Problèmes d’aires et de périmètres : corrigé du contrôle de maths en CM2
Voici le corrigé du contrôle de maths en CM2 sur le thème « problèmes d’aires et de périmètres », question par question.
Cette correction rédige chaque problème comme on l’attend sur une copie de CM2 : une phrase pour dire ce que l’on cherche, un calcul, puis une phrase-réponse avec l’unité. Elle rappelle à chaque fois la formule du rectangle utilisée, pour le périmètre comme pour l’aire.
Pour le mur, tu verras comment retirer l’aire de la fenêtre avant de compter les pots de peinture. Le dessin final compare aussi les deux potagers de même périmètre. Ensuite, le barème détaille les points par question, et les pièges classiques sont signalés, comme la confusion entre mètres et mètres carrés. Enfin, refais seul chaque question où tu t’es trompé.
L’énoncé complet se trouve ici : Problèmes d’aires et de périmètres : contrôle de maths en CM2.
Barème du contrôle corrigé : problèmes d’aires et de périmètres
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Le jardin et son allée | 4 points |
| 2. Trois figures sur quadrillage | 4 points |
| 3. Le carrelage de la cuisine | 4 points |
| 4. Le mur à repeindre | 4 points |
| 5. Le potager de Samia | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : problèmes d’aires et de périmètres
Exercice 1 – Le jardin et son allée (4 points)
- Le jardin est un rectangle, donc son périmètre vaut (longueur + largeur) × 2.
\((18 + 12) \times 2 = 30 \times 2 = 60\)
Le périmètre du jardin est de 60 m. - On enlève la largeur du portail : \(60 – 3 = 57\). Il faut 57 m de grillage.
- L’aire d’un rectangle vaut longueur × largeur.
\(18 \times 12 = 180 + 36 = 216\)
L’aire totale du jardin est de \(216\text{ m}^2\). - L’allée est un rectangle de 12 m sur 2 m : \(12 \times 2 = 24\). L’allée a une aire de \(24\text{ m}^2\).
- Le gazon couvre tout le jardin sauf l’allée : \(216 – 24 = 192\). Le gazon couvre \(192\text{ m}^2\).
Piège classique : ajouter seulement 18 + 12 et oublier de multiplier par 2. En effet, le tour du rectangle passe par quatre côtés, et non deux.
Exercice 2 – Trois figures sur quadrillage (4 points)
- On compte les côtés des carreaux sur le tour de chaque figure.
Figure A : \(6 + 2 + 6 + 2 = 16\), soit 16 cm.
Figure B : \(4 \times 4 = 16\), soit 16 cm.
Figure C : \(3 + 4 + 3 + 4 = 14\), soit 14 cm.
Les périmètres sont 16 cm pour A, 16 cm pour B et 14 cm pour C. - On compte les carreaux, ou bien on multiplie la longueur par la largeur.
Figure A : \(6 \times 2 = 12\), soit \(12\text{ cm}^2\).
Figure B : \(4 \times 4 = 16\), soit \(16\text{ cm}^2\).
Figure C : \(3 \times 4 = 12\), soit \(12\text{ cm}^2\).
Les aires sont \(12\text{ cm}^2\) pour A, \(16\text{ cm}^2\) pour B et \(12\text{ cm}^2\) pour C. - A et B ont le même périmètre (16 cm), mais pas la même aire (12 et \(16\text{ cm}^2\)). En revanche, A et C ont la même aire (\(12\text{ cm}^2\)), mais pas le même périmètre (16 et 14 cm).
Piège classique : croire que deux figures de même périmètre ont forcément la même aire. Pourtant le carré B couvre 4 carreaux de plus que le rectangle A.
Exercice 3 – Le carrelage de la cuisine (4 points)
- Le sol est un rectangle de 4 m sur 3 m : \(4 \times 3 = 12\). L’aire du sol est de \(12\text{ m}^2\).
- Un carreau mesure 50 cm, et il en faut 2 pour faire 1 m.
Dans la longueur : \(4 \times 2 = 8\) carreaux.
Dans la largeur : \(3 \times 2 = 6\) carreaux.
Au total : \(8 \times 6 = 48\).
Il faut 48 carreaux. - Or 4 boîtes ne contiennent que 40 carreaux, ce qui ne suffit pas, tandis que 5 boîtes en contiennent 50. Hugo doit acheter 5 boîtes (il lui restera 2 carreaux).
- \(5 \times 32 = 160\). Les boîtes coûtent 160 €.
Piège classique : répondre 4,8 boîtes. On ne peut acheter que des boîtes entières, donc on arrondit au nombre supérieur.
Exercice 4 – Le mur à repeindre (4 points)
- Le mur est un rectangle de 5 m sur 3 m : \(5 \times 3 = 15\). Le mur entier mesure \(15\text{ m}^2\).
- La fenêtre est un rectangle de 2 m sur 1,5 m : \(2 \times 1{,}5 = 3\). La fenêtre a une aire de \(3\text{ m}^2\).
- On retire la fenêtre : \(15 – 3 = 12\). Inès doit peindre \(12\text{ m}^2\).
- Avec deux couches, elle peint deux fois la surface : \(12 \times 2 = 24\text{ m}^2\). Puis, comme un pot couvre \(8\text{ m}^2\) : \(24 \div 8 = 3\). Il lui faut 3 pots de peinture.
- \(3 \times 14 = 42\). Inès va payer 42 €.
Piège classique : oublier la deuxième couche, ce qui donne seulement 2 pots. Relis toujours toutes les informations de l’énoncé.
Exercice 5 – Le potager de Samia (4 points)
- L’aire vaut longueur × largeur, donc on cherche le nombre qui, multiplié par 6, donne 48. Or \(6 \times 8 = 48\), ainsi \(48 \div 6 = 8\). La longueur du potager est de 8 m.
- \((8 + 6) \times 2 = 14 \times 2 = 28\). Le périmètre du potager est de 28 m.
- Un carré a quatre côtés égaux, donc son côté mesure \(28 \div 4 = 7\) m. Son aire vaut alors \(7 \times 7 = 49\text{ m}^2\), et \(49 – 48 = 1\).
Le côté du carré mesure 7 m. Son aire, \(49\text{ m}^2\), dépasse de \(1\text{ m}^2\) celle du potager actuel, bien que les deux aient le même périmètre. - On cherche un nombre qui, multiplié par lui-même, donne 36 : c’est 6, car \(6 \times 6 = 36\). Le côté du potager de Léo mesure 6 m.
À retenir de ce contrôle
- Le périmètre d’un rectangle se calcule avec (longueur + largeur) × 2 et s’exprime en mètres ou en centimètres.
- L’aire d’un rectangle se calcule avec longueur × largeur et s’exprime en unités carrées comme le m² ou le cm².
- Pour l’aire d’une surface trouée, on calcule l’aire totale, puis on soustrait l’aire de la partie enlevée.
- Deux figures peuvent avoir le même périmètre sans avoir la même aire, et inversement.
- Quand on connaît l’aire et la largeur d’un rectangle, on retrouve la longueur en divisant l’aire par la largeur.
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