Moyenne, médiane et étendue : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « moyenne, médiane et étendue », question par question.
Cette correction détaille chaque calcul pour que tu puisses retrouver ton erreur ligne par ligne. Pour la médiane, elle montre comment repérer le rang de la valeur centrale grâce aux effectifs cumulés. Les moyennes pondérées sont posées avec tous leurs produits, puis arrondies seulement à la fin. Un graphique compare aussi les deux groupes du cross, ce qui rend visible la différence d’étendue. Le barème précise enfin les points de méthode, tandis que les pièges classiques signalent les confusions les plus fréquentes, par exemple diviser par le nombre de pointures au lieu de l’effectif total.
L’énoncé complet se trouve ici : Moyenne, médiane et étendue : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : moyenne, médiane et étendue
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Les notes de Maëlys | 3 points |
| 2. Les pointures de la classe | 5 points |
| 3. Le cross du collège | 5 points |
| 4. Comment vient-on au collège ? | 3 points |
| 5. La moyenne de Nathan | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : moyenne, médiane et étendue
Exercice 1 – Les notes de Maëlys (3 points)
- On additionne les 7 notes, puis on divise par 7.
\(12 + 15 + 9 + 17 + 11 + 14 + 13 = 91\)
\(91 \div 7 = 13\)
La moyenne de Maëlys est de 13 sur 20. - On range d’abord les notes dans l’ordre croissant : 9 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 17. L’effectif vaut 7, un nombre impair, donc la médiane est la 4e valeur. La médiane est 13.
- L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite note : \(17 – 9 = 8\). L’étendue est de 8 points.
Exercice 2 – Les pointures de la classe (5 points)
- On additionne les effectifs lus sur le diagramme : \(3 + 5 + 8 + 6 + 4 + 2 = 28\). La classe compte 28 élèves.
- On multiplie chaque pointure par son effectif, puis on divise la somme par l’effectif total.
\(36 \times 3 + 37 \times 5 + 38 \times 8 + 39 \times 6 + 40 \times 4 + 41 \times 2\)
\(= 108 + 185 + 304 + 234 + 160 + 82 = 1\,073\)
\(1\,073 \div 28 \approx 38{,}32\)
La pointure moyenne est d’environ 38,3. - L’effectif total, 28, est pair : la médiane est donc la moyenne des 14e et 15e valeurs rangées. Avec les effectifs cumulés, on trouve 3 élèves jusqu’au 36, 8 jusqu’au 37, puis 16 jusqu’au 38. Ainsi, la 14e et la 15e valeur valent toutes les deux 38. La pointure médiane est 38.
- Les élèves qui chaussent du 40 ou plus sont \(4 + 2 = 6\).
\(\frac{6}{28} \approx 0{,}2143\), soit environ \(21{,}4\,\%\).
Environ 21,4 % des élèves chaussent du 40 ou plus.
Piège classique : diviser la somme des pointures par 6, le nombre de pointures différentes. Or il faut diviser par l’effectif total, c’est-à-dire 28 élèves.
Exercice 3 – Le cross du collège (5 points)
- Groupe Rouge, 8 coureurs.
Moyenne : \(14 + 16 + 13 + 18 + 15 + 21 + 12 + 19 = 128\), puis \(128 \div 8 = 16\) min.
Valeurs rangées : 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 18 ; 19 ; 21. L’effectif est pair, donc la médiane est la moyenne des 4e et 5e valeurs : \((15 + 16) \div 2 = 15{,}5\) min.
Étendue : \(21 – 12 = 9\) min.
Moyenne 16 min, médiane 15,5 min, étendue 9 min. - Groupe Bleu, 9 coureurs.
Moyenne : \(15 + 17 + 14 + 16 + 15 + 18 + 16 + 17 + 16 = 144\), puis \(144 \div 9 = 16\) min.
Valeurs rangées : 14 ; 15 ; 15 ; 16 ; 16 ; 16 ; 17 ; 17 ; 18. L’effectif est impair, donc la médiane est la 5e valeur : 16 min.
Étendue : \(18 – 14 = 4\) min.
Moyenne 16 min, médiane 16 min, étendue 4 min. - Les deux moyennes sont bien égales, mais les étendues sont très différentes : 9 min pour les Rouges contre 4 min pour les Bleus. Les temps du groupe Bleu sont donc beaucoup plus regroupés. De plus, la médiane du groupe Rouge vaut 15,5 min : la moitié des Rouges a couru en 15,5 min ou moins, alors que d’autres ont mis jusqu’à 21 min. Léo a tort : une même moyenne ne suffit pas, car le groupe Bleu est bien plus homogène.
Piège classique : chercher la médiane sans ranger les temps. Dans le tableau, les 4e et 5e valeurs du groupe Rouge sont 18 et 15, ce qui donnerait un résultat faux.
Exercice 4 – Comment vient-on au collège ? (3 points)
- La fréquence d’un secteur est égale à son angle divisé par 360°.
\(\frac{144}{360} = 0{,}4\), soit \(40\,\%\).
40 % des élèves viennent en bus. - Le secteur du vélo mesure 36°, donc sa fréquence vaut \(\frac{36}{360} = 0{,}1\).
\(240 \times 0{,}1 = 24\)
24 élèves viennent à vélo. - Les secteurs « à pied » et « vélo » totalisent \(108 + 36 = 144\) degrés. Par conséquent, leur fréquence est \(\frac{144}{360} = 0{,}4\), soit \(40\,\%\), alors que la moitié correspondrait à 180°. La principale a tort : seulement 40 % des élèves viennent à pied ou à vélo.
Exercice 5 – La moyenne de Nathan (4 points)
- Chaque note est multipliée par son coefficient, puis on divise par la somme des coefficients.
\(11 \times 1 + 14 \times 2 + 9 \times 1 + 15 \times 2 = 11 + 28 + 9 + 30 = 78\)
\(1 + 2 + 1 + 2 = 6\), puis \(78 \div 6 = 13\)
La moyenne actuelle de Nathan est de 13 sur 20. - Après le dernier devoir, la somme des coefficients sera \(6 + 2 = 8\). Pour obtenir 14 de moyenne, il faut donc un total de points égal à \(14 \times 8 = 112\).
Il manque \(112 – 78 = 34\) points, apportés par une note comptée deux fois : \(34 \div 2 = 17\).
Vérification : \((78 + 17 \times 2) \div 8 = 112 \div 8 = 14\).
Nathan doit obtenir 17 sur 20. - Pour 15 de moyenne, il faudrait \(15 \times 8 = 120\) points, soit \(120 – 78 = 42\) points de plus. La note devrait alors valoir \(42 \div 2 = 21\), ce qui dépasse 20. C’est impossible : Nathan ne peut pas atteindre 15 de moyenne.
Piège classique : oublier le coefficient 2 du dernier devoir et diviser par 7. Le nouveau total des coefficients est bien 8.
À retenir de ce contrôle
- La moyenne pondérée s’obtient en divisant la somme des produits valeur fois effectif par l’effectif total de la série.
- Pour trouver la médiane, on range d’abord les valeurs dans l’ordre croissant, puis on prend la valeur du milieu ou la moyenne des deux valeurs centrales.
- L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : plus elle est faible, plus la série est homogène.
- Dans un diagramme circulaire, la fréquence d’une catégorie est égale à l’angle de son secteur divisé par 360 degrés.
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