Les périmètres en CM1 : corrigé détaillé des exercices 1 à 20 à télécharger en PDF

L’unité est la longueur d’un carreau. Par ailleurs, pour trouver le périmètre, on part du point marqué et on fait le tour de la figure en comptant les côtés de carreaux, sans en oublier ni en compter deux fois.

• Figure 1 : c’est un rectangle de 6 carreaux sur 1 carreau. \(6 + 1 + 6 + 1 = 14\).
• Figure 2 : c’est un carré de 4 carreaux de côté. \(4 + 4 + 4 + 4 = 16\).
• Figure 3 (escalier) : en partant du point : \(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 + 3 = 12\).
• Figure 4 (croix allongée) : \(3 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 = 20\).
• Figure 5 : \(1 + 1 + 2 + 1 + 3 + 2 = 10\).
• Figure 6 (figure à créneaux) : \(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 3 = 22\).

Le périmètre d’un triangle est la somme des longueurs de ses trois côtés.

• Triangle 1 : \(4 + 5 + 6 = 15\), donc 15 cm.
• Triangle 2 : \(4 + 5 + 3 = 12\), donc 12 cm.
• Triangle 3 : \(4 + 3 + 3 = 10\), donc 10 cm.
• Triangle 4 : ses trois côtés mesurent 4 cm, \(4 + 4 + 4 = 12\) ou \(3 \times 4 = 12\), donc 12 cm.

On remarque que les triangles 2 et 4 ont le même périmètre alors qu’ils n’ont pas la même forme.

Il faut d’abord mesurer chaque côté à la règle, puis additionner. Sur la fiche imprimée en taille réelle, on trouve les mesures suivantes (si ton impression est réduite, tes mesures seront un peu plus petites, mais la méthode reste la même).

• Figure 1 : carré de 2 cm de côté. \(4 \times 2 = 8\), donc 8 cm.
• Figure 2 : carré de 3,5 cm de côté. \(4 \times 3{,}5 = 14\), donc 14 cm.
• Figure 3 : rectangle de 6 cm sur 2,5 cm. \(6 + 2{,}5 + 6 + 2{,}5 = 17\), donc 17 cm.
• Figure 4 : hexagone en forme de L. Ses côtés mesurent 5 cm, 4 cm, 1 cm, 2 cm, 4 cm et 2 cm. \(5 + 4 + 1 + 2 + 4 + 2 = 18\), donc 18 cm.
• Figure 5 : rectangle de 10 cm sur 1 cm. \(10 + 1 + 10 + 1 = 22\), donc 22 cm.

Remarque : la figure 4 a le même périmètre qu’un rectangle de 5 cm sur 4 cm, car les deux « marches » du L se compensent.

Sur le quadrillage, l’unité \(\ell_1\) mesure 2 carreaux et l’unité \(\ell_2\) mesure 1 carreau. Puis on compte d’abord le périmètre de chaque lettre en carreaux :

• C : lettre de 6 carreaux sur 8, creusée de 4 carreaux : \(6 + 2 + 4 + 4 + 4 + 2 + 6 + 8 = 36\) carreaux.
• H : rectangle de 6 sur 8 avec deux encoches de 3 carreaux de profondeur : \(28 + 3 + 3 + 3 + 3 = 40\) carreaux.
• I : rectangle de 2 sur 8 : \(2 + 8 + 2 + 8 = 20\) carreaux.
• O : rectangle de 5 sur 8 : \(5 + 8 + 5 + 8 = 26\) carreaux.
• T : barre de 6 sur 2 et pied de 2 sur 6 : \(6 + 2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 2 = 28\) carreaux.

a. Avec \(\ell_1\) (2 carreaux), on divise chaque nombre de carreaux par 2 :

b. Ordre croissant : I, O, T, C, H (10, 13, 14, 18, 20).

c. Avec \(\ell_2\) (1 carreau), on garde le nombre de carreaux :

d. L’unité \(\ell_2\) est deux fois plus petite que \(\ell_1\), donc tous les nombres sont deux fois plus grands. Mais le classement des lettres ne change pas : le périmètre d’une lettre ne dépend pas de l’unité, seul le nombre qui l’exprime change.

Les animaux sont dessinés sur un réseau de triangles. Ensuite, L’unité \(\ell\) est la longueur d’un côté de petit triangle. Puis on fait le tour de chaque animal en comptant les côtés de triangles le long du contour (un long trait droit qui couvre 2 ou 3 côtés compte pour 2 ou 3).

• Baleine : \(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 15\), soit 15 ℓ.
• Chien : \(1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 17\), soit 17 ℓ.
• Éléphant : \(2 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 = 23\), soit 23 ℓ.
• Cygne : \(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16\), soit 16 ℓ.
• Pieuvre : \(1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 21\), soit 21 ℓ.
• Serpent : \(1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 18\), soit 18 ℓ.

Le carré orange mesure 9 carreaux de côté. Son périmètre est donc :

\[4 \times 9 = 36 \text{ carreaux}\]

Un rectangle a un périmètre de 36 carreaux si sa longueur plus sa largeur font la moitié de 36, c’est-à-dire 18 carreaux. De plus, il suffit donc de choisir deux nombres dont la somme vaut 18, par exemple :

• un rectangle de 12 carreaux sur 6 carreaux : \(12 + 6 + 12 + 6 = 36\) ;
• un rectangle de 15 carreaux sur 3 carreaux : \(15 + 3 + 15 + 3 = 36\).

D’autres réponses sont justes : 10 sur 8, 11 sur 7, 13 sur 5, 14 sur 4… (mais pas 9 sur 9, qui redonne le carré).

Chaque figure est faite des mêmes 4 pentaminos, donc de 20 carreaux. Ensuite, on prend 1 carreau = 1 cm et on compte les côtés de carreaux qui forment le bord extérieur (les côtés collés entre deux pentaminos ne comptent pas).

a.

b. Ordre croissant des périmètres : figure 4 (22 cm), figure 2 (24 cm), figure 1 (26 cm), figure 3 (28 cm).

c. Les figures dont le périmètre est inférieur à 25 cm sont les figures 4 et 2.

Les quatre figures ont la même aire (20 carreaux) mais pas le même périmètre : plus la figure est « tassée », plus son périmètre est petit.

Pour un carré, les 4 côtés sont égaux : \(P = 4 \times \text{côté}\).

Exemples : \(4 \times 2{,}5 = 10\) et \(4 \times 21{,}5 = 86\).

Pour un rectangle : \(P = 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur})\).

Exemples : \(2 \times (3{,}5 + 4) = 2 \times 7{,}5 = 15\) et \(2 \times (6 + 9{,}5) = 2 \times 15{,}5 = 31\).

Le périmètre d’un rectangle est la somme de ses quatre côtés : deux longueurs et deux largeurs.

a.

\[ 45 + 30 + 45 + 30 = 150 \]

ou encore \( 2 \times (45 + 30) = 2 \times 75 = 150 \).

b. La ligne blanche suit le contour du terrain : sa longueur est égale au périmètre.

a. Un carré a quatre côtés de même longueur.

\[ 4 \times 12 = 48 \]

Elle doit acheter 48 m de grillage.

b.

\[ 48 \times 7 = 336 \]

a. Le périmètre est la somme des trois côtés.

\[ 6 + 6 + 9 = 21 \]

b. Les trois côtés d’un triangle équilatéral sont égaux.

\[ 3 \times 8{,}5 = 25{,}5 \]

a. En partant du bas et en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre : \(6\) cm, \(2\) cm, \(3\) cm, \(2\) cm, \(3\) cm et \(4\) cm.

b.

\[ 6 + 2 + 3 + 2 + 3 + 4 = 20 \]

c. Le rectangle de \(6\) cm sur \(4\) cm a pour périmètre

\[ 2 \times (6 + 4) = 20 \]

Les deux périmètres sont égaux : en enlevant un coin, on a retiré deux côtés mais on en a ajouté deux de même longueur.

a. Le périmètre est la somme de deux longueurs et de deux largeurs. Deux longueurs mesurent \(2 \times 11 = 22\) cm.

\[ 36 – 22 = 14 \]

Les deux largeurs mesurent ensemble \(14\) cm, donc une largeur mesure \(14 \div 2 = 7\) cm.

Vérification : \(11 + 7 + 11 + 7 = 36\).

b. Les quatre côtés sont égaux :

\[ 52 \div 4 = 13 \]

a. Un tour correspond au périmètre du rectangle.

\[ 2 \times (40 + 25) = 2 \times 65 = 130 \]

b. Trois tours :

\[ 3 \times 130 = 390 \]

Un pentagone a 5 côtés et un hexagone a 6 côtés, tous égaux.

a.

\[ 5 \times 7 = 35 \]

b.

\[ 6 \times 4{,}5 = 27 \]

a. Cadre rectangulaire :

\[ 2 \times (24 + 18) = 2 \times 42 = 84 \]

Cadre carré :

\[ 4 \times 21 = 84 \]

b. Les deux cadres ont le même périmètre : aucun des deux n’a un contour plus long, elle peut choisir celui qu’elle préfère.

a. Le côté horizontal du « ? » du bas mesure \(8 – 5 = 3\) m. Le côté vertical mesure \(5 – 3 = 2\) m.

b. En partant du haut à gauche et en tournant : \(8\), \(3\), \(3\), \(2\), \(5\) et \(5\).

\[ 8 + 3 + 3 + 2 + 5 + 5 = 26 \]

c.

\[ 26 \times 3 = 78 \]

a. \(1\) m \(= 100\) cm, donc \(2{,}5\) m \(= 250\) cm.

b. Il faut des mesures dans la même unité :

\[ 2 \times (250 + 90) = 2 \times 340 = 680 \]

Le périmètre est de \(680\) cm, soit \(6{,}8\) m.

Dans chaque cas, le périmètre est égal à la longueur du fil : \(60\) cm.

a. Carré : \(60 \div 4 = 15\).

b. Rectangle : deux largeurs mesurent \(2 \times 10 = 20\) cm, il reste \(60 – 20 = 40\) cm pour les deux longueurs, donc une longueur mesure \(40 \div 2 = 20\) cm.

c. Triangle équilatéral : \(60 \div 3 = 20\).

Le périmètre est \(14\) cm, donc la somme d’une longueur et d’une largeur est \(14 \div 2 = 7\) cm. On cherche deux nombres entiers dont la somme est \(7\) :

• \(6 + 1\) : rectangle de \(6\) cm sur \(1\) cm ;
• \(5 + 2\) : rectangle de \(5\) cm sur \(2\) cm ;
• \(4 + 3\) : rectangle de \(4\) cm sur \(3\) cm.

Vérification pour \(4\) cm sur \(3\) cm : \(2 \times (4 + 3) = 14\). Pour \(6\) cm sur \(1\) cm : \(2 \times (6 + 1) = 14\).