Expressions littérales et formules : corrigé du contrôle de maths en 5ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 5ème sur le thème « expressions littérales et formules », question par question.
Cette correction montre la rédaction attendue en calcul littéral : on écrit l’expression, on remplace la lettre par sa valeur, puis on calcule étape par étape en respectant les priorités opératoires. Pour le rectangle, elle explique comment passer de la formule générale à une expression réduite. Pour les maisons d’allumettes, elle justifie l’expression \(5n + 1\) par un comptage clair et la vérifie sur les étapes dessinées.
Compare ta démarche ligne par ligne avec celle proposée. Le barème précise les points de méthode et de résultat, et les pièges repèrent les confusions fréquentes entre carré et double.
L’énoncé complet se trouve ici : Expressions littérales et formules : contrôle de maths en 5ème.
Barème du contrôle corrigé : expressions littérales et formules
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Automatismes d’écriture | 4 points |
| 2. Remplacer la lettre par un nombre | 4 points |
| 3. Le rectangle ABCD | 4 points |
| 4. Le programme en blocs | 3 points |
| 5. Les maisons d’allumettes | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : expressions littérales et formules
Exercice 1 – Automatismes d’écriture (4 points)
- On supprime d’abord le signe \(\times\) devant une lettre ou une parenthèse, puis on écrit le nombre en premier.
\(A = 3a\)
\(B = 5xy\)
\(C = 2(x + 4)\)
Enfin, \(b\) est multiplié trois fois par lui-même : \(D = b^3\) - \(E = 7 \times x\)
\(F = 4 \times a \times b\)
\(G = 3 \times (y – 2)\)
\(H = 5 \times x \times x\)
Piège classique : écrire \(D = 3b\). \(3b\) veut dire \(b + b + b\), alors que \(b^3\) veut dire \(b \times b \times b\).
Exercice 2 – Remplacer la lettre par un nombre (4 points)
- Pour \(x = 3\), on remplace d’abord la lettre :
\(A = 4 \times 3 + 7 = 12 + 7\), donc \(A = 19\).
\(B = 3^2 – 2 \times 3 = 9 – 6\), donc \(B = 3\).
\(C = 2 \times 3^3 = 2 \times 27\), donc \(C = 54\).
\(D = 5 \times (3 – 1) = 5 \times 2\), donc \(D = 10\). - Ensuite, pour \(a = 2\) et \(b = 5\) :
\(E = 3 \times 2 + 2 \times 5 = 6 + 10\), donc \(E = 16\).
\(F = 2^2 \times 5 = 4 \times 5\), donc \(F = 20\). - D’abord, \(2x^2 = 2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18\).
\((2x)^2 = (2 \times 3)^2 = 6^2 = 36\).
\(18 \neq 36\) : Lucas a tort. En effet, dans \(2x^2\), seul \(x\) est au carré.
Piège classique : calculer \(2 \times 3^3\) comme \(6^3\). La puissance ne porte que sur 3 : on calcule \(3^3 = 27\) avant de multiplier par 2.
Exercice 3 – Le rectangle ABCD (4 points)
- Le périmètre d’un rectangle est égal à deux longueurs plus deux largeurs, donc :
\(P = (2x + 1) + x + (2x + 1) + x\)
\(P = 2x + 2x + x + x + 1 + 1\)
\(P = 6x + 2\) - L’aire d’un rectangle est égale à longueur fois largeur, donc : \(S = x(2x + 1)\), ce qui s’écrit aussi \(S = x \times (2x + 1)\).
- Ensuite, pour \(x = 4\) :
\(P = 6 \times 4 + 2 = 24 + 2 = 26\). Le périmètre vaut \(26\text{ cm}\).
Puis, la longueur vaut \(2 \times 4 + 1 = 9\) et \(9 + 4 + 9 + 4 = 26\).
\(S = 4 \times (2 \times 4 + 1) = 4 \times 9 = 36\). L’aire vaut \(36\text{ cm}^2\).
Piège classique : oublier les parenthèses et écrire \(x \times 2x + 1\) pour l’aire : on ne multiplierait alors pas toute la longueur par \(x\).
Exercice 4 – Le programme en blocs (3 points)
- D’abord, \(5 \times 4 = 20\), puis \(20 – 3 = 17\). Le programme affiche 17.
- Ensuite, \(2{,}5 \times 4 = 10\), puis \(10 – 3 = 7\). Le programme affiche 7.
- Le nombre \(n\) est multiplié par 4, puis on retire 3, donc : le résultat est \(4n – 3\).
- Enfin, on remonte le programme : \(37 + 3 = 40\) puis \(40 \div 4 = 10\). Vérification : \(4 \times 10 – 3 = 37\). On avait choisi 10.
Exercice 5 – Les maisons d’allumettes (5 points)
- D’abord, à l’étape 1 : 2 murs, 1 sol, 1 plafond et 2 allumettes de toit, soit 6 allumettes.
Étape 2 : 11 allumettes. Étape 3 : 16 allumettes.
Ensuite, on ajoute 5 allumettes à chaque étape : \(16 + 5 = 21\). Il faut 21 allumettes à l’étape 4. - Ainsi, de l’étape 1 à l’étape 10, on ajoute 9 fois 5 allumettes : \(6 + 9 \times 5 = 6 + 45 = 51\). Il faut 51 allumettes à l’étape 10.
- À l’étape \(n\), il y a donc \(n\) maisons. On compte le mur de gauche (1 allumette), puis pour chaque maison 5 allumettes : le sol, le plafond, les 2 allumettes du toit et le mur de droite.
Nombre d’allumettes : \(1 + 5 \times n\), c’est-à-dire \(5n + 1\).
Vérification : pour \(n = 1\), \(5 + 1 = 6\) ; pour \(n = 3\), \(15 + 1 = 16\). - D’abord, à l’étape 19 : \(5 \times 19 + 1 = 95 + 1 = 96\), et \(96 \leq 100\).
Ensuite, à l’étape 20 : \(5 \times 20 + 1 = 101\), et \(101 > 100\).
Malo peut construire l’étape 19 au plus, et il lui reste \(100 – 96 = 4\) allumettes.
Piège classique : compter 6 allumettes par maison et écrire \(6n\). Les murs partagés ne comptent qu’une fois : à partir de la deuxième maison, on n’ajoute que 5 allumettes.
À retenir de ce contrôle
- On peut supprimer le signe × devant une lettre ou une parenthèse : \(3 \times a\) s’écrit \(3a\), mais on garde le signe entre deux nombres.
- \(a^2\) signifie \(a \times a\) et \(a^3\) signifie \(a \times a \times a\) ; il ne faut pas les confondre avec \(2a\) et \(3a\).
- Pour calculer une expression, on remplace la lettre par sa valeur puis on applique les priorités : puissances, multiplications, additions.
- Pour un motif qui grandit, on repère ce qui est ajouté à chaque étape et on vérifie l’expression trouvée sur les premières étapes.
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