Puissances d’un nombre relatif : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « puissances d’un nombre relatif », question par question.
Cette correction détaille chaque puissance sous forme de produit de facteurs, ce qui permet de voir d’où vient le signe du résultat. Pour les expressions, les étapes suivent l’ordre des priorités opératoires ligne après ligne, afin que tu repères exactement l’endroit où ta copie s’écarte du bon calcul.
Les exposants négatifs sont traités en passant par l’inverse et la fraction avant l’écriture décimale. Dans les deux derniers exercices, la rédaction montre comment traduire des découpages et des doublements par une puissance, puis comment conclure avec une phrase-réponse. Chaque exercice se termine par un barème détaillé et, le plus souvent, par un piège classique repéré dans les copies d’élèves de 4e.
L’énoncé complet se trouve ici : Puissances d’un nombre relatif : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : puissances d’un nombre relatif
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Le signe d’une puissance | 4 points |
| 2. Priorités et puissances | 4 points |
| 3. Exposants négatifs et inverses | 4 points |
| 4. Des carrés et des cubes | 3 points |
| 5. La culture de bactéries | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : puissances d’un nombre relatif
Exercice 1 – Le signe d’une puissance (4 points)
- Un produit de facteurs négatifs est positif si leur nombre est pair. Il est négatif s’il est impair.
\((-7)^6\) est le produit de 6 facteurs égaux à \(-7\) ; 6 est pair, donc \((-7)^6\) est positif.
\((-4)^9\) est le produit de 9 facteurs égaux à \(-4\) ; 9 est impair, donc \((-4)^9\) est négatif.
\((-1)^{100}\) : 100 est pair, donc \((-1)^{100}\) est positif (il vaut 1).
\(-2^8\) est l’opposé de \(2^8\) : l’exposant ne porte que sur 2. Or \(2^8\) est positif, donc \(-2^8\) est négatif. - \((-2)^5 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2)\), soit \((-2)^5 = -32\) (5 facteurs négatifs).
\((-3)^4 = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3)\), soit \((-3)^4 = 81\) (4 facteurs négatifs).
\(-3^4 = -(3 \times 3 \times 3 \times 3)\), soit \(-3^4 = -81\).
2027 est impair, donc \((-1)^{2027} = -1\).
Piège classique : confondre \((-3)^4\) et \(-3^4\). Sans parenthèses, le signe moins n’est pas élevé à la puissance. On calcule donc \(3^4\), puis on prend l’opposé.
Exercice 2 – Priorités et puissances (4 points)
- On calcule d’abord la puissance, puis la multiplication.
\(A = 5 – 8 \times 3\)
\(A = 5 – 24\)
\(A = -19\) - \((-4)^2 = 16\), \(4^2 = 16\) et \((-1)^3 = -1\).
\(B = 16 – 16 + (-1)\)
\(B = -1\) - \((-2)^3 = -8\) et \((-5)^2 = 25\).
\(C = 3 \times (-8) + 25\)
\(C = -24 + 25\)
\(C = 1\) - On calcule d’abord la parenthèse : \(1 – 4 = -3\), puis \((-3)^3 = -27\).
\(D = \dfrac{-27}{-9}\)
Le quotient de deux nombres négatifs est positif : \(D = 3\)
Piège classique : dans \(A\), calculer \(5 – 2 = 3\) en premier. La puissance et la multiplication sont prioritaires sur la soustraction.
Exercice 3 – Exposants négatifs et inverses (4 points)
- \(10^{-n}\) s’écrit avec le chiffre 1 placé au \(n\)-ième rang après la virgule.
\(10^{-2} = 0{,}01\) ; \(10^{-5} = 0{,}00001\) ; \(10^{0} = 1\). - \(2^{-1} = \dfrac{1}{2^1} = \dfrac{1}{2}\), donc \(2^{-1} = 0{,}5\).
\(4^{-2} = \dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16}\), donc \(4^{-2} = 0{,}0625\).
\((-5)^{-2} = \dfrac{1}{(-5)^2} = \dfrac{1}{25}\), donc \((-5)^{-2} = 0{,}04\). - Pour multiplier deux puissances de 10, on additionne les exposants :
\(E = 10^{4 + (-7)}\), soit \(E = 10^{-3}\).
Pour diviser, on soustrait les exposants :
\(F = 10^{-2 – (-6)} = 10^{-2 + 6}\), soit \(F = 10^{4}\).
Piège classique : croire qu’un exposant négatif donne un nombre négatif. En effet, \((-5)^{-2}\) est positif : c’est l’inverse de \((-5)^2 = 25\), c’est-à-dire \(0{,}04\).
Exercice 4 – Des carrés et des cubes (3 points)
- À chaque étape, le nombre de cases est multiplié par 4. On a 4 cases, puis \(4 \times 4 = 16\), puis \(16 \times 4 = 64\). Donc \(64 = 4^3\).
À l’étape 5, il y a \(4^5\) cases, soit \(64 \times 16\) : il y aura 1 024 cases à l’étape 5. - Le grand cube a 3 couches de \(3 \times 3 = 9\) petits cubes.
\(3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27\)
Malo a utilisé 27 petits cubes. - Un cube de 6 petits cubes par arête en demande \(6^3 = 216\). Comme \(216 > 200\), Malo ne peut pas le construire.
Avec 5 petits cubes par arête, il en faut \(5^3 = 125\) et \(125 \leq 200\).
Le plus grand cube possible a 5 petits cubes par arête ; il restera donc \(200 – 125 = 75\), soit 75 petits cubes.
Exercice 5 – La culture de bactéries (5 points)
- Entre 8 h 00 et 9 h 00, il s’écoule 60 minutes, soit \(60 \div 20 = 3\) divisions. Ainsi, le nombre de bactéries double 3 fois :
\(2^3 = 8\)
À 9 h 00, il y a 8 bactéries. - Entre 8 h 00 et 10 h 00, il s’écoule 120 minutes, soit \(120 \div 20 = 6\) divisions.
À 10 h 00, il y a \(2^6 = 64\) bactéries. - Après \(n\) divisions, il y a \(2^n\) bactéries. On calcule les puissances successives de 2 :
\(2^7 = 128\) ; \(2^8 = 256\) ; \(2^9 = 512\) ; \(2^{10} = 1\,024\).
Or \(512 < 1\,000\) et \(1\,024 > 1\,000\). Le seuil est donc dépassé pour la première fois après 10 divisions.
10 divisions durent \(10 \times 20 = 200\) minutes, soit 3 h 20 min.
Le nombre de bactéries dépasse 1 000 pour la première fois à 11 h 20. - Chacune des 3 bactéries de départ donne \(2^6 = 64\) bactéries à 10 h 00.
\(3 \times 2^6 = 3 \times 64 = 192\)
Le second flacon contient 192 bactéries à 10 h 00.
Lou a multiplié 3 par 2 avant de calculer la puissance. Or la puissance est prioritaire, et \(3 \times 2^6\) n’est pas égal à \((3 \times 2)^6\). D’ailleurs, \(6^6 = 46\,656\) est bien trop grand : Lou a tort.
Piège classique : compter les divisions à partir de 1 au lieu de 0. En effet, à 8 h 00, aucune division n’a encore eu lieu et il y a \(2^0 = 1\) bactérie.
À retenir de ce contrôle
- Une puissance d’un nombre négatif est positive si l’exposant est pair et négative si l’exposant est impair.
- Sans parenthèses, l’exposant ne porte que sur le nombre : −3^4 vaut −81 alors que (−3)^4 vaut 81.
- Dans un calcul, les puissances passent avant les multiplications et les divisions, mais après les parenthèses.
- Pour un nombre a non nul, a^(−n) est l’inverse de a^n : un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif.
- Une quantité qui double à chaque étape vaut sa valeur de départ multipliée par 2^n après n étapes.
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