Division euclidienne et multiples : corrigé du contrôle de maths en 6ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 6ème sur le thème « division euclidienne et multiples », question par question.
Cette correction reprend chaque question avec la rédaction attendue d’un élève de 6ème. Les deux divisions sont posées étape par étape sur une figure, puis vérifiées par l’égalité dividende = diviseur × quotient + reste. La grille des nombres est rendue coloriée pour que tu voies d’un coup d’œil les multiples de 9 et de 10.
Compare ta copie ligne par ligne : si ton résultat est juste mais sans justification, le barème indiqué sous chaque exercice te montre les points perdus. Les encadrés piège classique signalent les erreurs les plus fréquentes, comme un reste trop grand ou un critère de divisibilité mal appliqué. Refais ensuite seul les questions ratées, sans regarder la solution.
L’énoncé complet se trouve ici : Division euclidienne et multiples : contrôle de maths en 6ème.
Barème du contrôle corrigé : division euclidienne et multiples
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Lire une égalité | 3 points |
| 2. Deux divisions à poser | 4 points |
| 3. La grille des nombres | 4 points |
| 4. Le tableau des critères | 4 points |
| 5. La récolte de la ferme | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : division euclidienne et multiples
Exercice 1 – Lire une égalité (3 points)
- Dans l’égalité \(187 = 12 \times 15 + 7\), le reste 7 est bien inférieur au diviseur 12 (\(7 < 12\)). C’est donc l’égalité de la division euclidienne de 187 par 12. Le quotient est 15 et le reste est 7.
- On peut lire l’égalité sous la forme \(187 = 15 \times 12 + 7\), car \(12 \times 15 = 15 \times 12\). Or \(7 < 15\), donc le reste est aussi plus petit que 15. Dans la division euclidienne de 187 par 15, le quotient est 12 et le reste est 7.
- On a bien \(12 \times 14 + 19 = 168 + 19 = 187\), mais le nombre 19 est plus grand que le diviseur 12 (\(19 > 12\)) : on pourrait encore mettre un groupe de 12 dans 19. Ce n’est donc pas l’égalité de la division euclidienne de 187 par 12.
Piège classique : une égalité juste ne suffit pas. Il faut donc toujours vérifier que le reste est strictement plus petit que le diviseur.
Exercice 2 – Deux divisions à poser (4 points)
- En 8 centaines, combien de fois 7 ? 1 fois, il reste 1. Puis on abaisse le 4 : en 14, 7 va 2 fois, il reste 0. Enfin, on abaisse le 6 : en 6, 7 va 0 fois, il reste 6.
On vérifie ensuite : \(7 \times 120 + 6 = 840 + 6 = 846\) et \(6 < 7\).
Le quotient est 120 et le reste est 6. - En 23 centaines, 15 va 1 fois, il reste 8. Puis on abaisse le 8 : en 88, 15 va 5 fois (\(15 \times 5 = 75\)), il reste 13. Enfin, on abaisse le 5 : en 135, 15 va 9 fois (\(15 \times 9 = 135\)), il reste 0.
On vérifie ensuite : \(15 \times 159 = 15 \times 160 – 15 = 2\,400 – 15 = 2\,385\).
Le quotient est 159 et le reste est 0. - L’égalité est \(2\,385 = 15 \times 159 + 0\), c’est-à-dire \(2\,385 = 15 \times 159\). Le reste est nul, donc 2 385 est un multiple de 15, et 15 est un diviseur de 2 385.
Piège classique : dans 846 divisé par 7, oublier d’écrire le 0 du quotient quand 7 ne va pas dans 6 donne 12 au lieu de 120.
Exercice 3 – La grille des nombres (4 points)
- Les multiples de 9 sont les résultats de la table de 9 : \(9 \times 11 = 99\), \(9 \times 12 = 108\), \(9 \times 13 = 117\), \(9 \times 14 = 126\), et \(9 \times 15 = 135\) dépasse 130. Les multiples de 9 de la grille sont 99, 108, 117 et 126.
- Un nombre divisible par 2 se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ; un nombre divisible par 5 se termine par 0 ou 5. Ainsi, pour être divisible par les deux, il doit se terminer par 0. Ce sont 100, 110, 120 et 130 : ce sont les multiples de 10 de la grille.
- Parmi 99, 108, 117 et 126, seuls les nombres pairs sont donc multiples de 2. Ce sont 108 et 126. (On remarque que \(108 = 18 \times 6\) et \(126 = 18 \times 7\) : ce sont des multiples de 18.)
- La somme des chiffres de 117 est \(1 + 1 + 7 = 9\), et 9 est divisible par 3, donc 117 est divisible par 3. Ensuite, en posant la division, on trouve \(117 = 3 \times 39\). 3 est un diviseur de 117 et \(117 = 3 \times 39\).
Exercice 4 – Le tableau des critères (4 points)
- On utilise le dernier chiffre pour 2, 5 et 10, et la somme des chiffres pour 3 et 9 :
450 : somme \(4 + 5 + 0 = 9\) ; 1 236 : somme \(1 + 2 + 3 + 6 = 12\) ; 3 105 : somme \(3 + 1 + 0 + 5 = 9\) ; 7 928 : somme \(7 + 9 + 2 + 8 = 26\).
Divisible par… 2 3 5 9 10 450 oui oui oui oui oui 1 236 oui oui non non non 3 105 non oui oui oui non 7 928 oui non non non non Le tableau est complété ci-dessus.
- La somme des chiffres de 4■7 vaut 4 + 7 + ■ = 11 + ■. Elle doit être un multiple de 9. Or ■ est un chiffre de 0 à 9, donc la somme est comprise entre 11 et 20, et le seul multiple de 9 possible est 18. Ainsi, ■ vaut \(18 – 11 = 7\). Enfin, on vérifie : \(477 = 9 \times 53\). Il faut écrire le chiffre 7 : le nombre est 477.
- Par exemple, le nombre 12 est divisible par 3 (\(12 = 3 \times 4\)) mais pas par 9 (\(12 = 9 \times 1 + 3\), le reste n’est pas nul). Clémence se trompe : 12 est divisible par 3 sans être divisible par 9.
Piège classique : 3 105 se termine par 5, il est donc divisible par 5 mais pas par 10 ni par 2. En effet, seul un dernier chiffre pair rend un nombre divisible par 2.
Exercice 5 – La récolte de la ferme (5 points)
- On effectue la division euclidienne de 350 par 6 : \(350 = 6 \times 58 + 2\), avec \(2 < 6\).
Ensuite, on vérifie : \(6 \times 58 = 348\) et \(348 + 2 = 350\).
Mme Leroux obtient 58 boîtes pleines et il reste 2 œufs hors des boîtes. - On effectue la division euclidienne de 350 par 30 : \(350 = 30 \times 11 + 20\), avec \(20 < 30\).
Ensuite, on vérifie : \(30 \times 11 = 330\) et \(330 + 20 = 350\).
Elle obtiendrait 11 plateaux pleins et il resterait 20 œufs. - Il reste 2 œufs, et une boîte contient 6 œufs : il manque \(6 – 2 = 4\) œufs pour remplir une 59e boîte. Vérification : \(350 + 4 = 354 = 6 \times 59\). Elle devrait ramasser au minimum 4 œufs de plus.
- Le nombre se range exactement en boîtes de 10 : c’est un multiple de 10, donc 100, 110, 120 ou 130. Il doit aussi être un multiple de 6, donc pair et divisible par 3. Calculons alors les sommes des chiffres : 100 donne 1, 110 donne 2, 120 donne 3, 130 donne 4. Seul 120 est divisible par 3, et \(120 = 6 \times 20 = 10 \times 12\). Elle a ramassé 120 œufs.
Piège classique : à la question 3, répondre 2 (le reste) au lieu de 4 : le reste indique les œufs en trop, pas ceux qui manquent.
À retenir de ce contrôle
- Dans la division euclidienne de a par b, on écrit a = b × q + r avec un reste r toujours strictement inférieur au diviseur b.
- Un nombre est multiple de b lorsque le reste de sa division euclidienne par b est nul ; b est alors un diviseur de ce nombre.
- Un nombre est divisible par 3 ou par 9 lorsque la somme de ses chiffres l’est ; par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
- Tout nombre divisible par 9 est divisible par 3, mais la réciproque est fausse : 12 est divisible par 3 et pas par 9.
- Dans un problème de rangement, le quotient donne le nombre de paquets complets et le reste les objets qui ne remplissent pas un paquet.
Revenir à l’énoncé du contrôle
Consolider division euclidienne et multiples après ce corrigé
Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon la division euclidienne et décimale ; entraîne-toi sur la fiche la division euclidienne et décimale.
D’autres évaluations corrigées t’attendent sur la page contrôles de maths en 6ème.
Autres corrigés sur le même thème
Télécharger ou imprimer cette fiche «division euclidienne et multiples : corrigé du contrôle de maths en 6ème» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
