangle EFG. Or la symétrie centrale conserve les aires. L’aire du triangle E’F’G’ est \(13\text{ cm}^2\).
- La droite (E’F’) est la symétrique de la droite (EF) par rapport à O. Or le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle. Les droites (EF) et (E’F’) sont parallèles.
Piège classique : mesurer sur la figure alors qu’elle n’est pas à l’échelle. Seules les propriétés de conservation permettent de répondre.
Exercice 4 – Deux segments de même milieu (4 points)
- I est le milieu de [RS]. Par définition de la symétrie centrale, S est le symétrique de R par rapport à I.
- I est aussi le milieu de [TU], donc le symétrique de T par rapport à I est U. Les extrémités R et T ont pour images S et U, donc le symétrique du segment [RT] est le segment [SU].
- [SU] est le symétrique de [RT] par rapport à I. Or la symétrie centrale conserve les longueurs. \(SU = RT = 4{,}6\text{ cm}\).
- La droite (SU) est la symétrique de la droite (RT) par rapport à I. Or le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite parallèle. Les droites (RT) et (SU) sont parallèles.
Exercice 5 – Le logo du club de badminton (5 points)
- On construit le symétrique de chaque sommet de la partie violette par rapport à O. Chaque sommet et son image sont alignés avec O, de part et d’autre, à la même distance. Par exemple, le sommet situé à 4 carreaux à droite et 1 carreau au-dessus de O a pour image un autre point. Ce point est à 4 carreaux à gauche et 1 carreau en dessous. La partie ajoutée est la forme en L orange, tournée d’un demi-tour autour de O.
- La partie violette est formée d’une bande de 4 carreaux et d’un carreau au-dessus de O : \(4 + 1 = 5\) carreaux. Chaque carreau mesure \(1\text{ cm}^2\). L’aire de la partie violette est \(5\text{ cm}^2\).
- La partie orange est la symétrique de la partie violette par rapport à O. Or la symétrie centrale conserve les aires : elle mesure donc aussi \(5\text{ cm}^2\). Les deux parties ne se recouvrent pas.
\(5 + 5 = 10\)
L’aire du logo complet est \(10\text{ cm}^2\). - Périmètre de la partie violette, en partant de O vers la droite :
\(4 + 1 + 3 + 1 + 1 + 2 = 12\), soit \(12\text{ cm}\).
La partie orange a le même périmètre, car la symétrie conserve les longueurs. De plus, les deux parties n’ont aucun bord commun.
\(12 + 12 = 24\)
Il faut 24 cm de fil doré.
Piège classique : tracer le symétrique par rapport à une droite passant par O (effet miroir). En symétrie centrale, la forme fait un demi-tour et le L se retrouve renversé.
À retenir de ce contrôle
- M’ est le symétrique de M par rapport à O signifie que O est le milieu du segment [MM’].
- La symétrie centrale conserve les longueurs, les mesures d’angles et les aires : une figure et son image sont superposables.
- Le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle.
- Une figure a un centre de symétrie O lorsqu’elle se superpose à elle-même après un demi-tour autour de O.
- Un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme, et ce milieu est son centre de symétrie.
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