Systèmes de deux équations à deux inconnues : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF

Mis à jour le 11 avril 2026

Les systèmes de deux équations à deux inconnues sont un élément clé du programme de mathématiques en seconde, essentiel pour développer des compétences analytiques et de raisonnement. Maîtriser cette notion permet aux élèves d’apprendre à résoudre des situations complexes tout en renforçant leur compréhension des équations linéaires. Cet article vous propose des corrections détaillées d’exercices variés pour améliorer votre méthode de résolution et réussir vos évaluations.

Exercice 1 – résoudre le système.

Étape 1 : Exprimer y en fonction de x à partir de la première équation :

x+y=4

y=4-x

Étape 2 : Remplacer y dans la deuxième équation :

Étape 3 : Développer et simplifier :

-x+12=7

Étape 4 : Résoudre pour x :

-x=7-12

x=5

Étape 5 : Trouver y en utilisant y=4-x :

y=4-5

y=-1

$x=5\quad\text{et}\quad y=-1$

Exercice 2 – résolution de système.

Nous allons résoudre le système suivant :

$\begin{cases}5x+2y=4\\2x+3y=-5\end{cases}$

Étape 1 : Exprimer x en fonction de y à partir de la première équation.

De la première équation, nous avons :

5x=4-2y

Donc :

$x=\frac{4-2y}{5}$

Étape 2 : Remplacer x dans la deuxième équation.

$2\left(\frac{4-2y}{5}\right)+3y=-5$

En simplifiant, nous avons :

$\frac{8-4y}{5}+3y=-5$

Multipliant toute l’équation par 5 pour éliminer le dénominateur :

En simplifiant :

Donc :

y=-3

Étape 3 : Calculer x en utilisant la valeur de y.

Substituer y dans l’expression de x :

$x=\frac{4-2(-3)}{5}$

Ce qui donne :

$x=\frac{4+6}{5}$

Donc :

x=2

Conclusion : La solution du système est :

Exercice 3 – trouver l’ensemble solution.

Étape 1 : Isoler x dans la première équation.

x-2y=4

x=4+2y

Étape 2 : Remplacer x dans la deuxième équation.

Étape 3 : Développer et simplifier.

8+7y=-6

Étape 4 : Résoudre pour y.

7y=-6-8

7y=-14

y=-2

Étape 5 : Trouver la valeur de x.

x=4-4

x=0

L’ensemble solution est $\{(0,-2)\}$

Exercice 4 – déterminer le couple solution.

Pour résoudre le système d’équations suivant :

$\begin{cases}7x+2y=1\\2x+3y=5\end{cases}$

Étape 1 : Exprimons x en fonction de yà partir de la première équation.

7x=1-2y

$x=\frac{1-2y}{7}$

Étape 2 : Remplaçons x dans la deuxième équation.

$2\left(\frac{1-2y}{7}\right)+3y=5$

$\frac{2-4y}{7}+3y=5$

Étape 3 : Résolvons pour y.

17y=33

$y=\frac{33}{17}$

Étape 4 : Trouvons x en substituant y dans l’équation obtenue pour x.

$x=\frac{1-2\times\frac{33}{17}}{7}$

$x=\frac{1-\frac{66}{17}}{7}$

$x=\frac{\frac{17}{17}-\frac{66}{17}}{7}$

$x=\frac{-49}{119}$

$x=-\frac{7}{17}$

Le couple solution est $\left(-\frac{7}{17};\frac{33}{17}\right)$

Exercice 5 – une infinité de solution.

Pour montrer qu’un système a une infinité de solutions, il faut que les deux équations soient équivalentes,

c’est-à-dire que l’une puisse se déduire de l’autre par une multiplication.

Considérons les équations suivantes :

2x-y=1

Multiplions la première équation par 3 :

$3(2x-y)=3\c\dot1$

Ce qui donne :

6x-3y=3

Maintenant prenons l’équation

Si nous la multiplions par -1, nous obtenons :

6x-3y=3

Les deux équations 6x-3y=3 sont identiques, donc les deux équations originales du système sont proportionnelles,

ce qui signifie que le système a une infinité de solutions.

Exercice 6 – des lapins et des poules dans une ferme.

Soit :

x : le nombre de lapins
y : le nombre de poules

Nous avons les équations suivantes :

1. Les têtes : x+y=120
2. Les pattes :

Résolvons ces équations :

De l’équation 1, nous trouvons : y=120-x

Substituons dans l’équation 2 :

Développons :

Simplifions :

Retirons 240 des deux côtés : 2x=58

Divisons par 2 : x=29

En substituant x = 29 dans l’équation de y :

Conclusion : Il y a lapins et poules dans la ferme.

Exercice 7 – panier avec des pommes et des carottes.

Appelons x le prix d’un kg de pommes et y le prix d’un kg de carottes.

Pour le panier de Mme Martin :

Pour le panier de M. Bernard :

Résolvons ce système d’équations :

Multiplions la première équation par 7 :

Multiplions la deuxième équation par 2 :

Soustrayons ces deux équations :

$x=\frac{72%2C5}{29}=2%2C5$

Le prix d’un kg de pommes est 2,5 €.

Substituons x = 2,5 dans la première équation :

2y=6

y=3

Le prix d’un kg de carottes est 3 €.

Conclusion : Le prix d’un kg de pommes est 2,5 € et le prix d’un kg de carottes est 3 €.

Exercice 8 – des pièces dans un porte-monnaie.

Énoncé : Max a 10 pièces dans son porte-monnaie.

Ce sont uniquement des pièces de 1 € et 2 €.

Le montant contenu dans le porte-monnaie est de 15 €.

Combien a-t-il de pièces de chaque sorte ?

Soit le nombre de pièces de 1 € et le nombre de pièces de 2 €.

Nous avons les équations suivantes :

x+y=10

x+2y=15

En soustrayant la première équation de la deuxième, nous obtenons :

y=5

En remplaçant par 5 dans la première équation :

x+5=10

x=5

Max a donc 5 pièces de 1 € et 5 pièces de 2 €.

Exercice 9 – système à deux inconnue plus complexe.

Pour résoudre le système suivant :

$\begin{cases} x^2+y^2=25 \\ 2x^2-y^2=23 \end{cases}$

Déduisons la première équation de la deuxième pour éliminer y^2 :

Ce qui donne :

Ajoutons la première équation :

$\begin{cases} x^2+y^2=25 \\ x^2-2y^2=-2 \end{cases}$

En résolvant :

De la première équation :

Substituons dans la seconde :

Ce qui donne :

3x^2=48

x^2=16

$x=\pm4$

Si x=4

$y=\pm3$

Si x=-4

$y=\pm3$

En conclusion, les solutions du système sont :

Exercice 10 – résoudre dans R² ce système par substitution.

Commençons par exprimer à partir de l’équation (E_2) :

$-x + y = 1 \quad \Rightarrow \quad y = x + 1$

y=x+1

Substituons cette expression de dans l’équation (E_1) :

Simplifions cette équation :

6x+1=7

Résolvons pour :

$6x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 1$

x=1

Utilisons cette valeur de pour trouver :

y=2

La solution du système est donc .

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