Fonction carrée et polynôme : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF

Mis à jour le 24 novembre 2025

Les élèves de seconde doivent maîtriser les concepts fondamentaux des fonctions carrées et des polynômes, car ces notions sont cruciales pour leur parcours en mathématiques. Ce guide de corrections d’exercices vous aidera à développer des compétences essentielles, telles que la résolution d’équations et l’analyse graphique. La compréhension des propriétés des polynômes et de leur comportement est indispensable pour réussir dans des domaines mathématiques plus avancés. Améliorez vos résultats en explorant ces exercices clé !

Exercice 1 – fonction polynôme et parabole.

a) Maximum ou minimum : La fonction g est un polynôme de degré 2 de la forme $ax^2+bx+c$ avec $a=-3$ .

Comme $a$ est négatif, la parabole est orientée vers le bas et g admet un maximum.

b) Tabulation de g :

$g(-3)=-3\times (-3)^2+6\times (-3)-1=-46$
$g(-2)=-3\times (-2)^2+6\times (-2)-1=-25$
$g(-1)=-3\times (-1)^2+6\times (-1)-1=-10$
$g(0)=-3\times 0^2+6\times 0-1=-1$
$g(1)=-3\times 1^2+6\times 1-1=2$
$g(2)=-3\times 2^2+6\times 2-1=1$
$g(3)=-3\times 3^2+6\times 3-1=-4$

c) Sommet de la parabole :

L’abscisse $\alpha$ du sommet S est donnée par $\alpha=-\frac{b}{2a}$ .

Donc, $\alpha=-\frac{6}{2\times (-3)}=1$ .

L’ordonnée $\beta$ est $\beta=g(1)=2$ .

Le sommet S est donc .

d) Tracé de la parabole :

Pour tracer la parabole, utilisez les points de la tabulation ainsi que le sommet .

La parabole passe par ces points et a son maximum au sommet.

Exercice 2 – fonction polynôme de degré 2.

a) Pour afficher la parabole P à l’écran de la calculatrice, entrez l’équation dans l’outil de calcul graphique.

La parabole est une courbe symétrique par rapport à son sommet.

Le sommet S d’une parabole de la forme $ax^2+bx+c$ se trouve aux coordonnées :

$x=-\frac{b}{2a}$

Pour notre équation, et , donc :

$x=-\frac{8}{2\times 2}=-2$

On remplace dans l’équation pour trouver la coordonnée y :

Ainsi, le sommet S est .

b) L’équation entrée dans l’écran de calcul indique que la résolution $\{x=0\}$ vérifie , c

e qui n’est pas pertinent ici pour la conjecture du sommet, qui est à .

c) Pour tracer la parabole P, utilisez la carte graphique de la calculatrice pour visualiser

l’équation avec les coordonnées de sommet trouvées.

Exercice 3 – tableau et étude du signe d’un produit.

a) Étude du signe de selon les valeurs de .

Les racines de l’expression sont obtenues en résolvant :

, soit $x=\frac{1}{2}$ , et

, soit .

Ces racines divisent la droite réelle en intervalles :

$-8lt;xlt;\frac{1}{2}$
$xgt;\frac{1}{2}$

Tableau de signes :

$-\infty$	-8	$\frac{1}{2}$	$+\infty$
–	–	0	+
–	0	+	+
+	0	–	+

b) Résolution de l’inéquation : $(2x-1)(x+8)\geq\,0$

La solution est : $x\leq\,-8$ ou $x\geq\,\frac{1}{2}$

c) Contrôle graphique :

Pour vérifier graphiquement, tracer la courbe de la fonction

et observer les intervalles où la courbe est au-dessus ou sur l’axe des abscisses.

Exercice 4 – résoudre une inéquation et étude de signe du produit.

a) Étudier le signe de (4+x)(2+x).

Nous allons utiliser un tableau de signes pour déterminer les intervalles où le produit est positif, négatif ou nul.

Les zéros des facteurs sont x = -4 et x = -2.
On divise donc la droite des réels en trois intervalles : $x\in -]\infty, -4]$ , ]-4, -2[ , et $]-2, +\infty[$ .

Construisons le tableau de signes :

x	[-∞, -4[	-4	]-4, -2[	-2	]-2, +∞[
4+x	–	0	+	+	+
2+x	–	–	–	0	+
(4+x)(2+x)	+	0	–	0	+

b) Résoudre l’inéquation (4+x)(2+x) < 0.

L’inéquation est négative sur l’intervalle $(-4\ ;\ -2)$ .

Solution : $x\in(-4\ ;\ -2)$

Exercice 5 – résoudre graphiquement des inéquations.

Pour cette inéquation, déterminons d’abord les zéros des facteurs :

$x+5=0 \Rightarrow x=-5$
$-3x+1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{3}$

Cherchons les intervalles de signe avec un tableau de signes :

Intervalle	x+5	-3x+1	Produit
$]-\infty, -5[$	–	+	–
$]-5, \frac{1}{3}[$	+	+	+
$[\frac{1}{3},+ \infty[$	+	–	–

Solution : $x \in ]-5, \frac{1}{3}[$

$3-2x=0 \Rightarrow x=\frac{3}{2}$
$x+5=0 \Rightarrow x=-5$

Tableau de signes :

Intervalle	3-2x	x+5	Produit
$]-\infty, -5[$	+	–	–
$[-5, \frac{3}{2}[$	+	+	+
$[\frac{3}{2}, \infty[$	–	+	–

Solution : $x \in ]-5, \frac{3}{2}[$ ;

$x(-2x+8)\geq\,0$

$-2x+8=0 \Rightarrow x=4$

Tableau de signes :

Intervalle	x	-2x+8	Produit
$]-\infty, 0[$	–	+	–
$[0, 4]$	+	+	+
$[4, \infty[$	+	–	–

Solution : $x \in [0, 4]$

$(1-2x)(6-3x)\leq\,0$

$1-2x=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$
$6-3x=0 \Rightarrow x=2$

Tableau de signes :

Intervalle	1-2x	6-3x	Produit
$]-\infty, \frac{1}{2}[$	+	+	+
$[\frac{1}{2}, 2]$	+	–	–
$[2,+\infty[$	–	–	+

Solution : $x \in [\frac{1}{2}, 2]$

Exercice 6 – aire d’un rectangle et fonctions.

a) Placer le point M :

Pour que l’aire du triangle AMN soit comprise entre le quart et la moitié de l’aire du rectangle ABCD :

L’aire du rectangle ABCD est $2\times 5=10$ cm².

Donc,

aire minimum = $\frac{1}{4}\times 10=2,5$ cm².

aire maximum = $\frac{1}{2}\times 10=5$ cm².

L’aire du triangle AMN est : $\frac{1}{2}\times AN\times AM$

Étant donné que $AN=2\times AM$ , alors

$AMN=\frac{1}{2}\times 2\times AM\times AM=AM^2$

On résout :

$2,5\leq\, AM^2\leq\,5$

Donc $\sqrt{2,5}\leq\, AM\leq\,\sqrt{5}$

Cela signifie $1,58\leq\, AM\leq\,2,24$

b) Sur l’affirmation de Xavier :

L’aire maximale de AMN est

Puisque $AM\leq\,2$ (car il est sur AD et AD = 2 cm),

$AM^2\leq\,4$

Les trois quarts de l’aire du rectangle ABCD est :

$\frac{3}{4}\times 10=7,5$

Donc, Xavier a raison, car l’aire maximale possible pour AMN est 4 cm², qui est inférieure à 7,5 cm².

Exercice 7 – aire d’un triangle et fonctions.

Étape 1 : Calcul de l’aire du triangle ABC.

Le triangle ABC est rectangle en A, donc son aire est donnée par :

$\text{Aire}_{ABC}=\frac{1}{2}\times AB \times AC$

$\text{Aire}_{ABC}=\frac{1}{2}\times 5 \times 10 = 25 \, \text{cm}^2$

Étape 2 : Aire du triangle BMN.

L’aire requise est au moins le quart de celle de ABC :

$\text{Aire}_{BMN}\geq\,\frac{1}{4}\times \text{Aire}_{ABC}$

$\text{Aire}_{BMN}\geq\,\frac{1}{4}\times 25 = 6,25 \, \text{cm}^2$

Étape 3 : Positionnement de M.

BMN est rectangle en M, donc :

$\text{Aire}_{BMN}=\frac{1}{2}\times x \times MN$

Le théorème de Pythagore dans BMN nous donne :

$MN=\sqrt{(BC)^2-(x)^2}$

En remplaçant BC par la valeur de l’hypoténuse AC :

$BC=\sqrt{(CA)^2+(AB)^2}=\sqrt{10^2+5^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$

Il faut satisfaire :

$\frac{1}{2}\times x \times \sqrt{(5\sqrt{5})^2-x^2}\geq\, 6,25$

Il s’agit de résoudre cette inéquation pour trouver la valeur minimale de x.

Exercice 8 – programme de calcul et fonctions.

a) On choisit le nombre 5,5. Suivons le programme de calcul étape par étape :

– Ajouter 7 :

– Élever au carré :

– Multiplier par 2 : $156,25\times 2=312,5$

– Soustraire 8 :

Résultat : 304.5

b) Soit le nombre choisi. Exprimons le nombre obtenu avec le programme de calcul :

– Ajouter 7 :

– Élever au carré :

– Multiplier par 2 :

– Soustraire 8 :

Expression finale :

c) Pour que le nombre obtenu soit minimal, il suffit de minimiser l’expression. Comme est minimal pour , on a :

Vérification :

Pour

– Ajouter 7 :

– Élever au carré :

– Multiplier par 2 : $2\times 0=0$

– Soustraire 8 :

Nombre minimal : -8

Exercice 9 – logiciel de calcul formel et fonctions.

a) Rédiger un programme de calcul associé à cette fonction $f$.
La fonction est donnée sous la forme canonique : $f(x)=-2(x+\frac{3}{2})^{2}-3$ .

b) Quel nombre obtient-on lorsqu’on choisit :

Le nombre 0 ? :
$f(0)=-2(0+\frac{3}{2})^{2}-3$ = $-2\times \frac{9}{4}-3$ = = -7,5.

Le nombre -1,5 ? :
$f(-1,5)=-2(-1,5+\frac{3}{2})^{2}-3$ = $-2\times 0^{2}-3$ = -3.

c) Peut-on choisir un nombre de façon que le nombre obtenu avec ce programme de calcul soit maximal ?
La fonction quadratique sous forme canonique atteint son maximum quand $(x+\frac{3}{2})^{2}$ est minimal,

c’est-à-dire quand $x=-\frac{3}{2}$ . Alors, qui est le maximum possible.

Exercice 10 – algorithme et calculatrice.

1. a) Algorithme :

Saisir une valeur de .

Calculer et $2x - 1$ .

Si $x^2 \leq\, 2x - 1$ , afficher .

Sinon, afficher $2x - 1$ .

1. b) Test de l’algorithme :

Testez pour quelques valeurs de (par exemple, x = 0, x = 1, x = 3).

On peut conjecturer que la valeur minimale des deux est pour $x \leq\, 1$ et $2x - 1$ pour $x \geq\, 1$ .

2. a) Courbes :

Utilisez une calculatrice pour tracer les courbes $y = x^2$ et $y = 2x - 1$ .

2. b) Confirmation de la conjecture :

Oui, la courbe confirme que pour $x \leq\, 1$ , $y = x^2$ est plus petit, et pour $x \geq\, 1$ , $2x - 1x$ est plus petit.

3. Démonstration algébrique :

Comparer et $2x - 1$ .

On veut résoudre $x^2 \leq\, 2x - 1$ .

Reformulons l’inéquation : $x^2 - 2x + 1 \leq\, 0$ .

$(x - 1)^2 \leq\, 0$

Donc, $x = 1$ .

Pour $x \leq\, 1$ , est plus petit, et pour $x \geq\, 1$ , $2x - 1$ est plus petit.

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