Probabilités et expériences aléatoires : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « probabilités et expériences aléatoires », question par question.
Cette correction reprend chaque question comme sur une copie bien tenue. Pour chaque probabilité, elle commence par lister les issues favorables, puis elle écrit la fraction et la simplifie. Tu y verras aussi quand utiliser la formule de l’événement contraire et pourquoi on additionne les probabilités de deux événements incompatibles. L’exercice sur les deux mille lancers est accompagné d’un graphique commenté qui montre la stabilisation des fréquences autour de la probabilité. Compare donc ta copie ligne par ligne, puis reporte-toi au barème pour estimer ta note. Les pièges signalés t’éviteront enfin les confusions les plus fréquentes.
L’énoncé complet se trouve ici : Probabilités et expériences aléatoires : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : probabilités et expériences aléatoires
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Le dé à douze faces | 3 points |
| 2. La roue de la kermesse | 4 points |
| 3. L’urne de Louna | 4,5 points |
| 4. Deux mille lancers de dé | 4 points |
| 5. Le stand de la fête foraine | 4,5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : probabilités et expériences aléatoires
Exercice 1 – Le dé à douze faces (3 points)
- Le dé a douze faces, donc il y a douze issues : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12.
- Aucune face ne porte un nombre supérieur à 12. Cet événement ne peut donc jamais se réaliser : c’est un événement impossible.
- Toutes les faces portent un nombre inférieur ou égal à 12. Ainsi, cet événement se réalise à chaque lancer : c’est un événement certain.
- Entre 1 et 12, les multiples de 5 sont 5 et 10. Les issues qui réalisent A sont 5 et 10.
- L’événement contraire de A se réalise quand A ne se réalise pas. C’est l’événement « ne pas obtenir un multiple de 5 ».
- Les multiples de 4 sont 4, 8 et 12 : ils sont tous pairs. Aucune issue n’est donc à la fois multiple de 4 et impaire. Oui, les deux événements sont incompatibles.
Exercice 2 – La roue de la kermesse (4 points)
- Les huit secteurs ont la même taille, donc chacun a la même chance d’être désigné par la flèche. Les huit issues sont équiprobables.
- Il y a 3 secteurs bleus sur 8 secteurs. La probabilité d’obtenir un secteur bleu est \(\frac{3}{8}\).
- Un seul secteur est violet. La probabilité d’obtenir le secteur violet est \(\frac{1}{8}\).
- La probabilité d’obtenir un secteur orange est \(\frac{2}{8}\), de même que celle d’obtenir un secteur vert. Comme ces événements sont incompatibles, on additionne :
\(\frac{2}{8} + \frac{2}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\).
La probabilité d’obtenir un secteur orange ou vert est \(\frac{1}{2}\). - « Ne pas obtenir un secteur bleu » est l’événement contraire de « obtenir un secteur bleu ». Par conséquent :
\(1 – \frac{3}{8} = \frac{8}{8} – \frac{3}{8} = \frac{5}{8}\).
La probabilité de ne pas obtenir un secteur bleu est \(\frac{5}{8}\). - Les secteurs pairs sont 2, 4, 6 et 8. Parmi eux, seuls les secteurs 4 et 6 sont bleus, comme le montre la figure. Il y a donc 2 issues favorables sur 8 :
\(\frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).
La probabilité d’obtenir un secteur bleu et pair est \(\frac{1}{4}\).
Piège classique : à la question 6, additionner la probabilité d’être bleu et celle d’être pair. Or « bleu et pair » demande les deux conditions en même temps, il faut donc chercher les secteurs qui les vérifient toutes les deux.
Exercice 3 – L’urne de Louna (4,5 points)
- Les boules sont indiscernables au toucher : chaque boule a la même chance d’être tirée. Il y a 5 boules bleues sur 12. La probabilité de tirer une boule bleue est \(\frac{5}{12}\).
- On compte 4 boules orange sur 12, d’où \(\frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). La probabilité de tirer une boule orange est \(\frac{1}{3}\).
- Les numéros pairs sont 2, 4, 6, 8, 10 et 12, soit 6 boules. Alors \(\frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). La probabilité de tirer un numéro pair est \(\frac{1}{2}\).
- Les boules vertes portent les numéros 6, 7 et 12. Parmi elles, seules les boules 6 et 12 ont un numéro pair. Ainsi \(\frac{2}{12} = \frac{1}{6}\). La probabilité de tirer une boule verte de numéro pair est \(\frac{1}{6}\).
- La probabilité de tirer une boule verte vaut \(\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\). Avec l’événement contraire, on obtient :
\(1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).
La probabilité de ne pas tirer une boule verte est \(\frac{3}{4}\). - Pour que la probabilité de tirer une boule verte soit \(\frac{1}{2}\), il faut autant de boules vertes que de boules d’une autre couleur. Or l’urne contient \(5 + 4 = 9\) boules bleues ou orange. Il faut donc 9 boules vertes, et Louna en a déjà 3 :
\(9 – 3 = 6\).
Vérification : l’urne contient alors \(12 + 6 = 18\) boules, dont 9 vertes, et \(\frac{9}{18} = \frac{1}{2}\).
Louna doit ajouter 6 boules vertes.
Piège classique : à la question 6, répondre 3 boules en pensant qu’il suffit de doubler le nombre de boules vertes. Quand on ajoute des boules, le nombre total de boules augmente lui aussi : il faut donc comparer les vertes aux autres boules.
Exercice 4 – Deux mille lancers de dé (4 points)
- Le dé est équilibré et possède six faces, dont une seule porte le 6. La probabilité d’obtenir 6 est \(\frac{1}{6}\).
- Après 50 lancers : \(\frac{12}{50} = \frac{24}{100} = 0{,}24\).
Après 2 000 lancers : \(\frac{334}{2\,000} = \frac{167}{1\,000} = 0{,}167\).
Les fréquences sont 0,24 après 50 lancers et 0,167 après 2 000 lancers. - Au début, la fréquence varie beaucoup : elle passe de 0,24 à 0,20, puis à 0,155. Ensuite, à partir de 500 lancers, elle change très peu et reste proche de 0,17. Quand le nombre de lancers augmente, la fréquence se stabilise autour de \(\frac{1}{6} \approx 0{,}167\).
- Après 50 lancers, la fréquence 0,24 est en effet supérieure à \(\frac{1}{6} \approx 0{,}167\). Cependant, 50 lancers représentent un petit nombre d’essais, et la fréquence fluctue alors beaucoup. Sur 2 000 lancers, au contraire, la fréquence vaut 0,167, c’est-à-dire presque exactement la probabilité d’un dé équilibré. Nora a donc tort : rien ne montre que le dé est truqué.
Piège classique : croire qu’une fréquence doit être égale à la probabilité dès les premiers essais. La probabilité ne prévoit pas un résultat précis ; elle indique seulement la valeur dont la fréquence se rapproche sur un très grand nombre d’essais.
Exercice 5 – Le stand de la fête foraine (4,5 points)
- Le ticket est tiré au hasard : il y a 6 tickets gagnants sur 40. Donc \(\frac{6}{40} = \frac{3}{20}\). La probabilité de gagner au jeu A est \(\frac{3}{20}\).
- Le dé est équilibré et une seule face sur huit porte le 8. La probabilité de gagner au jeu B est \(\frac{1}{8}\).
- On écrit les deux fractions avec le dénominateur 40 :
\(\frac{3}{20} = \frac{6}{40}\) et \(\frac{1}{8} = \frac{5}{40}\).
Comme \(\frac{6}{40} > \frac{5}{40}\), le jeu A est plus favorable. Maël a plus de chances de gagner au jeu A. - En fin de journée, la probabilité de gagner au jeu A devient \(\frac{5}{24}\). Pour la comparer à \(\frac{3}{20}\), on prend le dénominateur commun 120 :
\(\frac{5}{24} = \frac{25}{120}\) et \(\frac{3}{20} = \frac{18}{120}\).
Or \(\frac{25}{120} > \frac{18}{120}\). Maël a raison : ses chances de gagner au jeu A ont augmenté. - « Perdre au jeu B » est l’événement contraire de « gagner au jeu B ». Ainsi \(1 – \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\). La probabilité de perdre au jeu B est \(\frac{7}{8}\).
Piège classique : à la question 4, conclure que les chances baissent parce qu’il reste moins de tickets gagnants. Ce qui compte, c’est la proportion de tickets gagnants : 5 sur 24 est plus que 6 sur 40.
À retenir de ce contrôle
- Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement est le nombre d’issues favorables divisé par le nombre total d’issues.
- Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 : elle vaut 0 pour un événement impossible et 1 pour un événement certain.
- La probabilité de l’événement contraire de A est égale à 1 moins la probabilité de A.
- Si deux événements sont incompatibles, la probabilité que l’un ou l’autre se réalise est la somme de leurs probabilités.
- Sur un petit nombre d’essais, la fréquence observée peut s’éloigner de la probabilité ; elle s’en rapproche quand le nombre d’essais devient grand.
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