Une figure réalisée avec le logiciel de géométrie dynamique geogebra. Une homothétie d’un hexagone régulier.
On considère une homothétie de centre O et de rapport k.
Nous allons pouvoir faire varier la valeur du rapport k de – 3 et 3 puis, observer quelles sont les modifications apportées sur la figure homothétique.

Enoncé de l’exercice sur les homothéties :

On considère l’homothétie de centre O et de rapport k.

Le polygone ABCDE est un pentagone régulier (c’est-à-dire que tous ses côtés ont la même longueur).

1er cas :

On sait que  k = 1,5 ; AB = 3,3 cm ; \widehat{BAE}=108^{\circ} et l’aire de ABCDE est de 18,8 cm².

  1. Quelle est la longueur de [A’B’] ?Justifier votre réponse.
  2. Quelle est l’aire de A’B’C’D’E’ ? Justifier votre réponse.
  3. Quelle est la mesure de l’angle \widehat{B'A'E'} ?Justifier votre réponse.

2ème  cas :

Cette fois-ci, on sait que l’aire de ABCDE est de 18,8 cm² et que l’aire de A’B’C’D’E est de 42,3 cm².

De plus, la figure et son image sont situées de part et d’autre du centre O.

Quelle est la valeur du rapport k de cette homothétie ? Justifier votre réponse.


Corrigé de l’exercice sur les homothéties :

1er cas :

On sait que  k = 1,5 ; AB = 3,3 cm ; \widehat{BAE}=108^{\circ} et l’aire de ABCDE est de 18,8 cm².

1.Quelle est la longueur de [A’B’] ?Justifier votre réponse.

On sait que :

Le segment [A’B’] est l’image du segment  [AB] par l’homothétie de centre O et de rapport k.

Propriété :

L’homothétie multiplie les longueurs par | k |.

Conclusion :

A'B'= | k |\times AB=1,5\times 3,3=4,95\,cm

2.Quelle est l’aire de A’B’C’D’E’ ? Justifier votre réponse.

On sait que :

Le pentagone A’B’C’D’E’ est l’image du pentagone pentagone ABCDE par l’homothétie de centre O et de rapport k.

Propriété :

L’homothétie multiplie les aires par | k |^2.

Conclusion :

A_{A'B'C'D'E'}= | k |^2\times A_{ABCDE}=1,5^2\times 18,8=42,3\,cm^2

3.Quelle est la mesure de l’angle \widehat{B'A'E'} ?Justifier votre réponse.

On sait que :

L’angle \widehat{B'A'E'} est l’image de l’angle \widehat{BAE} par l’homothétie de centre O et de rapport k.

Propriété :

L’homothétie conserve la mesure des angles.

Conclusion :

\widehat{B'A'E'}=\widehat{BAE}=108^{\circ}

2ème  cas :

Cette fois-ci, on sait que l’aire de ABCDE est de 18,8 cm² et que l’aire de A’B’C’D’E est de 42,3 cm².

De plus, la figure et son image sont situées de part et d’autre du centre O.

Quelle est la valeur du rapport k de cette homothétie ? Justifier votre réponse.

On sait que :

Le pentagone A’B’C’D’E’ est l’image du pentagone pentagone ABCDE par l’homothétie de centre O et de rapport k.

Propriété :

L’homothétie multiplie les aires par | k |^2.

Conclusion :

A_{A'B'C'D'E'}= | k |^2\times A_{ABCDE}

42,3= | k |^2\times 18,8

| k |^2=\frac{42,3}{18,8}

| k |^2=2,25

| k |=\sqrt{2,25} ou | k |=-\sqrt{2,25} (impossible car une valeur absolue est toujours positive ou nulle).

donc |k |=1,5.

Par conséquent : k=1,5 ou k=-1,5.

Or, nous sommes dans la situation d’un inversement donc k<0.

donc le rapport de l’homothétie est k = – 1,5 .