Geogebra - homothétie d'un hexagone en troisième et exercice.

Sommaire

1 Enoncé de l’exercice sur les homothéties :
2 Corrigé de l’exercice sur les homothéties :

Une figure réalisée avec le logiciel de géométrie dynamique geogebra. Une homothétie d’un hexagone régulier.
On considère une homothétie de centre O et de rapport k.
Nous allons pouvoir faire varier la valeur du rapport k de – 3 et 3 puis, observer quelles sont les modifications apportées sur la figure homothétique.

Enoncé de l’exercice sur les homothéties :

On considère l’homothétie de centre O et de rapport k.

Le polygone ABCDE est un pentagone régulier (c’est-à-dire que tous ses côtés ont la même longueur).

1^er cas :

On sait que k = 1,5 ; AB = 3,3 cm ; $\widehat{BAE}=108^{\circ}$ et l’aire de ABCDE est de 18,8 cm².

Quelle est la longueur de [A’B’] ?Justifier votre réponse.
Quelle est l’aire de A’B’C’D’E’ ? Justifier votre réponse.
Quelle est la mesure de l’angle $\widehat{B'A'E'}$ ?Justifier votre réponse.

2^ème cas :

Cette fois-ci, on sait que l’aire de ABCDE est de 18,8 cm² et que l’aire de A’B’C’D’E est de 42,3 cm².

De plus, la figure et son image sont situées de part et d’autre du centre O.

Quelle est la valeur du rapport k de cette homothétie ? Justifier votre réponse.

Corrigé de l’exercice sur les homothéties :

1^er cas :

On sait que k = 1,5 ; AB = 3,3 cm ; $\widehat{BAE}=108^{\circ}$ et l’aire de ABCDE est de 18,8 cm².

1.Quelle est la longueur de [A’B’] ?Justifier votre réponse.

On sait que :

Le segment [A’B’] est l’image du segment [AB] par l’homothétie de centre O et de rapport k.

Propriété :

L’homothétie multiplie les longueurs par |,k,| .

Conclusion :

$A'B'=,|,k,|\times ,AB=1,5\times ,3,3=4,95\,cm$

2.Quelle est l’aire de A’B’C’D’E’ ? Justifier votre réponse.

On sait que :

Le pentagone A’B’C’D’E’ est l’image du pentagone pentagone ABCDE par l’homothétie de centre O et de rapport k.

Propriété :

L’homothétie multiplie les aires par |,k,|^2 .

Conclusion :

$A_{A'B'C'D'E'}=,|,k,|^2\times ,A_{ABCDE}=1,5^2\times ,18,8=42,3\,cm^2$

3.Quelle est la mesure de l’angle $\widehat{B'A'E'}$ ?Justifier votre réponse.

On sait que :

L’angle $\widehat{B'A'E'}$ est l’image de l’angle $\widehat{BAE}$ par l’homothétie de centre O et de rapport k.

Propriété :

L’homothétie conserve la mesure des angles.

Conclusion :

$\widehat{B'A'E'}=\widehat{BAE}=108^{\circ}$

2^ème cas :

Cette fois-ci, on sait que l’aire de ABCDE est de 18,8 cm² et que l’aire de A’B’C’D’E est de 42,3 cm².

De plus, la figure et son image sont situées de part et d’autre du centre O.

Quelle est la valeur du rapport k de cette homothétie ? Justifier votre réponse.

On sait que :

Le pentagone A’B’C’D’E’ est l’image du pentagone pentagone ABCDE par l’homothétie de centre O et de rapport k.

Propriété :

L’homothétie multiplie les aires par |,k,|^2 .

Conclusion :

$A_{A'B'C'D'E'}=,|,k,|^2\times ,A_{ABCDE}$

$42,3=,|,k,|^2\times ,18,8$

$|,k,|^2=\frac{42,3}{18,8}$

$|,k,|=\sqrt{2,25}$ ou $|,k,|=-\sqrt{2,25}$ (impossible car une valeur absolue est toujours positive ou nulle).

donc .

Par conséquent : k=1,5 ou k=-1,5 .

Or, nous sommes dans la situation d’un inversement donc k<0.

donc le rapport de l’homothétie est k = – 1,5 .

Réviser les cours et exercices de maths avec nos Q.C.M :

Q.C.M en 6ème Q.C.M en 5ème Q.C.M en 4ème Q.C.M en 3ème Q.C.M en 2de Q.C.M en 1ère Q.C.M en Terminale

D'autres outils pour progresser en autonomie :

Chronomètre Horloge France Tables Multiplication Arrondir des décimaux Rapporteur et Angles Médiatrice Symétrie Axiale d'un triangle Symétrie Centrale d'un triangle Translation d'un triangle Rotation Homothétie Bissectrice Tracer droite parallèle Conversion Aires et Volumes Addition de deux relatifs Soustraction Relatifs Addition et soustraction de trois relatifs Produit Deux Relatifs Produit Trois Relatifs Quotient Relatifs Carré Entier Racine Carrée Théorème Pythagore Liste Diviseurs Décomposition Facteurs Premiers Calcul du PGCD PGCD Algorithme Euclide Test Nombre Premier Déterminer Fonction Linéaire Déterminer Fonction Affine Traceur Courbe Trigonométrie Angle Trigonométrie Longueur Périmètre d'un Cercle Aire d'un Disque Volume du Parallélépipède Rectangle Volume du cylindre Surface d'une Sphère et Volume d'une boule Volume d'une pyramide à base rectangulaire Section d'une pyramide Visualiser Section Cône en 2D Section d'un Cône Carte Mondiale Coordonnées Géographiques

Maths PDF c'est 12 686 264 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.