Une figure réalisée avec le logiciel de géométrie dynamique geogebra. Une homothétie d’un hexagone régulier.
On considère une homothétie de centre O et de rapport k.
Nous allons pouvoir faire varier la valeur du rapport k de – 3 et 3 puis, observer quelles sont les modifications apportées sur la figure homothétique.
Enoncé de l’exercice sur les homothéties :
On considère l’homothétie de centre O et de rapport k.
Le polygone ABCDE est un pentagone régulier (c’est-à-dire que tous ses côtés ont la même longueur).
1er cas :
On sait que k = 1,5 ; AB = 3,3 cm ; et l’aire de ABCDE est de 18,8 cm².
- Quelle est la longueur de [A’B’] ?Justifier votre réponse.
- Quelle est l’aire de A’B’C’D’E’ ? Justifier votre réponse.
- Quelle est la mesure de l’angle
?Justifier votre réponse.
2ème cas :
Cette fois-ci, on sait que l’aire de ABCDE est de 18,8 cm² et que l’aire de A’B’C’D’E est de 42,3 cm².
De plus, la figure et son image sont situées de part et d’autre du centre O.
Quelle est la valeur du rapport k de cette homothétie ? Justifier votre réponse.
Corrigé de l’exercice sur les homothéties :
1er cas :
On sait que k = 1,5 ; AB = 3,3 cm ; et l’aire de ABCDE est de 18,8 cm².
1.Quelle est la longueur de [A’B’] ?Justifier votre réponse.
On sait que :
Le segment [A’B’] est l’image du segment [AB] par l’homothétie de centre O et de rapport k.
Propriété :
L’homothétie multiplie les longueurs par .
Conclusion :
2.Quelle est l’aire de A’B’C’D’E’ ? Justifier votre réponse.
On sait que :
Le pentagone A’B’C’D’E’ est l’image du pentagone pentagone ABCDE par l’homothétie de centre O et de rapport k.
Propriété :
L’homothétie multiplie les aires par .
Conclusion :
3.Quelle est la mesure de l’angle ?Justifier votre réponse.
On sait que :
L’angle est l’image de l’angle
par l’homothétie de centre O et de rapport k.
Propriété :
L’homothétie conserve la mesure des angles.
Conclusion :
2ème cas :
Cette fois-ci, on sait que l’aire de ABCDE est de 18,8 cm² et que l’aire de A’B’C’D’E est de 42,3 cm².
De plus, la figure et son image sont situées de part et d’autre du centre O.
Quelle est la valeur du rapport k de cette homothétie ? Justifier votre réponse.
On sait que :
Le pentagone A’B’C’D’E’ est l’image du pentagone pentagone ABCDE par l’homothétie de centre O et de rapport k.
Propriété :
L’homothétie multiplie les aires par .
Conclusion :
ou
(impossible car une valeur absolue est toujours positive ou nulle).
donc .
Par conséquent : ou
.
Or, nous sommes dans la situation d’un inversement donc k<0.
donc le rapport de l’homothétie est k = – 1,5 .
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