Fonctions cosinus et sinus : corrigé du contrôle de maths en première
Voici le corrigé du contrôle de maths en première sur le thème « fonctions cosinus et sinus », question par question.
Cette correction reprend les cinq exercices dans l’ordre du sujet. Chaque équation est résolue avec le cercle trigonométrique, puis les solutions sont triées selon l’intervalle imposé. Les deux cercles tracés pour l’exercice 3 montrent les points solutions et la droite qui les fournit.
Pour la parité, le calcul de \(f(-x)\) est écrit en entier, et un contre-exemple est donné lorsqu’une fonction n’est ni paire ni impaire. Le problème de la grande roue est ensuite détaillé jusqu’aux durées en minutes et secondes. Compare enfin ta copie au barème, puis relis les pièges signalés, car ils concernent surtout les intervalles de résolution.
L’énoncé complet se trouve ici : Fonctions cosinus et sinus : contrôle de maths en première.
Barème du contrôle corrigé : fonctions cosinus et sinus
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Deux courbes à reconnaître | 4 points |
| 2. Parité et périodicité | 4 points |
| 3. Équations sur le cercle trigonométrique | 5 points |
| 4. Une fonction cosinus transformée | 3 points |
| 5. La nacelle de la grande roue | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : fonctions cosinus et sinus
Exercice 1 – Deux courbes à reconnaître (4 points)
- On sait que \(\cos 0 = 1\) et \(\sin 0 = 0\). Or \(C_2\) passe par le point \((0\,;\,1)\), tandis que \(C_1\) passe par l’origine. Donc \(C_2\) représente la fonction cosinus, et \(C_1\) la fonction sinus.
- Les deux fonctions sont périodiques de période \(2\pi\) : pour tout réel \(x\), \(\cos(x + 2\pi) = \cos x\) et \(\sin(x + 2\pi) = \sin x\). Sur le graphique, le motif tracé sur \([-\pi\,;\,\pi]\) se répète ainsi à l’identique après une translation de \(2\pi\) vers la droite. La période commune est \(2\pi\).
- D’une part, \(C_2\) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, donc cosinus est paire. D’autre part, \(C_1\) est symétrique par rapport à l’origine du repère, donc sinus est impaire. Cosinus est paire et sinus est impaire.
- On sait que \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\), donc \(\frac{\pi}{3}\) et \(-\frac{\pi}{3}\) sont solutions. Par périodicité, \(-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}\) l’est aussi, et il appartient à \([-\pi\,;\,2\pi]\). En revanche, \(\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}\) dépasse \(2\pi\). L’équation a donc trois solutions : \(-\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{3}\) et \(\frac{5\pi}{3}\).
Piège classique : ne donner que les solutions de \([0\,;\,2\pi]\). Ici l’intervalle commence à \(-\pi\), alors \(-\frac{\pi}{3}\) doit aussi figurer dans la réponse.
Exercice 2 – Parité et périodicité (4 points)
- L’ensemble \(\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à 0. De plus, pour tout réel \(x\), \(f(-x) = (-x)^2 \cos(-x) = x^2 \cos x = f(x)\), car cosinus est paire. Donc \(f\) est paire.
- Pour tout réel \(x\), \(g(-x) = \sin(-x) + (-x) = -\sin x – x = -(\sin x + x) = -g(x)\), car sinus est impaire. Ainsi, \(g\) est impaire.
- Pour tout réel \(x\), \(h(x + \pi) = \cos(2(x + \pi)) = \cos(2x + 2\pi) = \cos(2x) = h(x)\), puisque cosinus est \(2\pi\)-périodique. Par conséquent, \(h\) est périodique de période \(\pi\).
- D’abord, \(k\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 0 = 1\) et \(k\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 + 0 = -1\). Comme \(k\left(-\frac{\pi}{2}\right) \neq k\left(\frac{\pi}{2}\right)\), la fonction \(k\) n’est pas paire.
Ensuite, \(k(0) = 0 + 1 = 1\). Or une fonction impaire vérifie \(k(-0) = -k(0)\), c’est-à-dire \(k(0) = 0\). La fonction \(k\) n’est donc ni paire ni impaire.
Piège classique : conclure à partir d’un seul exemple qu’une fonction est paire. Un exemple ne prouve jamais une propriété générale, mais un contre-exemple suffit à la réfuter.
Exercice 3 – Équations sur le cercle trigonométrique (5 points)
- On sait que \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). La droite verticale d’abscisse \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l’axe des abscisses, associés à \(\frac{\pi}{6}\) et \(-\frac{\pi}{6}\). Ces deux réels sont dans \(]-\pi\,;\,\pi]\). \(S = \left\{-\frac{\pi}{6}\,;\,\frac{\pi}{6}\right\}\).
- On a \(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\), donc \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\). La droite horizontale d’ordonnée \(-\frac{1}{2}\) coupe le cercle en deux points. Le premier est associé à \(\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}\), car \(\sin(\pi + x) = -\sin x\). Le second est associé à \(2\pi – \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}\), qui représente le même point que \(-\frac{\pi}{6}\). \(S = \left\{\frac{7\pi}{6}\,;\,\frac{11\pi}{6}\right\}\).
- On sait que \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), alors \(\cos\left(\pi – \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), soit \(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Par symétrie, le point associé à \(\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}\) convient aussi. \(S = \left\{\frac{3\pi}{4}\,;\,\frac{5\pi}{4}\right\}\).
- On isole d’abord le sinus : \(2\sin x = \sqrt{3}\), puis \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Or \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\left(\pi – \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Ces deux réels sont dans \([-\pi\,;\,\pi]\), et aucune autre mesure de ces points ne l’est. \(S = \left\{\frac{\pi}{3}\,;\,\frac{2\pi}{3}\right\}\).
Piège classique : répondre \(-\frac{\pi}{6}\) à la question 2. Ce réel correspond au bon point du cercle, mais il n’appartient pas à \([0\,;\,2\pi[\) : il faut donc écrire \(\frac{11\pi}{6}\).
Exercice 4 – Une fonction cosinus transformée (3 points)
- Pour tout réel \(x\), \(f(-x) = 3\cos(-x) + 1 = 3\cos x + 1 = f(x)\), donc \(f\) est paire. De plus, \(f(x + 2\pi) = 3\cos(x + 2\pi) + 1 = 3\cos x + 1 = f(x)\). Ainsi, \(f\) est paire et \(2\pi\)-périodique.
- Pour tout réel \(x\), \(-1 \leq \cos x \leq 1\).
On multiplie par 3, qui est positif : \(-3 \leq 3\cos x \leq 3\).
Puis on ajoute 1 : \(-2 \leq f(x) \leq 4\).
De plus, \(f(0) = 3 + 1 = 4\) et \(f(\pi) = -3 + 1 = -2\). Le maximum de \(f\) vaut 4, atteint en 0, et son minimum vaut \(-2\), atteint en \(\pi\). - On a \(3\cos x + 1 = 2{,}5\), donc \(3\cos x = 1{,}5\), puis \(\cos x = \frac{1}{2}\).
Sur \([0\,;\,2\pi[\), les solutions sont \(\frac{\pi}{3}\) et \(2\pi – \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}\). \(S = \left\{\frac{\pi}{3}\,;\,\frac{5\pi}{3}\right\}\).
Exercice 5 – La nacelle de la grande roue (4 points)
- D’abord, \(h(0) = 20 – 18\cos 0 = 20 – 18 = 2\).
Ensuite, \(h(2{,}5) = 20 – 18\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 20 – 0 = 20\).
Enfin, \(h(5) = 20 – 18\cos(\pi) = 20 + 18 = 38\). Au départ, la nacelle est à 2 m du sol ; après 2 min 30 s, elle est à 20 m, à la hauteur de l’axe ; après 5 min, elle atteint le sommet, à 38 m. - Pour tout réel \(t\), \(h(t + 10) = 20 – 18\cos\left(\frac{\pi t}{5} + 2\pi\right) = 20 – 18\cos\left(\frac{\pi t}{5}\right) = h(t)\). La hauteur se répète donc toutes les 10 minutes : c’est la durée d’un tour complet.
- On résout \(h(t) = 29\) : \(-18\cos\left(\frac{\pi t}{5}\right) = 9\), donc \(\cos\left(\frac{\pi t}{5}\right) = -\frac{1}{2}\).
Quand \(t\) décrit \([0\,;\,10]\), le réel \(\frac{\pi t}{5}\) décrit \([0\,;\,2\pi]\). Or, sur cet intervalle, \(\cos X = -\frac{1}{2}\) pour \(X = \frac{2\pi}{3}\) ou \(X = \frac{4\pi}{3}\).
Ainsi, \(\frac{\pi t}{5} = \frac{2\pi}{3}\) donne \(t = \frac{10}{3}\), et \(\frac{\pi t}{5} = \frac{4\pi}{3}\) donne \(t = \frac{20}{3}\).
Enfin, \(\frac{10}{3}\) min \(= 3\) min \(20\) s et \(\frac{20}{3}\) min \(= 6\) min \(40\) s. La nacelle est à 29 m après 3 min 20 s, puis après 6 min 40 s. - La nacelle est au-dessus de 29 m lorsque \(\cos\left(\frac{\pi t}{5}\right) < -\frac{1}{2}\), c’est-à-dire entre ces deux instants. La durée vaut alors \(\frac{20}{3} – \frac{10}{3} = \frac{10}{3}\) min. Elle reste au-dessus de 29 m pendant 3 min 20 s par tour.
Piège classique : résoudre \(\cos t = -\frac{1}{2}\) au lieu de \(\cos\left(\frac{\pi t}{5}\right) = -\frac{1}{2}\). Pose plutôt \(X = \frac{\pi t}{5}\), puis reviens à \(t\) à la fin.
À retenir de ce contrôle
- La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire ; toutes deux sont périodiques de période 2π.
- Pour résoudre cos x = a, on trace la droite verticale d’abscisse a et on lit les points d’intersection avec le cercle.
- Pour résoudre sin x = a, on trace la droite horizontale d’ordonnée a, puis on ne garde que les solutions de l’intervalle imposé.
- Comme le cosinus reste entre −1 et 1, la fonction 3 cos x + 1 reste entre −2 et 4.
- Une fonction impaire définie en 0 vaut 0 en 0 : un seul contre-exemple suffit pour prouver qu’elle ne l’est pas.
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