Trigonométrie : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF

Mis à jour le 24 novembre 2025

La **trigonométrie** est une matière essentielle pour les élèves de **seconde**, car elle permet de développer des compétences clés en mathématiques, telles que la résolution de triangles et l’analyse de fonctions trigonométriques. Maîtriser ces concepts est crucial pour réussir dans des domaines plus avancés, tels que le calcul intégral et la géométrie analytique. Dans cet article, nous vous proposons des **corrections d’exercices de mathématiques** pour améliorer votre compréhension de la trigonométrie et renforcer votre performance académique.

Exercice 1 – placer des points sur un cercle trigonométrique.

a) M image de $\frac{4\pi}{3}$

Pour placer M, il faut réduire l’angle modulo $2\pi$ .

$\frac{4\pi}{3} - 2\pi = \frac{4\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$

Le point M est donc positionné comme $-\frac{2\pi}{3}$ sur le cercle trigonométrique.

b) N image de $\frac{19\pi}{2}$

Réduisons également cet angle modulo $2\pi$ .

$\frac{19\pi}{2} - 3\times 2\pi = \frac{19\pi}{2} - \frac{12\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}$

Et encore une fois : $\frac{7\pi}{2} - 2\pi = \frac{7\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$

Donc, N est positionné à $\frac{3\pi}{2}$ sur le cercle.

c) P image de $-\frac{3\pi}{4}$

Aucun changement nécessaire car cet angle est déjà compris dans $[-\pi, \pi]$ .

Le point P est donc positionné à $-\frac{3\pi}{4}$ .

d) R image de $\frac{29\pi}{4}$

Réduisons l’angle modulo $2\pi$ .

$\frac{29\pi}{4} - 3\times 2\pi = \frac{29\pi}{4} - \frac{24\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$

Le point R est donc positionné à $\frac{5\pi}{4}$ sur le cercle.

Exercice 2 – image et cercle trigonométrique.

a) M image de $\frac{\pi}{5}$ :

Cet angle se place dans le premier quadrant.

b) N image de $\frac{11\pi}{6}$ :

Réduction modulo $2\pi$ : $\frac{11\pi}{6}-2\pi=-\frac{\pi}{6}$ .

L’angle est dans le quatrième quadrant.

c) P image de $-\frac{7\pi}{6}$ :

Réduction modulo $2\pi$ : $-7\pi/6+2\pi=\frac{5\pi}{6}$ .

L’angle est dans le deuxième quadrant.

d) R image de $-\frac{17\pi}{3}$ :

Réduction modulo $2\pi$ : $-17\pi/3+6\pi=\frac{\pi}{3}$ .

L’angle est dans le premier quadrant.

Exercice 3 – donner des nombres ayant le même point image.

Réponse a) :

Positifs : $3\pi$ , $5\pi$
Négatif : $-3\pi$

Réponse b) :

Positifs : $\frac{5\pi}{2}$ , $\frac{9\pi}{2}$
Négatif : $-\frac{3\pi}{2}$

Réponse c) :

Positifs : $\frac{9\pi}{4}$ , $\frac{17\pi}{4}$
Négatif : $-\frac{7\pi}{4}$

Réponse d) :

Positifs : $\frac{7\pi}{5}$ , $\frac{17\pi}{5}$
Négatif : $-7\pi$

Exercice 4 – trigonométrie et calculatrice.

a) Valeur approchée :

À l’aide d’une calculatrice, on trouve :

$\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)\approx-0,71$

b) Valeurs exactes :

Sur le cercle trigonométrique, l’angle $\frac{3\pi}{4}$ est situé dans le deuxième quadrant.

$\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Exercice 5 – calculer une longueur avec la trigonométrie.

a) Calcul de la valeur exacte de OH :

Dans le triangle rectangle OMC, on applique le théorème de Pythagore :

Avec OM=1 , on a :

1=2OH^2

$OH^2=\frac{1}{2}$

$OH=\frac{\sqrt{2}}{2}$

b) Mesure de l’angle $\widehat{HOM}$ :

Dans un triangle isocèle rectangle, les angles sont égaux et valent :

$45^\circ$

c) Valeurs exactes de $cos(\frac{\pi}{4})$ et $sin(\frac{\pi}{4})$ :

Pour un angle de $45^\circ$ , on a :

$\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Exercice 6 – déterminer une longueur sur le cercle trigonométrique.

Pour déterminer la longueur de l’arc rouge, nous utilisons la formule de l’arc d’un cercle.

Sur le cercle trigonométrique de rayon 1, l’abscisse de point A est donnée par :

$\cos \theta = 0,5$

On connaît que $cos \theta = 0,5$ correspond à $\theta = \frac{\pi}{3}$ et $\theta = -\frac{\pi}{3}$ .

Pareil pour les ordonnées de -0.6 :

$\cos \phi = -0,6$

On suppose des points symétriques donc $\phi = \arccos(-0,6)\) et \(-\arccos(-0,6)$ .

La longueur totale de l’arc rouge est donc la somme des deux arcs. Calculons la partie positive :

$L=2\left(\frac{\pi}{3}+\arc\cos(-0,6)\right)$

Avec l’approximation numérique de $\arccos(-0,6)$, nous avons :

$arccos(-0,6) \approx 2,214$ radians.

Donc :

$L\approx2\left(\frac{\pi}{3}+2,214\right)$

$\ell \approx 8,81 \, \text{units}$

Exercice 7 – calculer une valeur approchée de la longueur L.

La figure rouge est composée d’un segment horizontal, d’un segment vertical, et d’un quart de cercle.

1. Longueur du segment vertical :

AB= 0,6

2. Longueur du segment horizontal :

$OA =\sqrt{1^2-0,6^2}=\sqrt{0,64}\approx 0,8$

3. Longueur de l’arc de cercle :

L’arc $\overset{\frown}{IJ}$ est un quart de cercle de rayon 1.

La position du point B sur l’arc est déterminée par :

$\sin(\theta)=0,6$

$\theta \approx \arcsin(0,6) \approx 0,6435$ radians.

La longueur de l’arc OB est donc :

$R\times \theta \approx 1\times 0,6435 \approx 0,6435$

Longueur totale de L :

$L=0,8 + 0,6 + 0,6435 \approx 2,0435$

Valeur approchée : 2,04

Exercice 8 – algorithme et trigonométrie.

Pour n=4 , l’algorithme effectue les calculs suivants :

S = 0
Pour k = 0 :
$S=S+\cos(0\pi)=1$
Pour k = 1 :
$S=S+\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
Pour k = 2 :
$S=S+\cos\left(\frac{2\pi}{4}\right)=1+\frac{\sqrt{2}}{2}+0$
Pour k = 3 :
$S=S+\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=1+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$
Pour k = 4 :
$S=S+\cos\left(\frac{4\pi}{4}\right)=1+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-1=0$

S = 0

Pour n=5 , l’algorithme effectue les calculs suivants :

S = 0
Pour k = 0:
$S=S+\cos(0\pi)=1$
Pour k = 1:
$S=S+\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)$
Pour k = 2:
$S=S+\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)$
Pour k = 3:
$S=S+\cos\left(\frac{3\pi}{5}\right)$
Pour k = 4:
$S=S+\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)$
Pour k = 5:
$S=S+\cos(\pi)$

En utilisant les propriétés symétriques des fonctions trigonométriques, on trouve que toutes les cosinus s’annulent entre eux :

S = 0

Exercice 9 – mesures d’angle et point image.

a) $\pi$

b) $\frac{\pi}{2}$

c) $\frac{\pi}{18}$

d) $\frac{\pi}{3}$

e) $\frac{\pi}{6}$

f) $\frac{\pi}{4}$

Exercice 10 – calculer la mesure d’un angle.

a) Calculer mentalement la mesure en degrés de $\widehat{IOM}$ .

Le point M est l’image de $\frac{\pi}{10}$ sur le cercle trigonométrique.

Cela correspond à un angle de $18^\circ$ (car $180^\circ$ pour $\pi$ , donc $\frac{180^\circ}{10}=18^\circ$ ).

b) Donner mentalement un nombre réel dont N est le point image.

L’angle $\widehat{ION}$ est de $135^\circ$ . En radians, cet angle est $\frac{3\pi}{4}$ (car $180^\circ$ correspond à $\pi$ , et $135^\circ$ est $\frac{3}{4}$ de $180^\circ$ .

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