Angles et somme des angles d’un triangle : corrigé du contrôle de maths en 5ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 5ème sur le thème « angles et somme des angles d’un triangle », question par question.
Dans ce corrigé, chaque réponse suit le même schéma que celui attendu sur ta copie : les données, la propriété citée, puis le calcul et une phrase de conclusion. Les propriétés des angles formés par des parallèles sont écrites en entier, car c’est souvent là que l’on perd des points.
La figure des deux parallèles est reproduite avec tous les angles trouvés, pour visualiser les paires correspondantes et alternes-internes. Le barème détaillé sépare justification et résultat, et un piège classique est signalé sous chaque exercice. Reprends les questions manquées en refaisant la rédaction sans regarder la solution.
L’énoncé complet se trouve ici : Angles et somme des angles d’un triangle : contrôle de maths en 5ème.
Barème du contrôle corrigé : angles et somme des angles d’un triangle
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Angles autour d’un point | 4 points |
| 2. Deux parallèles et une sécante | 4 points |
| 3. Trouver l’angle manquant | 4 points |
| 4. Vrai ou faux | 4 points |
| 5. La ferme de charpente | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : angles et somme des angles d’un triangle
Exercice 1 – Angles autour d’un point (4 points)
- Les droites \((AB)\) et \((CD)\) se coupent en \(O\) : l’angle opposé par le sommet à \(\widehat{AOC}\) est \(\widehat{BOD}\). Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure, donc \(\widehat{BOD} = 50^\circ\).
- Les points \(A\), \(O\) et \(B\) sont alignés, donc \(\widehat{AOC}\) et \(\widehat{COB}\) sont adjacents et supplémentaires : leur somme vaut \(180^\circ\).
\(\widehat{COB} = 180^\circ – 50^\circ = 130^\circ\). \(\widehat{COB} = 130^\circ\). - \([OE)\) est perpendiculaire à \((AB)\), donc \(\widehat{BOE} = 90^\circ\). Les angles adjacents \(\widehat{BOD}\) et \(\widehat{DOE}\) forment \(\widehat{BOE}\) : leur somme vaut \(90^\circ\), ils sont complémentaires.
\(\widehat{DOE} = 90^\circ – 50^\circ = 40^\circ\). \(\widehat{DOE} = 40^\circ\). - Les points \(C\), \(O\) et \(D\) sont alignés, donc \(\widehat{AOC}\) et \(\widehat{AOD}\) sont supplémentaires : \(\widehat{AOD} = 180^\circ – 50^\circ = 130^\circ\). \(\widehat{AOD}\) mesure \(130^\circ\).
Piège classique : confondre complémentaires (somme de \(90^\circ\)) et supplémentaires (somme de \(180^\circ\)).
Exercice 2 – Deux parallèles et une sécante (4 points)
- \(\widehat{EMB}\) et \(\widehat{MND}\) sont du même côté de la sécante \((EF)\), l’un au-dessus de \((d_1)\), l’autre au-dessus de \((d_2)\) : ce sont des angles correspondants. Propriété : si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants ont la même mesure. Comme \((d_1)\) et \((d_2)\) sont parallèles, \(\widehat{MND} = 60^\circ\).
- Propriété : si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes ont la même mesure. Comme \((d_1)\) et \((d_2)\) sont parallèles, \(\widehat{AMN} = \widehat{MND}\). \(\widehat{AMN} = 60^\circ\).
- Les points \(A\), \(M\) et \(B\) sont alignés, donc \(\widehat{AMN}\) et \(\widehat{BMN}\) sont supplémentaires.
\(\widehat{BMN} = 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ\). \(\widehat{BMN} = 120^\circ\).
Piège classique : oublier de rappeler que les droites sont parallèles. Sans cette hypothèse, les angles correspondants n’ont aucune raison d’être égaux.
Exercice 3 – Trouver l’angle manquant (4 points)
- La somme des angles d’un triangle vaut \(180^\circ\).
\(\widehat{T} = 180^\circ – (47^\circ + 68^\circ) = 180^\circ – 115^\circ = 65^\circ\). \(\widehat{T} = 65^\circ\). - \(KLM\) est isocèle en \(K\), donc ses angles à la base sont égaux : \(\widehat{KLM} = \widehat{KML}\).
Leur somme vaut \(180^\circ – 36^\circ = 144^\circ\), donc chacun mesure \(144^\circ \div 2 = 72^\circ\). \(\widehat{KLM} = \widehat{KML} = 72^\circ\). - \(XYZ\) est rectangle en \(X\), donc \(\widehat{YXZ} = 90^\circ\). Avec la somme des angles :
\(\widehat{XZY} = 180^\circ – (90^\circ + 29^\circ) = 180^\circ – 119^\circ = 61^\circ\). \(\widehat{XZY} = 61^\circ\). - Les trois angles d’un triangle équilatéral sont égaux et leur somme vaut \(180^\circ\). Chacun mesure \(180^\circ \div 3 = 60^\circ\).
Piège classique : dans le triangle isocèle, diviser \(180^\circ\) par 2 sans avoir d’abord retiré l’angle principal.
Exercice 4 – Vrai ou faux (4 points)
- \(95^\circ + 88^\circ = 183^\circ\) et \(183^\circ > 180^\circ\). Or la somme des trois angles d’un triangle vaut \(180^\circ\). Faux : ce triangle n’existe pas.
- \(40^\circ + 70^\circ + 70^\circ = 180^\circ\), le triangle existe, et il a deux angles de même mesure. Un triangle qui a deux angles égaux est isocèle. Vrai.
- \(180^\circ – (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ – 100^\circ = 80^\circ\). Vrai.
- Avec deux angles droits, \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\) : le troisième angle mesurerait \(0^\circ\), ce qui est impossible. Faux.
Exercice 5 – La ferme de charpente (4 points)
- \(ABC\) est isocèle en \(A\), donc ses angles à la base \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{ACB}\) sont égaux. \(\widehat{ACB} = 35^\circ\).
- La somme des angles du triangle \(ABC\) vaut \(180^\circ\) :
\(\widehat{BAC} = 180^\circ – (35^\circ + 35^\circ) = 180^\circ – 70^\circ = 110^\circ\). \(\widehat{BAC} = 110^\circ\). - Les droites \((DE)\) et \((BC)\) sont parallèles et coupées par la sécante \((AB)\). Les angles \(\widehat{ADE}\) et \(\widehat{ABC}\) sont correspondants ; or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants ont la même mesure. Donc \(\widehat{ADE} = \widehat{ABC} = 35^\circ\).
- \([AH]\) est perpendiculaire à \((BC)\), donc le triangle \(ABH\) est rectangle en \(H\) : \(\widehat{AHB} = 90^\circ\).
\(\widehat{BAH} = 180^\circ – (90^\circ + 35^\circ) = 180^\circ – 125^\circ = 55^\circ\). \(\widehat{BAH} = 55^\circ\). - \(\widehat{HAC} = \widehat{BAC} – \widehat{BAH} = 110^\circ – 55^\circ = 55^\circ\). \(\widehat{HAC} = 55^\circ = \widehat{BAH}\) : le poteau \([AH]\) partage l’angle au sommet en deux angles égaux.
Piège classique : écrire \(\widehat{ADE} = 35^\circ\) « parce que ça se voit sur la figure » : une figure non à l’échelle ne prouve rien, seule la propriété compte.
À retenir de ce contrôle
- Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure ; deux angles supplémentaires ont une somme de 180 degrés.
- Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants et les angles alternes-internes sont égaux.
- Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut 180 degrés : on retire les angles connus pour trouver le dernier.
- Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux ; on retire l’angle principal avant de diviser par deux.
- Une figure non à l’échelle ne sert pas de preuve : chaque égalité d’angles doit s’appuyer sur une propriété.
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