Fonctions sinus et cosinus en terminale : corrigé des exercices 1 à 10

1) Pour \(x\neq 0\), \(\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\) et \(x^2+2x+5=x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}\right)\). Donc

\[ f(x)=\frac{x^2}{|x|}\times\frac{1+\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=|x|\times\frac{1+\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}. \]

Le quotient tend vers 1 et \(|x|\to+\infty\) en \(\pm\infty\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

2) \(x^2+1\gt 0\), donc \(x\mapsto\sqrt{x^2+1}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), de dérivée \(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\), et ne s’annule pas : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme quotient. Avec \(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\) :

\[ \begin{aligned} f^{\prime}(x)&=\frac{(2x+2)\sqrt{x^2+1}-(x^2+2x+5)\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} \\ &=\frac{(2x+2)(x^2+1)-x(x^2+2x+5)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} \\ &=\frac{x^3-3x+2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}. \end{aligned} \]

Or \((x-1)(x^2+x-2)=x^3+x^2-2x-x^2-x+2=x^3-3x+2\) : l’égalité demandée est établie.

3) \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\), donc \(f^{\prime}(x)=\dfrac{(x-1)^2(x+2)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}\), du signe de \(x+2\) (s’annule aussi en 1 sans changer de signe).

\(f(-2)=\dfrac{4-4+5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\) (minimum) et \(f(1)=\dfrac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\).

1) \(\dfrac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}=\dfrac{\cos x-\cos\frac{\pi}{2}}{x-\frac{\pi}{2}}\) est un taux d’accroissement : il tend vers \(\cos^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\frac{\pi}{2}=-1\). Comme \(\sin x\to 1\) :

\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\sin x}=\frac{-1}{1}=-1. \]

2) Pour \(a\neq 0\) : \(\dfrac{\sin(ax)}{\sin x}=a\times\dfrac{\sin(ax)}{ax}\times\dfrac{x}{\sin x}\). Or \(\lim\limits_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1\), donc la limite vaut \(a\). Pour \(a=0\), l’expression est nulle : limite \(0=a\). Dans tous les cas, la limite est \(a\).

3) \(\sin^2x=1-\cos^2x=(1-\cos x)(1+\cos x)\), donc pour \(x\) proche de 0, \(x\neq 0\) :

\[ \frac{\cos x-1}{\sin^2x}=\frac{-(1-\cos x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\frac{-1}{1+\cos x}\ \xrightarrow[x\to 0]{}\ -\frac{1}{2}. \]

4) \(\dfrac{\cos^2x-1}{x}=\dfrac{-\sin^2x}{x}=-\sin x\times\dfrac{\sin x}{x}\to -0\times 1=0\).

Rappels : \(\cos a=\cos b\iff a=b+2k\pi\) ou \(a=-b+2k\pi\) ; \(\sin a=\sin b\iff a=b+2k\pi\) ou \(a=\pi-b+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)). On garde les solutions de \(]-\pi\,;\pi]\).

• 1) \(x=\pm\frac{\pi}{4}\). \(S=\left\{-\frac{\pi}{4}\,;\frac{\pi}{4}\right\}\).
• 2) \(x=-\frac{\pi}{6}\) ou \(x=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}\), qui correspond à \(-\frac{5\pi}{6}\) dans l’intervalle. \(S=\left\{-\frac{5\pi}{6}\,;-\frac{\pi}{6}\right\}\).
• 3) \(2x=\pm\frac{\pi}{4}+2k\pi\), \(x=\pm\frac{\pi}{8}+k\pi\). \(S=\left\{-\frac{7\pi}{8}\,;-\frac{\pi}{8}\,;\frac{\pi}{8}\,;\frac{7\pi}{8}\right\}\).
• 4) \(x+\frac{\pi}{4}=x+2k\pi\) est impossible ; \(x+\frac{\pi}{4}=-x+2k\pi\) donne \(x=-\frac{\pi}{8}+k\pi\). \(S=\left\{-\frac{\pi}{8}\,;\frac{7\pi}{8}\right\}\).
• 5) \(\cos 2x=\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}\), \(x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi\). \(S=\left\{-\frac{5\pi}{6}\,;-\frac{\pi}{6}\,;\frac{\pi}{6}\,;\frac{5\pi}{6}\right\}\).
• 6) \(\sin 3x=\sin\frac{\pi}{3}\) : \(3x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(3x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\), soit \(x=\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\) ou \(x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\). \(S=\left\{-\frac{5\pi}{9}\,;-\frac{4\pi}{9}\,;\frac{\pi}{9}\,;\frac{2\pi}{9}\,;\frac{7\pi}{9}\,;\frac{8\pi}{9}\right\}\).
• 7) \(2x=x+2k\pi\) donne \(x=2k\pi\) ; \(2x=-x+2k\pi\) donne \(x=\frac{2k\pi}{3}\). \(S=\left\{-\frac{2\pi}{3}\,;0\,;\frac{2\pi}{3}\right\}\).
• 8) \(\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\). \(3x=\frac{\pi}{2}-x+2k\pi\) donne \(x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\) ; \(3x=\pi-\frac{\pi}{2}+x+2k\pi\) donne \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\). \(S=\left\{-\frac{7\pi}{8}\,;-\frac{3\pi}{4}\,;-\frac{3\pi}{8}\,;\frac{\pi}{8}\,;\frac{\pi}{4}\,;\frac{5\pi}{8}\right\}\).

Comme \(\cos\frac{\pi}{2}=0\) et \(2x-\pi=2\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\) :

\[ f(x)=\frac{2\cos x}{2\left(x-\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{\cos x-\cos\frac{\pi}{2}}{x-\frac{\pi}{2}}. \]

C’est le taux d’accroissement de la fonction cosinus entre \(\frac{\pi}{2}\) et \(x\). La fonction cosinus est dérivable en \(\frac{\pi}{2}\), de nombre dérivé \(-\sin\frac{\pi}{2}=-1\). Donc

\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}f(x)=\cos^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1. \]

Une fonction est paire si son domaine est symétrique et \(f(-x)=f(x)\), impaire si \(f(-x)=-f(x)\).

1) Affine \(ax+b\). \(f(-x)=-ax+b\). Paire \(\iff -ax+b=ax+b\) pour tout \(x\iff\) \(a=0\) (fonction constante). Impaire \(\iff -ax+b=-ax-b\iff\) \(b=0\) (fonction linéaire).

2) Second degré (\(a\neq 0\)). \(f(-x)=ax^2-bx+c\). Paire \(\iff\) \(b=0\). Impaire \(\iff ax^2-bx+c=-ax^2-bx-c\iff a=0\) et \(c=0\), impossible car \(a\neq 0\) : jamais impaire.

3) Homographique (\(c\neq 0\), \(ad-bc\neq 0\)). Le domaine \(\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac{d}{c}\right\}\) doit être symétrique : il faut \(d=0\). Alors \(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx}\) et \(f(-x)=\dfrac{ax-b}{cx}\).

• Paire \(\iff ax-b=ax+b\iff b=0\) ; mais avec \(d=0\), \(ad-bc=-bc\neq 0\) impose \(b\neq 0\) : jamais paire.
• Impaire \(\iff ax-b=-ax-b\iff a=0\) : impaire si et seulement si \(a=0\) et \(d=0\), c’est-à-dire \(f(x)=\dfrac{b}{cx}\).

4) Troisième degré (\(a\neq 0\)). \(f(-x)=-ax^3+bx^2-cx+d\). Paire \(\iff a=0\) et \(c=0\) : impossible, jamais paire. Impaire \(\iff\) \(b=0\) et \(d=0\) (\(f(x)=ax^3+cx\)).

1) On utilise la périodicité \(2\pi\) et les angles associés.

\[ \begin{aligned} \text{a) } \sin(3\pi+x)&=\sin(\pi+x+2\pi)=\sin(\pi+x)=-\sin x \\ \text{b) } \cos\left(\tfrac{5\pi}{2}-x\right)&=\cos\left(\tfrac{\pi}{2}-x+2\pi\right)=\cos\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x \\ \text{c) } \cos\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right)&=\cos\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x \\ \text{d) } \cos\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)&=-\sin x \end{aligned} \]

2) a) \(\sin(\pi-x)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x+\sin x=2\sin x\).

b) \(\sin(\pi+x)=-\sin x\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\), \(\sin(x-\pi)=-\sin(\pi-x)=-\sin x\) :

\[ 3(-\sin x)-2\sin x+4(-\sin x)=-9\sin x. \]

\[ \begin{aligned} 1)\ \cos(x-\pi)&=\cos(\pi-x)=-\cos x \\ 2)\ \sin\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right)&=-\sin\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=-\cos x \\ 3)\ \sin\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)&=\cos x \\ 4)\ \cos\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)&=-\sin x \end{aligned} \]

(On utilise la parité : \(\cos(-a)=\cos a\) et \(\sin(-a)=-\sin a\).)

1) Avec \(\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\) et \(\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b\), pour \(a=\frac{\pi}{3}\), \(b=\frac{\pi}{4}\) :

\[ \begin{aligned} \cos\frac{\pi}{12}&=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \\ \sin\frac{\pi}{12}&=\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \end{aligned} \]

2) \(\frac{7\pi}{12}=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12}\), donc

\[ \cos\frac{7\pi}{12}=-\sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4},\qquad\sin\frac{7\pi}{12}=\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}. \]

Contrôle : \(\cos\frac{7\pi}{12}\approx -0{,}259\) (négatif, car \(\frac{7\pi}{12}\gt\frac{\pi}{2}\)) et \(\sin\frac{7\pi}{12}\approx 0{,}966\).

1) En développant avec les formules d’addition :

\[ \begin{aligned} \cos\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)-\cos\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)&=\left(\cos x\cos\tfrac{\pi}{4}-\sin x\sin\tfrac{\pi}{4}\right)-\left(\cos x\cos\tfrac{\pi}{4}+\sin x\sin\tfrac{\pi}{4}\right) \\ &=-2\sin x\times\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}\sin x. \end{aligned} \]

2) On réduit au même dénominateur \(\sin 2x\sin x\) :

\[ \frac{\sin 5x}{\sin 2x}+\frac{\sin 2x}{\sin x}=\frac{\sin 5x\sin x+\sin^2 2x}{\sin 2x\sin x}. \]

Avec \(5x=3x+2x\) et \(x=3x-2x\) :

\[ \begin{aligned} \sin 5x\sin x&=(\sin 3x\cos 2x+\cos 3x\sin 2x)(\sin 3x\cos 2x-\cos 3x\sin 2x) \\ &=\sin^2 3x\cos^2 2x-\cos^2 3x\sin^2 2x \\ &=\sin^2 3x(1-\sin^2 2x)-(1-\sin^2 3x)\sin^2 2x \\ &=\sin^2 3x-\sin^2 2x. \end{aligned} \]

Donc le numérateur vaut \(\sin^2 3x-\sin^2 2x+\sin^2 2x=(\sin 3x)^2\) : l’égalité est établie (pour \(\sin x\neq 0\) et \(\sin 2x\neq 0\)).

3) \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos\frac{\pi}{6}\) et \(\frac{1}{2}=\sin\frac{\pi}{6}\), donc le membre de gauche vaut \(\cos 2x\cos\frac{\pi}{6}+\sin 2x\sin\frac{\pi}{6}=\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)\). L’équation devient

\[ \cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{7}\iff 2x-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{7}+2k\pi\iff x=\frac{13\pi}{84}+k\pi\ \text{ ou }\ x=\frac{\pi}{84}+k\pi. \]

Dans \(]-\pi\,;\pi]\) : \(S=\left\{-\frac{83\pi}{84}\,;-\frac{71\pi}{84}\,;\frac{\pi}{84}\,;\frac{13\pi}{84}\right\}\).

On relève quelques points de la courbe : \(f(-10)=4\), \(f(-8)=-1\), \(f(-6)=2\), \(f(-4)=-4\), \(f(-2)=4\), \(f(0)=-1\), \(f(2)=2\), \(f(4)=-4\), \(f(6)=4\), \(f(8)=-1\). Le même motif revient tous les 8 unités.

1) a) La courbe est invariante par la translation de vecteur \(\vec{u}(8\,;0)\) (ou tout vecteur \((8k\,;0)\), \(k\in\mathbb{Z}\)).

b) La période est la plus petite longueur positive qui convient : \(T=8\).

2) Pour tout \(x\), \(f(x+8k)=f(x)\) :

• \(f(14)=f(14-16)=f(-2)=4\) ;
• \(f(-16)=f(-16+16)=f(0)=-1\) ;
• \(f(56)=f(56-56)=f(0)=-1\) ;
• \(f(58)=f(58-56)=f(2)=2\).