Losange, rectangle et carré : corrigé du contrôle de maths en 5ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 5ème sur le thème « losange, rectangle et carré », question par question.
Dans cette correction, chaque démonstration suit le même schéma en trois étapes : les données, la propriété citée en entier, puis la conclusion. C’est cette rédaction que l’on attend sur ta copie. Le tableau de classement est donné complet, avec une phrase qui montre pourquoi le carré est à la fois un rectangle et un losange. La figure du carré ABCD est tracée avec le point D et les diagonales codées. Le barème détaille la répartition des points entre justification et résultat. Relis surtout la figure 4 de l’exercice 1 : elle montre une erreur de raisonnement très fréquente.
L’énoncé complet se trouve ici : Losange, rectangle et carré : contrôle de maths en 5ème.
Barème du contrôle corrigé : losange, rectangle et carré
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Quatre quadrilatères codés | 4 points |
| 2. Vrai ou faux justifié | 3 points |
| 3. Le tableau de classement | 3 points |
| 4. Du triangle au carré | 5 points |
| 5. Le cerf-volant de Noé | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : losange, rectangle et carré
Exercice 1 – Quatre quadrilatères codés (4 points)
- D’après le codage, les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu, donc ABCD est un parallélogramme. Ses diagonales sont de plus perpendiculaires. Or un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.
ABCD est un losange. - Les quatre demi-diagonales ont la même longueur. Ainsi, les diagonales [EG] et [FH] se coupent en leur milieu, donc EFGH est un parallélogramme, et elles ont la même longueur. Or un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle.
EFGH est un rectangle. - D’abord, un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur est un losange. Or un losange qui a un angle droit est un carré.
IJKL est un carré. - Ici, les diagonales sont perpendiculaires, mais rien n’indique qu’elles se coupent en leur milieu (sur le dessin, le point d’intersection n’est d’ailleurs pas au milieu de [MP]). MNPQ n’est donc pas forcément un parallélogramme.
On ne peut pas affirmer que MNPQ est un losange : des diagonales perpendiculaires ne suffisent pas.
Piège classique : conclure « losange » dès que les diagonales sont perpendiculaires. Il faut d’abord être sûr d’avoir un parallélogramme.
Exercice 2 – Vrai ou faux justifié (3 points)
- Vrai. Un carré a quatre côtés de même longueur, donc c’est un losange.
- Faux. Un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle. Par exemple, un rectangle de 6 cm sur 3 cm n’est pas un losange.
- Faux. Par exemple, dans un rectangle de 6 cm sur 3 cm, les diagonales ne sont pas perpendiculaires. Elles le sont seulement quand le rectangle est un carré.
- Vrai. Un losange est un parallélogramme. Avec un angle droit, c’est donc un rectangle. Étant à la fois rectangle et losange, c’est un carré.
- Faux. Le losange ABCD de l’exercice 1 a une diagonale nettement plus longue que l’autre ; ses diagonales ont la même longueur seulement si c’est un carré.
- Vrai. Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. Ainsi, si deux côtés consécutifs sont égaux, les quatre côtés sont égaux.
Exercice 3 – Le tableau de classement (3 points)
| Propriété | Parallélogramme | Rectangle | Losange | Carré |
| Les côtés opposés sont parallèles | oui | oui | oui | oui |
| Les diagonales se coupent en leur milieu | oui | oui | oui | oui |
| Les diagonales ont la même longueur | non | oui | non | oui |
| Les diagonales sont perpendiculaires | non | non | oui | oui |
| Les quatre côtés ont la même longueur | non | non | oui | oui |
| Les quatre angles sont droits | non | oui | non | oui |
Ainsi, le carré a toutes les propriétés : il est à la fois un rectangle et un losange. Enfin, les deux premières lignes sont vraies pour tous : ce sont quatre parallélogrammes.
Exercice 4 – Du triangle au carré (5 points)
- On sait que O est le milieu de [AC] et que D est le symétrique de B par rapport à O, donc O est aussi le milieu de [BD].
Propriété : si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme.
Donc ABCD est un parallélogramme. - On sait que ABCD est un parallélogramme et que l’angle \(\widehat{ABC}\) est droit (le triangle ABC est rectangle en B).
Propriété : si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle.
Donc ABCD est un rectangle. - Ensuite, on sait que ABCD est un rectangle et que ses côtés consécutifs [AB] et [BC] ont la même longueur, 4 cm.
Propriété : si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un carré.
Donc ABCD est un carré. - Le triangle ABC est isocèle en B, car AB = BC. Donc ses angles à la base sont égaux : \(\widehat{BAC} = \widehat{BCA}\). La somme des angles d’un triangle vaut \(180^\circ\) :
\(\widehat{BAC} = (180^\circ – 90^\circ) \div 2 = 90^\circ \div 2 = 45^\circ\)
L’angle \(\widehat{BAC}\) mesure \(45^\circ\).
Piège classique : écrire « ABCD est un carré car il en a l’air ». Une figure ne prouve rien : seules les données et les propriétés permettent de conclure.
Exercice 5 – Le cerf-volant de Noé (5 points)
- On sait que les diagonales [HB] et [GD] se coupent en leur milieu S, donc HDBG est un parallélogramme. On sait aussi qu’elles sont perpendiculaires.
Propriété : si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.
Donc HDBG est un losange. - Dans un losange, les quatre côtés ont la même longueur, donc environ 36 cm chacun.
\(4 \times 36 = 144\)
Il faut environ 144 cm de ruban, soit 1,44 m. - Puis S est le milieu des baguettes : SH = 60 ÷ 2 = 30 cm et SD = 40 ÷ 2 = 20 cm. Ainsi, chaque triangle rectangle a des côtés de l’angle droit de 30 cm et 20 cm.
Aire d’un triangle : \(30 \times 20 \div 2 = 300\text{ cm}^2\)
Aire de la toile : \(4 \times 300 = 1\,200\text{ cm}^2\)
La toile a une aire de \(1\,200\text{ cm}^2\). - Les baguettes se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires, donc le cerf-volant de Jade est un losange. Ensuite, pour que ce losange soit un carré, il suffit que ses diagonales aient la même longueur (c’est alors aussi un rectangle).
La seconde baguette doit mesurer 60 cm.
Piège classique : prendre 60 et 40 comme côtés d’un triangle pour l’aire. Ce sont les demi-baguettes, 30 cm et 20 cm, qui forment l’angle droit.
À retenir de ce contrôle
- Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme ; c’est souvent la première étape à démontrer.
- Un parallélogramme est un rectangle s’il a un angle droit ou des diagonales de même longueur.
- Un parallélogramme est un losange s’il a deux côtés consécutifs égaux ou des diagonales perpendiculaires.
- Un carré est à la fois un rectangle et un losange : il possède toutes leurs propriétés.
- Des diagonales perpendiculaires ne suffisent pas pour affirmer qu’un quadrilatère quelconque est un losange.
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