Geogebra - homothétie d'un hexagone en troisième et exercice.

Une figure réalisée avec le logiciel de géométrie dynamique geogebra. Une homothétie d’un hexagone régulier.
On considère une homothétie de centre O et de rapport k.
Nous allons pouvoir faire varier la valeur du rapport k de – 3 et 3 puis, observer quelles sont les modifications apportées sur la figure homothétique.

Sommaire

Enoncé de l’exercice sur les homothéties :

On considère l’homothétie de centre O et de rapport k.

Le polygone ABCDE est un pentagone régulier (c’est-à-dire que tous ses côtés ont la même longueur).

1^er cas :

On sait que k = 1,5 ; AB = 3,3 cm ; $\widehat{BAE}=108^{\circ}$ et l’aire de ABCDE est de 18,8 cm².

Quelle est la longueur de [A’B’] ?Justifier votre réponse.
Quelle est l’aire de A’B’C’D’E’ ? Justifier votre réponse.
Quelle est la mesure de l’angle $\widehat{B'A'E'}$ ?Justifier votre réponse.

2^ème cas :

Cette fois-ci, on sait que l’aire de ABCDE est de 18,8 cm² et que l’aire de A’B’C’D’E est de 42,3 cm².

De plus, la figure et son image sont situées de part et d’autre du centre O.

Quelle est la valeur du rapport k de cette homothétie ? Justifier votre réponse.

Corrigé de l’exercice sur les homothéties :

1^er cas :

On sait que k = 1,5 ; AB = 3,3 cm ; $\widehat{BAE}=108^{\circ}$ et l’aire de ABCDE est de 18,8 cm².

1.Quelle est la longueur de [A’B’] ?Justifier votre réponse.

On sait que :

Le segment [A’B’] est l’image du segment [AB] par l’homothétie de centre O et de rapport k.

Propriété :

L’homothétie multiplie les longueurs par | k | .

Conclusion :

$A'B'= | k |\times AB=1,5\times 3,3=4,95\,cm$

2.Quelle est l’aire de A’B’C’D’E’ ? Justifier votre réponse.

On sait que :

Le pentagone A’B’C’D’E’ est l’image du pentagone pentagone ABCDE par l’homothétie de centre O et de rapport k.

Propriété :

L’homothétie multiplie les aires par | k |^2 .

Conclusion :

$A_{A'B'C'D'E'}= | k |^2\times A_{ABCDE}=1,5^2\times 18,8=42,3\,cm^2$

3.Quelle est la mesure de l’angle $\widehat{B'A'E'}$ ?Justifier votre réponse.

On sait que :

L’angle $\widehat{B'A'E'}$ est l’image de l’angle $\widehat{BAE}$ par l’homothétie de centre O et de rapport k.

Propriété :

L’homothétie conserve la mesure des angles.

Conclusion :

$\widehat{B'A'E'}=\widehat{BAE}=108^{\circ}$

2^ème cas :

Cette fois-ci, on sait que l’aire de ABCDE est de 18,8 cm² et que l’aire de A’B’C’D’E est de 42,3 cm².

De plus, la figure et son image sont situées de part et d’autre du centre O.

Quelle est la valeur du rapport k de cette homothétie ? Justifier votre réponse.

On sait que :

Le pentagone A’B’C’D’E’ est l’image du pentagone pentagone ABCDE par l’homothétie de centre O et de rapport k.

Propriété :

L’homothétie multiplie les aires par | k |^2 .

Conclusion :

$A_{A'B'C'D'E'}= | k |^2\times A_{ABCDE}$

$42,3= | k |^2\times 18,8$

$| k |^2=\frac{42,3}{18,8}$

$| k |=\sqrt{2,25}$ ou $| k |=-\sqrt{2,25}$ (impossible car une valeur absolue est toujours positive ou nulle).

donc .

Par conséquent : k=1,5 ou k=-1,5 .

Or, nous sommes dans la situation d’un inversement donc k<0.

donc le rapport de l’homothétie est k = – 1,5 .

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