QCM : Résidus et séries de Laurent en L3 de maths

Réponse B.

Le développement \(e^{1/z}=\sum_{n\ge0}\frac{1}{n!\,z^n}\) comporte une infinité de puissances négatives non nulles. C’est exactement la définition d’une singularité essentielle. Le piège du pôle simple vient du premier terme \(\frac{1}{z}\), qui ne suffit pas à décrire la fonction. De plus, sur l’axe réel, \(e^{1/x}\) tend vers 0 à gauche et vers l’infini à droite : aucune limite, finie ou infinie, n’existe.

Réponse C.

Au voisinage de 0, on a \(1-\cos z=\frac{z^2}{2}-\frac{z^4}{24}+\cdots\). Par conséquent, \(f(z)=\frac{1}{2z^2}-\frac{1}{24}+\cdots\), et le pôle est d’ordre 2. Le piège 4 lit seulement le dénominateur en oubliant que le numérateur s’annule à l’ordre 2. Ainsi, l’ordre d’un pôle d’un quotient est la différence des ordres d’annulation. La singularité n’est effaçable que pour un dénominateur \(z^2\).

Réponse C.

Le pôle \(i\) est simple, et \(z^2+1=(z-i)(z+i)\). Donc le résidu vaut \(\frac{1}{i+i}=\frac{1}{2i}\), soit \(-\frac{i}{2}\) en multipliant par \(\frac{-i}{-i}\). On peut aussi utiliser la formule \(\frac{1}{(z^2+1)^{\prime}}=\frac{1}{2z}\) évaluée en \(i\). Le piège \(\frac{i}{2}\) provient d’une erreur de signe en simplifiant \(\frac{1}{i}\). Quant à \(2i\), il inverse la fraction.

Réponse A.

Le résidu est le coefficient de \(\frac{1}{z}\) dans le développement de Laurent. On divise donc par \(z^3\) la série de \(e^z\) : le terme en \(\frac{1}{z}\) provient de \(\frac{z^2}{2!}\), d’où \(\frac{1}{2}\). Le piège \(\frac{1}{6}\) prend le coefficient de \(z^3\), comme si l’on cherchait le terme constant. La réponse 1 retient le coefficient de \(z\). Enfin, un pôle d’ordre 3 peut tout à fait avoir un résidu non nul.

Réponse D.

Pour \(|z|>1\), on écrit \(h(z)=\frac{1}{z^2}\cdot\frac{1}{1-1/z}=\sum_{n\ge2}z^{-n}\). Ainsi aucun terme en \(\frac{1}{z}\) n’apparaît. Le piège \(-1\) est le résidu en 0, c’est-à-dire le coefficient obtenu dans la couronne \(0<|z|<1\). Retiens donc qu’un développement de Laurent dépend de la couronne choisie. Ici, le coefficient nul traduit le fait que les résidus en 0 et en 1 se compensent.

Réponse A.

Le lacet parcourt le cercle de rayon 2 deux fois, dans le sens direct. Or le point 1 est intérieur au disque, donc chaque tour compte pour 1, et l’indice vaut 2. Le piège 1 ne regarde que l’image du lacet, sans compter le nombre de tours. Par ailleurs, 0 serait la réponse pour un point extérieur, comme 3. Enfin, le signe ne change que si le cercle est parcouru dans le sens indirect.

Réponse B.

Les deux pôles 0 et 1 sont simples et intérieurs au cercle. Le résidu en 0 vaut \(\frac{1}{0-1}=-1\), et celui en 1 vaut \(\frac{1}{1}=1\). Par conséquent, le théorème des résidus donne \(2\pi i(-1+1)=0\). Le piège \(-2\pi i\) oublie le pôle 1, et \(2\pi i\) oublie le pôle 0. On retrouve le résultat précédent : le coefficient de \(\frac{1}{z}\) à l’extérieur du disque est nul.

Réponse D.

On ferme le contour par un demi-cercle dans le demi-plan supérieur ; sa contribution tend vers 0, car l’intégrande décroît comme \(|z|^{-4}\). Le seul pôle intérieur est \(i\), double. Le résidu est la dérivée de \((z+i)^{-2}\) en \(i\), soit \(-2(2i)^{-3}=\frac{1}{4i}\). Donc l’intégrale vaut \(2\pi i\cdot\frac{1}{4i}=\frac{\pi}{2}\). Le piège \(\pi\) est la valeur de l’intégrale de \(\frac{1}{x^2+1}\).

Réponse A.

Avec \(z=e^{i\theta}\), l’intégrale devient \(\oint_{|z|=1}\frac{2\,\mathrm{d}z}{i(z^2+4z+1)}\). Les racines sont \(-2\pm\sqrt{3}\), et seule \(-2+\sqrt{3}\) est dans le disque unité. Le résidu de \(\frac{2}{i(z^2+4z+1)}\) en ce point vaut \(\frac{2}{i\cdot2\sqrt{3}}\). Par conséquent, l’intégrale vaut \(\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\). Oublier le facteur \(\frac{1}{iz}\) du changement de variable mène à un résultat faux.

Réponse C.

Sur le demi-plan supérieur, \(|e^{iz}|=e^{-\mathrm{Im}\,z}\le1\), donc l’arc de cercle ne contribue pas à la limite. Le résidu en \(i\) vaut \(\frac{e^{-1}}{2i}\), d’où \(\frac{\pi}{e}\) pour la partie réelle. En revanche, \(\cos z\) croît exponentiellement selon l’axe imaginaire : la bonne valeur ne se justifie pas ainsi. De même, \(e^{-iz}\) explose dans ce demi-plan. Enfin, \(\frac{2\pi}{e}\) double le résultat à tort.

Réponse B.

Le principe de l’argument donne le nombre de zéros moins le nombre de pôles intérieurs, comptés avec multiplicité. Dans le disque unité, on trouve le zéro triple 0 et le pôle double \(\frac{1}{2}\). En revanche, le zéro 2 est extérieur. Ainsi on obtient \(3-2=1\). Le piège 3 ne compte que les zéros, et 5 additionne zéros et pôles au lieu de les soustraire. Enfin, 2 compte à tort le zéro 2.

Réponse D.

Sur le cercle \(|z|=1\), on a \(|3z|=3\), tandis que \(|z^5+1|\le2\). Donc le théorème de Rouché s’applique : le polynôme a autant de zéros dans le disque que \(3z\), soit un seul. Le piège 5 compte toutes les racines dans \(\mathbb{C}\), alors que quatre d’entre elles sont hors du disque. De plus, la réponse 0 est exclue : le polynôme vaut 1 en 0 et \(-3\) en \(-1\), donc il s’annule entre les deux.