Sections de solides et volumes en 3ème : corrigé des exercices 1 à 10
Ce corrigé exercices volumes 3ème rassemble les solutions des dix premiers exercices de la fiche sur les solides. On y applique toutes les formules du programme : pavé droit, prisme droit, cylindre, pyramide, cône de révolution et boule. Le premier exercice traite la section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base, avec le coefficient de réduction \(k\) et la règle « les volumes sont multipliés par \(k^3\) ». Plusieurs problèmes concrets (pluviomètre, piscine qui se vide, verre de glace qui déborde) demandent en plus de choisir la bonne unité et de convertir entre cm³, mm³, m³ et cL.
Pour chaque solide, la figure redessinée indique la base et la hauteur utilisées dans le calcul. Avant de lire une correction, écris la formule du volume, repère la base et la hauteur sur ton énoncé et fais le calcul avec la valeur exacte (avec \(\pi\)) ; tu n’arrondis qu’à la fin, comme demandé. Compare ensuite ta résolution à celle-ci ligne par ligne.
Les énoncés se trouvent sur la fiche Sections de solides et volumes : exercices de maths en 3ème corrigés en PDF. (41 exercices au total). Cherchez d’abord chaque exercice au brouillon, puis comparez avec la correction.
Corrigé des exercices 1 à 10 sur les sections de solides et les volumes en 3ème
Exercice 1 : Pyramide à base rectangulaire
Revoir l’énoncé de l’exercice 1
a. La section par un plan parallèle à la base est une réduction de la base. La petite pyramide SA’B’C’D’ a pour hauteur 5 cm, la grande 8 cm :
\[ k = \frac{SH^{\prime}}{SH} = \frac{5}{8} = 0{,}625 \]
b. La base ABCD est un rectangle d’aire \(4{,}8 \times 4{,}2 = 20{,}16\) cm² :
\[ V_{SABCD} = \frac{20{,}16 \times 8}{3} = 53{,}76 \text{ cm}^3 \]
c. Dans une réduction de coefficient \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\) :
\[ V_{SA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}} = \left(\frac{5}{8}\right)^3 \times 53{,}76 = \frac{125}{512} \times 53{,}76 = 13{,}125 \text{ cm}^3 \]
Exercice 2 : Un réservoir parallélépipédique
Revoir l’énoncé de l’exercice 2
1. Une goutte est une boule de diamètre 4 mm, donc de rayon 2 mm :
\[ V_{\text{goutte}} = \frac{4}{3}\pi \times 2^3 = \frac{32\pi}{3} \text{ mm}^3 \]
2. L’eau occupe un pavé droit de 4 cm × 4 cm × 8 cm :
\[ V_{\text{eau}} = 4 \times 4 \times 8 = 128 \text{ cm}^3 = 128\,000 \text{ mm}^3 \]
Nombre de gouttes :
\[ N = \frac{128\,000}{\frac{32\pi}{3}} = \frac{128\,000 \times 3}{32\pi} = \frac{12\,000}{\pi} \approx 3\,819{,}7 \]
Valeur approchée par défaut : il y a environ 3 819 gouttes dans le réservoir.
Exercice 3 : Calcul du volume d'une piscine
Revoir l’énoncé de l’exercice 3
1. La piscine est un prisme droit dont la base est le trapèze ABCD (côtés parallèles AD = 1,80 m et BC = 0,80 m, hauteur AB = 6 m) et dont la hauteur est AE = 5 m.
\[ \begin{aligned} \mathcal{A}_{ABCD} &= \frac{(AD + BC) \times AB}{2} = \frac{(1{,}8 + 0{,}8) \times 6}{2} = 7{,}8 \text{ m}^2 \\ V &= 7{,}8 \times 5 = 39 \text{ m}^3 \end{aligned} \]
2. En 5 heures, la pompe retire \(5 \times 5 = 25\) m³. Il reste :
\[ 39 – 25 = 14 \text{ m}^3 \]
Exercice 4 : Calcul du volume d'un pavé droit
Revoir l’énoncé de l’exercice 4
Le volume d’un pavé droit est le produit de ses trois dimensions :
\[ V = L \times l \times h = 4 \times 1{,}5 \times 2 = 12 \text{ cm}^3 \]
Exercice 5 : Volume d'un cône de révolution
Revoir l’énoncé de l’exercice 5
La base est un disque de rayon OA = 6 cm et la hauteur est SO = 8 cm :
\[ V = \frac{\pi \times OA^2 \times SO}{3} = \frac{\pi \times 36 \times 8}{3} = 96\pi \text{ cm}^3 \approx 301{,}593 \text{ cm}^3 \]
L’énoncé demande un arrondi « au mm près » pour un volume : il s’agit du mm³, soit le millième de cm³.
Exercice 6 : Volume d'un cylindre
Revoir l’énoncé de l’exercice 6
Exercice 7 : Volume d'une pyramide à base carrée
Revoir l’énoncé de l’exercice 7
La base est le carré ABCD de côté 8 cm, d’aire \(8^2 = 64\) cm², et la hauteur vaut 11 cm :
\[ V = \frac{64 \times 11}{3} = \frac{704}{3} \text{ cm}^3 \approx 234{,}667 \text{ cm}^3 \]
Exercice 8 : Volume d'un prisme droit
Revoir l’énoncé de l’exercice 8
Sur la figure, le solide a quatre sommets A, B, C, D : l’arête [AD] est perpendiculaire à la base ABC et toutes les arêtes issues de D se rejoignent en D. C’est donc une pyramide (un tétraèdre) de base ABC et de hauteur AD, et non un prisme malgré le titre.
La base ABC est rectangle en C :
\[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{CA \times CB}{2} = \frac{4 \times 5}{2} = 10 \text{ cm}^2 \]
\[ V = \frac{10 \times 7}{3} = \frac{70}{3} \text{ cm}^3 \approx 23{,}3 \text{ cm}^3 \]
Remarque : si le solide était un prisme droit de base ABC et de hauteur 7 cm, son volume serait \(10 \times 7 = 70\) cm³, trois fois plus.
Exercice 9 : Prisme droit et base triangulaire rectangle
Revoir l’énoncé de l’exercice 9
La base est le triangle ABC rectangle isocèle en B, avec BA = BC = 5 cm :
\[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{BA \times BC}{2} = \frac{5 \times 5}{2} = 12{,}5 \text{ cm}^2 \]
La hauteur du prisme est l’arête BF = 5 cm :
\[ V = \mathcal{A}_{ABC} \times BF = 12{,}5 \times 5 = 62{,}5 \text{ cm}^3 \]
Exercice 10 : Un verre conique à pied
Revoir l’énoncé de l’exercice 10
Volume du verre (cône de rayon 6 cm et de hauteur 8 cm) :
\[ V_{\text{verre}} = \frac{\pi \times 6^2 \times 8}{3} = 96\pi \text{ cm}^3 \approx 301{,}6 \text{ cm}^3 \]
Volume des trois boules de rayon 3 cm :
\[ V_{\text{glace}} = 3 \times \frac{4}{3}\pi \times 3^3 = 108\pi \text{ cm}^3 \approx 339{,}3 \text{ cm}^3 \]
On suppose que la glace fondue garde le même volume. Comme \(108\pi \gt 96\pi\), la glace va déborder. Le volume perdu vaut :
\[ 108\pi – 96\pi = 12\pi \approx 37{,}7 \text{ cm}^3 \]
Or 1 cL = 10 cm³, donc \(37{,}7 \text{ cm}^3 \approx 3{,}8\) cL.
La méthode à retenir sur les sections de solides et les volumes
- Prisme droit et cylindre : \(V = \text{aire de la base} \times \text{hauteur}\) (le pavé droit est un cas particulier : \(L \times l \times h\)).
- Pyramide et cône : \(V = \dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}\).
- Boule de rayon \(r\) : \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\).
- La section d’une pyramide ou d’un cône par un plan parallèle à la base donne une réduction de coefficient \(k\) : longueurs × \(k\), aires × \(k^2\), volumes × \(k^3\).
- Conversions : 1 cm³ = 1 000 mm³, 1 dm³ = 1 L = 1 000 cm³, 1 cL = 10 cm³, 1 m³ = 1 000 L.
Les erreurs fréquentes
- Oublier de diviser par 3 pour une pyramide ou un cône.
- Utiliser le diamètre à la place du rayon (goutte de 4 mm de diamètre, donc rayon 2 mm).
- Multiplier le volume par \(k\) au lieu de \(k^3\) dans une réduction.
- Prendre pour « hauteur » d’un prisme couché la hauteur verticale au lieu de la longueur perpendiculaire à la base (5 m pour la piscine).
- Mélanger les unités : cm³ et mm³, ou cm³ et cL.
Les exercices 11 à 41 de la fiche ne sont pas corrigés ici : ce sont de bons entraînements en autonomie une fois la méthode comprise. Retrouver tous les énoncés.
Questions fréquentes
Comment reconnaître la base et la hauteur d’un prisme ?
Les deux bases d’un prisme droit sont les deux faces identiques et parallèles ; toutes les autres faces sont des rectangles. La hauteur est la longueur des arêtes qui relient les deux bases, même si le prisme est posé sur le côté comme la piscine.
Pourquoi le volume est-il multiplié par k au cube dans une réduction ?
Un volume fait intervenir trois longueurs (longueur, largeur, hauteur), et chacune est multipliée par \(k\). Le volume est donc multiplié par \(k \times k \times k = k^3\). Avec \(k = \frac{1}{2}\), le volume est divisé par 8.
Faut-il donner la valeur exacte ou une valeur approchée ?
On donne la valeur exacte (avec \(\pi\) ou en fraction) quand la consigne le demande, et on la garde dans les calculs. L’arrondi se fait à la toute fin, à la précision demandée : au mm³ près, cela revient à trois chiffres après la virgule en cm³.
- Les énoncés : Sections de solides et volumes : exercices de maths en 3ème corrigés en PDF.
- Tous les exercices de maths en 3ème
- Les cours de maths en 3ème
- Se tester avec les QCM de maths en 3ème
- Autre corrigé : Coordonnées géographiques en 3ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10
- Autre corrigé : Arithmétique en 3ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10
- Autre corrigé : Trigonométrie en 3ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10
- Autre corrigé : Généralités sur les fonctions en 3ème : corrigé des exercices 1 à 10
Télécharger ou imprimer cette fiche «sections de solides et volumes en 3ème : corrigé des exercices 1 à 10» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
Ressources mathématiques de 3ème
