Repérage dans le plan : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF

Mis à jour le 24 novembre 2025

Le repérage dans le plan constitue une compétence essentielle pour les élèves de seconde, leur permettant de visualiser et d’analyser des figures géométriques avec précision. Maîtriser cette notion est crucial pour aborder des thèmes avancés en maths, tels que la géométrie analytique et la trigonométrie. À travers cet article, nous vous proposons des corrections d’exercices pratiques pour renforcer votre compréhension et améliorer vos résultats. Apprenez à naviguer efficacement dans le plan et à développer vos compétences mathématiques essentielles !

Exercice 1 – donner les noms des points.

Figure 1 : Le point de coordonnées $(-1\,;\,2)$ est le point B.

Figure 2 : Le point de coordonnées $(-1\,;\,2)$ est le point A.

Exercice 2 – valeur de longueur et coordonnées du milieu.

1) Valeur exacte de la longueur du segment [AB] :

La formule pour calculer la longueur d’un segment selon les coordonnées de ses extrémités $A(x_1, y_1)$ et $B(x_2, y_2)$ est :

$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Pour les points $A(5; -1)$ et , cela donne :

$\sqrt{(-2-5)^2+(1-(-1))^2}$

$\sqrt{(-7)^2+(2)^2}$

$\sqrt{49+4}$

$\sqrt{53}$

2) Coordonnées du milieu du segment [AB] :

La formule pour trouver les coordonnées du milieu est :

$(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$

Pour les points $A(5; -1)$ et $B(-2; 1)$ , cela donne :

$(\frac{5+(-2)}{2}; \frac{-1+1}{2})$

$(\frac{3}{2}; \frac{0}{2})$

$(\frac{3}{2}; 0)$

Exercice 3 – coordonnées dans un repère et triangle.

1) Placement des points A et B :

Les points A et B ont pour coordonnées respectives A(2; -1) et B(-6; -1).

2) Construction de C tel que ABC soit isocèle en C avec hauteur 4 cm :

La médiatrice du segment AB est une droite parallèle à l’axe des ordonnées (axe y) étant donné que A et B sont alignés horizontalement. Le milieu de AB est le point M avec :

$M(\frac{2 + (-6)}{2} ; -1\) = M(-2; -1)$

Le point doit être situé à 4 cm de l’axe des au-dessus de , soit en $(-2; -1 + 4) = (-2; 3)$ .

3) Coordonnées du point C :

C(-2; 3)

4) Construction du symétrique de C par rapport à (AB) :

Le symétrique de C(-2; 3) par rapport à l’axe x est le point C'(-2; -5).

5) Coordonnées de C’ :

C'(-2; -5)

Exercice 4 – construire des points dans un repère.

1) Placement des points D et E :
Les points D et E ont pour coordonnées respectives $(4\,;\,-3)$ et $(-2\,;\,3)$ .

2) Construction du point F :
Pour que le triangle EDF soit équilatéral, nous devons trouver le point F de telle manière que DE = DF = EF. La longueur DE est $\sqrt{(4+2)^2+(-3-3)^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ .

3) Coordonnées de F :
Le point F peut se situer à deux endroits possibles en utilisant la construction d’un triangle équilatéral. Les coordonnées sont $(1\,;\,4\sqrt{3})$ ou $(1\,;\,-10\sqrt{3})$ .

4) Symétrique de E par rapport à F :
Pour trouver le symétrique de E par rapport à F, calculons les coordonnées en prenant F comme milieu de EE’.

5) Coordonnées du symétrique :
Le symétrique de E par rapport à F est situé aux coordonnées $(4-2\times (-2-1)\,;\,4\sqrt{3}-2\times (3-4\sqrt{3}))$ .

Exercice 5 – coordonnées des milieux de segments.

1. Points A et B de coordonnées respectives et .

Coordonnées du milieu de [AB] :

$(\frac{-2,6+6,3}{2};\frac{4,7-5,9}{2})=(\frac{3,7}{2};\frac{-1,2}{2})=(1,85;-0,6)$

2. Points A, B et C de coordonnées respectives $(\frac{1}{3};\frac{2}{5})$ , $(\frac{4}{6};\frac{1}{4})$ et $(\sqrt{5};\frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Milieu de [AB] :

$(\frac{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}{2};\frac{\frac{2}{5}+\frac{1}{4}}{2})=(\frac{1}{2};\frac{13}{40})$

Milieu de [BC] :

$(\frac{\frac{4}{6}+\sqrt{5}}{2};\frac{\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Milieu de [AC] :

$(\frac{\frac{1}{3}+\sqrt{5}}{2};\frac{\frac{2}{5}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

3. Points C et D de coordonnées respectives $(34\;582;-43\;590)$ et $(10\;991;59\;267)$ .

Coordonnées du point d’intersection du segment [CD] avec sa médiatrice :

La médiatrice d’un segment passe par son milieu et est perpendiculaire à ce segment. Il n’y a pas de coordonnées uniques pour ce point d’intersection autre que le milieu déjà calculé :

$(\frac{34\;582+10\;991}{2};\frac{-43\;590+59\;267}{2})=(22\;786,5;7\;838,5)$

Exercice 6 – coordonnées du milieu et parallélogramme.

1) Calculer les coordonnées du point B tel que M soit le milieu de [AB].

Les coordonnées de M sont (0;3). On a A(3;-2) et M est le milieu de [AB], donc :

Coordonnées de M :
$(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2})$

Système d’équations :

$\frac{3+x_B}{2}=0$

$\frac{-2+y_B}{2}=3$

Solutions :
et

Donc, B a pour coordonnées (-3;8).

2) Calculer les coordonnées du point symétrique de E par rapport au point F.

Pour trouver les coordonnées du point symétrique E’ de E par rapport à F, on utilise la formule :
$E'(x_{E}+2(x_{F}-x_{E});y_{E}+2(y_{F}-y_{E}))$

Avec E(-6;9) et F(0;-4,6), on a :

$x_{E'}=-6+2(0+6)=6$

$y_{E'}=9+2(-4,6-9)=-18,2$

Donc, E’ a pour coordonnées (6;-18,2).

1) Calculer les coordonnées du milieu de [BN].

Coordonnées de B
$(\frac{1}{2};-\frac{3}{4})$
et N
$(\frac{5}{6};\frac{2}{3})$ :

Milieu de [BN] :
$(\frac{\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}{2};\frac{-\frac{3}{4}+\frac{2}{3}}{2})$

Coordonnées du milieu :

$(\frac{4}{12}+\frac{10}{12};\frac{2}{2})=(\frac{7}{12};-\frac{1}{12})$

2) Calculer les coordonnées du point C tel que BANC soit un parallélogramme.

Pour que BANC soit un parallélogramme, on doit avoir
$\vec{BA}=\vec{NC}$ , donc :

Coordonnées de A
$(\frac{4}{5};\frac{7}{5})$

On a :

Système d’équations :

Calcul :

$x_C-\frac{5}{6}=\frac{4}{5}-\frac{1}{2}$

$y_C-\frac{2}{3}=\frac{7}{5}+\frac{3}{4}$

Solutions :

$x_C=\frac{5}{6}+\frac{3}{10}=\frac{28}{30}=\frac{14}{15}$

$y_C=\frac{2}{3}+\frac{61}{20}=\frac{101}{60}$

Donc, C a pour coordonnées
$(\frac{14}{15};\frac{101}{60})$

Exercice 7 – coordonnées d’un point et sommets de triangle.

Les coordonnées des sommets du triangle PAT sont:

1. Calcul des coordonnées de E :

Le point E est le milieu du segment . On utilise la formule du milieu :

$E(\frac{0+5}{2};\frac{-1-2}{2})$

Donc E a pour coordonnées : $(\frac{5}{2};-1.5)$

2. Calcul de la pente de la droite (TP) :

La pente de la droite est donnée par :

$m=\frac{-2-4}{5+2}=-\frac{6}{7}$

3. Équation de la parallèle à (TP) passant par E :

Cette droite a la même pente que et passe par E :

$y+1.5=-\frac{6}{7}(x-\frac{5}{2})$

En développant :

$y=-\frac{6}{7}x+\frac{3}{7}-1.5$

$y=-\frac{6}{7}x-\frac{18}{14}$

4. Intersection avec la droite (PA) :

L’équation de la droite est :

$\frac{-1-4}{0+2}=-\frac{5}{2}$

En remontant cette pente avec le point P :

$y-4=-\frac{5}{2}(x+2)$

Equation simplifiée :

$y=-\frac{5}{2}x-1$

5. Résolution du système (intersection des deux droites) :

On égale les deux équations :

$- \frac{6}{7}x-\frac{18}{14}=-\frac{5}{2}x-1$

Afin de trouver les coordonnées de F

Les coordonnées de F sont :

$(\frac{1}{7};-\frac{2}{7})$

Exercice 8 – placer les symétriques et coordonnées.

1) Coordonnées des points :

Coordonnées de A : $(-2\,;\,-3)$ .

Coordonnées de B : $(1\,;\,3)$ .

Coordonnées de C : $(-3\,;\,0)$ .

Coordonnées de D : $(2\,;\,0)$ .

2) Symétrique E du point B par rapport à J :

Le point J a pour coordonnées $(0\,;\,1)$ .

Pour trouver E, on utilise la symétrie : $E(2\,;\,-1)$ .

3) Coordonnées des milieux :

Milieu F de [AB] : $(\frac{-2+1}{2}\,;\,\frac{-3+3}{2})=(\frac{-1}{2}\,;\,0)$ .

Milieu G de [AC] : $(\frac{-2+(-3)}{2}\,;\,\frac{-3+0}{2})=(-\frac{5}{2}\,;\,-\frac{3}{2})$ .

4) Calcul des distances :

Distance AC : $\sqrt{(-3+2)^2+(0+3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$ .

Distance CE : $\sqrt{(2+3)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$ .

Distance AE : $\sqrt{(2+2)^2+(-1+3)^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}$ .

5) Nature du triangle ACE :

Le triangle ACE est rectangle car : soit .

Exercice 9 – périmètre d’un triangle et coordonnées.

1) Calculer le périmètre du triangle $ABC$.

Les coordonnées des points sont :

$A (\frac{5}{3};-\frac{1}{6} )$
$B(2;\frac{1}{3})$
$C(\frac{2}{3};\frac{1}{2})$

On calcule les longueurs des côtés :

$AB = \sqrt{(2-\frac{5}{3})^2 + (\frac{1}{3}+\frac{1}{6})^2}$

$= \sqrt{(\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{2})^2} \\= \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4}{36} + \frac{9}{36}} \\= \sqrt{\frac{13}{36}} \\= \frac{\sqrt{13}}{6}$

$BC = \sqrt{(\frac{2}{3}-2)^2 + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3})^2}$

$= \sqrt{(-\frac{4}{3})^2 + (\frac{1}{6})^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{64}{36} + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{65}{36}} = \frac{\sqrt{65}}{6}$

$CA = \sqrt{(\frac{2}{3}-\frac{5}{3})^2 + (\frac{1}{2}+\frac{1}{6})^2}$

$= \sqrt{(-1)^2 + (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$

Le périmètre du triangle ABC est donc :

$Perimetre = AB + BC + CA = \frac{\sqrt{13}}{6} + \frac{\sqrt{65}}{6} + \frac{\sqrt{13}}{3}$

$= \frac{\sqrt{13} + \sqrt{65} + 2\sqrt{13}}{6} = \frac{3\sqrt{13} + \sqrt{65}}{6}$

2) Calculer les coordonnées des points A’, B’ et C’, milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB].

Coordonnées de A ‘ :

$A'(\frac{2+\frac{2}{3}}{2}; \frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{2}) = (\frac{\frac{8}{3}}{2};\frac{\frac{5}{6}}{2})$

$A'(\frac{4}{3};\frac{5}{12})$

Coordonnées de B ‘ :

$B'(\frac{\frac{5}{3}+\frac{2}{3}}{2};\frac{-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}}{2}) = (\frac{7/3}{2};\frac{1/3}{2})$

$B'(\frac{7}{6};\frac{1}{6})$

Coordonnées de C ‘ :

$C'(\frac{\frac{5}{3}+2}{2};\frac{-\frac{1}{6}+\frac{1}{3}}{2}) = (\frac{11/3}{2};\frac{1/6}{2})$

$C'(\frac{11}{6};\frac{1}{12})$

3) En déduire le périmètre du triangle A’B’C’.

On calcule les longueurs des côtés :

$A'B' = \sqrt{(\frac{4}{3} - \frac{7}{6})^2 + (\frac{5}{12} - \frac{1}{6})^2}$

$= \sqrt{(\frac{8}{6}-\frac{7}{6})^2 + (\frac{5}{12}-\frac{2}{12})^2}$

$= \sqrt{(\frac{1}{6})^2 + (\frac{3}{12})^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{1}{16}}$

$= \sqrt{\frac{4}{144} + \frac{9}{144}} = \sqrt{\frac{13}{144}} = \frac{\sqrt{13}}{12}$

$B'C' = \sqrt{(\frac{7}{6} - \frac{11}{6})^2 + (\frac{1}{6} - \frac{1}{12})^2}$

$= \sqrt{(-\frac{4}{6})^2 + (\frac{1}{6} - \frac{1}{12})^2}$

$= \sqrt{(-\frac{2}{3})^2 + (\frac{1}{12})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{144}}$

$= \sqrt{\frac{64}{144} + \frac{1}{144}} = \sqrt{\frac{65}{144}} = \frac{\sqrt{65}}{12}$

$C'A' = \sqrt{(\frac{11}{6} - \frac{4}{3})^2 + (\frac{1}{12} - \frac{5}{12})^2}$

$= \sqrt{(\frac{11}{6} - \frac{8}{6})^2 + (-\frac{4}{12})^2}$

$= \sqrt{(\frac{3}{6})^2 + (-\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}}$

$= \sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{36}} = \sqrt{\frac{13}{36}} = \frac{\sqrt{13}}{6}$

Le périmètre du triangle A’B’C’ est donc :

$Perimetre = A'B' + B'C' + C'A' \\= \frac{\sqrt{13}}{12} + \frac{\sqrt{65}}{12} + \frac{\sqrt{13}}{6}$

$= \frac{\sqrt{13} + \sqrt{65} + 2\sqrt{13}}{12} = \frac{3\sqrt{13} + \sqrt{65}}{12}$

Exercice 10 – patron d’une pyramide et coordonnées.

Coordonnées des points :

A : L’origine du repère donné est au point A, donc $(0\,;0)$ .

B : Comme AB est sur un côté du carré et que le côté (AD) est perpendiculaire à (AB), le point B est $(c\,;0)$ , avec c la longueur du côté du carré.

D : Le point D est sur le même côté que A et à un angle droit, donc $(0\,;c)$ .

C : Le point C est où (CD) et (BC) se rejoignent, formant un carré avec D et B. Donc, $(c\,;c)$ .

: À partir de l’orthogonalité et symétrie du patron, si AE_1 est égal à AB, alors $(-c\,;0)$ .

Symétriquement sous le repère, $(0\,;-c)$ .

Utilisant la symétrie au-dessus de D, $(0\,;2c)$ .

Symétriquement à partir de B, $(2c\,;0)$ .

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