Équations produit et du premier degré : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « équations produit et du premier degré », question par question.
Ce corrigé montre la rédaction qui rapporte tous les points au brevet. Chaque équation est résolue ligne par ligne, avec les termes en \(x\) regroupés d’un côté et les nombres de l’autre. Pour le produit nul, la propriété est citée avant d’écrire les deux équations du premier degré, et la factorisation est détaillée quand elle est nécessaire.
Les équations \(x^2 = a\) sont classées selon le nombre de solutions. Dans les problèmes, tu verras comment écrire l’équation à partir de la situation et comment conclure quand une équation n’a aucune solution. Après chaque exercice, le barème et un piège fréquent t’aident à repérer d’où viennent tes erreurs.
L’énoncé complet se trouve ici : Équations produit et du premier degré : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : équations produit et du premier degré
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Est-ce une solution ? | 3 points |
| 2. Équations du premier degré | 5 points |
| 3. Produit nul et carrés | 5 points |
| 4. La balance du marchand de thé | 3 points |
| 5. Le rectangle et le carré | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : équations produit et du premier degré
Exercice 1 – Est-ce une solution ? (3 points)
- D’abord, on calcule séparément chaque membre pour \(x = -2\).
\(3 \times (-2) – 5 = -6 – 5 = -11\)
\(-2 + 7 = 5\)
\(-11 \neq 5\), donc \(-2\) n’est pas solution de l’équation. - Puis, pour \(x = 6\) :
\(3 \times 6 – 5 = 18 – 5 = 13\)
\(6 + 7 = 13\)
Les deux membres sont égaux, donc \(6\) est solution de l’équation. - Pour \(x = 4\) : \(4^2 – 3 \times 4 = 16 – 12 = 4\).
Ensuite, pour \(x = -1\) : \((-1)^2 – 3 \times (-1) = 1 + 3 = 4\).
Soraya a raison : \(4\) et \(-1\) sont tous les deux solutions.
Piège classique : écrire \(-1^2 = -1\). Le carré de \(-1\) se calcule avec des parenthèses : \((-1)^2 = 1\).
Exercice 2 – Équations du premier degré (5 points)
- \(5x + 4 = 2x + 19\)
\(5x – 2x = 19 – 4\)
\(3x = 15\)
\(x = 5\). La solution est \(5\). - \(7x – 3 = 3x + 7\)
\(7x – 3x = 7 + 3\)
\(4x = 10\)
\(x = \frac{10}{4} = 2{,}5\). La solution est \(2{,}5\). - On développe d’abord le membre de gauche.
\(2x – 6 = 5x + 1\)
\(2x – 5x = 1 + 6\)
\(-3x = 7\)
\(x = -\frac{7}{3}\). La solution est \(-\frac{7}{3}\). - En effet, le signe moins devant la parenthèse change les signes des termes qu’elle contient.
\(4 – x – 2 = 3x – 6\)
\(2 – x = 3x – 6\)
\(-x – 3x = -6 – 2\)
\(-4x = -8\)
\(x = 2\). La solution est \(2\).
Vérification : \(4 – (2 + 2) = 0\) et \(3 \times 2 – 6 = 0\).
Piège classique : écrire \(4 – x + 2\) en supprimant la parenthèse de la question 4. Devant une parenthèse précédée d’un signe moins, on change le signe de chaque terme.
Exercice 3 – Produit nul et carrés (5 points)
- Ainsi, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
\(x – 4 = 0\) ou \(2x + 3 = 0\)
\(x = 4\) ou \(2x = -3\), soit \(x = -\frac{3}{2}\).
Les solutions sont \(4\) et \(-\frac{3}{2}\). - \(x^2 – 6x = x \times x – 6 \times x = x(x – 6)\).
Ensuite, l’équation devient \(x(x – 6) = 0\). D’après la propriété du produit nul :
\(x = 0\) ou \(x – 6 = 0\), soit \(x = 6\).
Les solutions sont \(0\) et \(6\). - \(x^2 = 49\) : \(49\) est positif, donc deux solutions : \(7\) et \(-7\).
\(x^2 = 5\) : \(5\) est positif, donc deux solutions : \(\sqrt{5}\) et \(-\sqrt{5}\).
\(x^2 = 0\) : une seule solution, \(0\).
\(x^2 = -9\) : un carré est toujours positif ou nul, donc aucune solution.
Piège classique : diviser les deux membres de \(x^2 – 6x = 0\) par \(x\) et ne trouver que \(6\). On perd alors la solution \(0\) : il faut factoriser et utiliser le produit nul.
Exercice 4 – La balance du marchand de thé (3 points)
- Plateau de gauche : \(3x + 200\) ; plateau de droite : \(x + 700\). L’équilibre se traduit par \(3x + 200 = x + 700\).
- \(3x – x = 700 – 200\)
\(2x = 500\)
\(x = 250\). Une boîte de thé pèse 250 g. - Plateau de gauche : \(3 \times 250 + 200 = 750 + 200 = 950\) g.
Puis, plateau de droite : \(250 + 700 = 950\) g. Les deux plateaux portent 950 g : la balance est bien en équilibre.
Exercice 5 – Le rectangle et le carré (4 points)
- D’abord, l’aire d’un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur.
\(5(2x + 3) = 5 \times 2x + 5 \times 3 = 10x + 15\). L’aire de \(ABCD\) vaut \(10x + 15\) (en \(\text{cm}^2\)). - Ensuite, on résout \(10x + 15 = 55\).
\(10x = 55 – 15 = 40\)
\(x = 4\). L’aire vaut \(55\text{ cm}^2\) pour \(x = 4\) ; le rectangle mesure alors 11 cm sur 5 cm, et \(11 \times 5 = 55\). - Périmètre du rectangle : \(2(2x + 3 + 5) = 2(2x + 8) = 4x + 16\).
Puis, périmètre du carré : \(4(x + 2) = 4x + 8\).
L’égalité des périmètres s’écrit \(4x + 16 = 4x + 8\), soit \(4x – 4x = 8 – 16\), c’est-à-dire \(0 = -8\), ce qui est impossible.
L’équation n’a aucune solution : le rectangle et le carré n’ont jamais le même périmètre. En fait, le périmètre du rectangle dépasse toujours celui du carré de 8 cm.
Piège classique : écrire le périmètre du rectangle \(2 \times 2x + 3 + 5\) en oubliant les parenthèses. On additionne longueur et largeur avant de multiplier par 2.
À retenir de ce contrôle
- Pour tester si un nombre est solution, on calcule séparément chaque membre de l’équation puis on compare les deux résultats.
- Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
- L’équation x² = a a deux solutions si a est positif, une seule si a est nul et aucune si a est négatif.
- Il ne faut jamais diviser les deux membres par x pour simplifier : on perdrait la solution 0, il faut factoriser.
- Une équation qui aboutit à une égalité fausse comme 0 = -8 n’a aucune solution.
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