Mettre un problème en équation : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « mettre un problème en équation », question par question.
Cette correction suit pour chaque problème les quatre temps attendus au brevet : le choix de l’inconnue, l’écriture de l’équation justifiée à partir de l’énoncé, la résolution détaillée ligne par ligne, puis la vérification suivie d’une phrase de conclusion. Pour le triangle rectangle, le développement de \((x+2)^2\) est écrit en entier, et le schéma en barres du partage est repris avec les montants trouvés. Le barème indique ce qui rapporte des points même quand le résultat final est faux : une équation juste mal résolue vaut déjà beaucoup. Lis aussi les pièges signalés sous chaque exercice.
L’énoncé complet se trouve ici : Mettre un problème en équation : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : mettre un problème en équation
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Le double de l’âge | 3 points |
| 2. Les places de cinéma | 4 points |
| 3. L’enclos des chèvres | 4 points |
| 4. Un triangle rectangle à compléter | 4 points |
| 5. La cagnotte partagée | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : mettre un problème en équation
Exercice 1 – Le double de l’âge (3 points)
- Dans \(x\) années, Raphaël aura \(41 + x\) ans et Lou aura \(13 + x\) ans. L’âge du père doit être le double de celui de sa fille, donc \(41 + x = 2(13 + x)\).
- On développe d’abord : \(41 + x = 26 + 2x\)
Ensuite, \(41 – 26 = 2x – x\)
\(x = 15\) - Vérification : dans 15 ans, Raphaël aura \(41 + 15 = 56\) ans et Lou \(13 + 15 = 28\) ans. En effet, \(2 \times 28 = 56\).
Dans 15 ans, Raphaël aura le double de l’âge de Lou.
Piège classique : écrire \(41 = 2 \times 13\) en oubliant que les deux personnes vieillissent en même temps : les \(x\) années s’ajoutent aux deux âges.
Exercice 2 – Les places de cinéma (4 points)
- D’abord, il y aurait eu \(24 – 10 = 14\) places au tarif réduit.
Ensuite, \(10 \times 11 + 14 \times 7{,}50 = 110 + 105 = 215\).
Le club aurait payé \(215\) €, ce qui ne correspond pas aux \(222\) € payés. - Il y a \(24 – x\) places au tarif réduit. Le prix total est \(11x + 7{,}5(24 – x)\), donc \(11x + 7{,}5(24 – x) = 222\).
- On développe d’abord : \(11x + 180 – 7{,}5x = 222\)
\(3{,}5x + 180 = 222\)
Donc \(3{,}5x = 42\)
Ainsi, \(x = 42 \div 3{,}5\)
\(x = 12\) - Puis on vérifie : \(12 \times 11 + 12 \times 7{,}50 = 132 + 90 = 222\).
Le club a acheté 12 places au plein tarif et 12 places au tarif réduit.
Piège classique : oublier de distribuer le \(7{,}5\) sur le \(- x\) et écrire \(180 – x\) au lieu de \(180 – 7{,}5x\).
Exercice 3 – L’enclos des chèvres (4 points)
- Le périmètre d’un rectangle vaut deux fois la somme de la longueur et de la largeur :
Ainsi, \(P = 2(x + x + 4) = 2(2x + 4)\).
\(P = 4x + 8\) (en mètres). - Tout le grillage est utilisé, donc \(4x + 8 = 56\).
Donc \(4x = 48\)
\(x = 12\) - D’abord, la largeur est \(12\text{ m}\) et la longueur \(12 + 4 = 16\text{ m}\). Vérification : \(2 \times (12 + 16) = 56\).
Ensuite, l’aire vaut \(12 \times 16 = 192\).
L’enclos mesure \(16\text{ m}\) sur \(12\text{ m}\) et son aire est \(192\text{ m}^2\). - Un carré de périmètre \(56\text{ m}\) a pour côté \(56 \div 4 = 14\text{ m}\), donc pour aire \(14 \times 14 = 196\text{ m}^2\).
Comme \(196 > 192\), l’enclos carré aurait eu une aire plus grande, de \(4\text{ m}^2\).
Piège classique : additionner seulement la longueur et la largeur (\(2x + 4 = 56\)) : cette somme n’est qu’un demi-périmètre, et l’on trouverait une largeur de 26 m, bien trop grande.
Exercice 4 – Un triangle rectangle à compléter (4 points)
- Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), donc d’après le théorème de Pythagore :
Ainsi, \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).
Or \(BC = x + 2\), \(AB = x\) et \(AC = 6\), donc \((x + 2)^2 = x^2 + 36\). - On développe d’abord : \((x + 2)^2 = (x + 2)(x + 2) = x^2 + 2x + 2x + 4\).
\((x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4\). - L’égalité devient \(x^2 + 4x + 4 = x^2 + 36\). En soustrayant \(x^2\) aux deux membres : \(4x + 4 = 36\).
Donc \(4x = 32\)
\(x = 8\) - \(AB = 8\text{ cm}\), \(AC = 6\text{ cm}\) et \(BC = 8 + 2 = 10\text{ cm}\). Vérification : \(10^2 = 100\) et \(8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\).
Ensuite, le périmètre vaut \(8 + 6 + 10 = 24\text{ cm}\).
Enfin, l’aire vaut \(\dfrac{AB \times AC}{2} = \dfrac{8 \times 6}{2} = 24\text{ cm}^2\).
Le périmètre du triangle est \(24\text{ cm}\) et son aire \(24\text{ cm}^2\).
Piège classique : écrire \((x + 2)^2 = x^2 + 4\). On obtient alors \(4 = 36\), ce qui est absurde : le double produit \(4x\) est indispensable.
Exercice 5 – La cagnotte partagée (5 points)
- Inès reçoit \(x\), Malik \(2x\) et Chloé \(2x + 30\). Le schéma compte en tout cinq cases \(x\) et une case de \(30\) €. Or le total est \(390\) €, donc \(x + 2x + 2x + 30 = 390\), soit \(5x + 30 = 390\).
- On isole d’abord \(x\) : \(5x = 390 – 30 = 360\)
Ensuite, \(x = 360 \div 5\)
\(x = 72\) - Inès reçoit \(72\) €, Malik \(2 \times 72 = 144\) € et Chloé \(144 + 30 = 174\) €.
Enfin, on vérifie : \(72 + 144 + 174 = 390\).
Inès reçoit \(72\) €, Malik \(144\) € et Chloé \(174\) €. - Après \(n\) semaines, Inès possède \(72 + 6n\) euros et Malik \(144 – 6n\) euros.
Les deux sommes sont égales, donc \(72 + 6n = 144 – 6n\)
\(6n + 6n = 144 – 72\)
Ainsi, \(12n = 72\)
\(n = 6\)
Vérification : \(72 + 6 \times 6 = 108\) et \(144 – 6 \times 6 = 108\).
Au bout de 6 semaines, Inès et Malik possèdent chacun \(108\) €.
Piège classique : donner \(x = 72\) comme réponse finale à la question 3. La valeur de \(x\) n’est que la part d’Inès : il faut encore calculer celles de Malik et de Chloé.
À retenir de ce contrôle
- Avant d’écrire l’équation, on précise en une phrase ce que représente l’inconnue et dans quelle unité elle s’exprime.
- Une équation se résout en effectuant la même opération sur les deux membres, jusqu’à isoler l’inconnue d’un côté.
- Le carré d’une somme se développe avec la double distributivité : (x + 2)² = x² + 4x + 4, et non x² + 4.
- On vérifie toujours la solution dans l’énoncé de départ, pas seulement dans l’équation, car celle-ci peut avoir été mal écrite.
- La conclusion est une phrase qui répond à la question posée, avec l’unité, et pas seulement « x = 12 ».
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