Sous-espaces et supplémentaires en maths sup (MPSI) : cours et méthodes

On appelle \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel la donnée d’un ensemble \(E\), d’une addition \(+\) entre ses éléments, et d’une multiplication \(\lambda \cdot x\) d’un élément \(x\) de \(E\) par un scalaire \(\lambda\), qui vérifient les trois règles suivantes :

1. \((E, +)\) est un groupe commutatif, de neutre noté \(0_E\) ;
2. pour tous \(\lambda, \mu \in \mathbb{K}\) et \(x, y \in E\) : \(\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y\) et \((\lambda + \mu)x = \lambda x + \mu x\) ;
3. \(\lambda(\mu x) = (\lambda\mu)x\) et \(1 \cdot x = x\).

Les éléments de \(E\) s’appellent alors des vecteurs.

Pour \(\lambda \in \mathbb{K}\) et \(x \in E\) : \(0 \cdot x = 0_E\), \(\lambda \cdot 0_E = 0_E\) et \((-1)x = -x\). De plus, \(\lambda x = 0_E\) si et seulement si \(\lambda = 0\) ou \(x = 0_E\).

D’abord, \(0 \cdot x = (0 + 0)x = 0 \cdot x + 0 \cdot x\) ; en ajoutant l’opposé de \(0 \cdot x\), il reste \(0 \cdot x = 0_E\). Le calcul est le même pour \(\lambda \cdot 0_E\). Ensuite, \(x + (-1)x = (1 – 1)x = 0_E\), donc \((-1)x\) est l’opposé de \(x\). Enfin, si \(\lambda x = 0_E\) avec \(\lambda \neq 0\), on multiplie par \(\lambda^{-1}\) : \(x = \lambda^{-1}(\lambda x) = \lambda^{-1} 0_E = 0_E\).

Si \(E\) et \(F\) sont deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels, le produit \(E \times F\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel pour les lois \((x, y) + (x^{\prime}, y^{\prime}) = (x + x^{\prime}, y + y^{\prime})\) et \(\lambda(x, y) = (\lambda x, \lambda y)\). Son vecteur nul est \((0_E, 0_F)\).

Soit \(x_1, \dots, x_p\) des vecteurs de \(E\). Une combinaison linéaire de ces vecteurs est un vecteur de la forme \(\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p\), où \(\lambda_1, \dots, \lambda_p\) sont des scalaires. Une combinaison linéaire comporte toujours un nombre fini de termes.

Dans \(\mathbb{R}^3\), posons \(u = (1, 1, 2)\), \(v = (2, -3, 3)\) et \(w = (4, -1, 7)\). Cherchons \(a, b\) réels tels que \(w = au + bv\). Cela donne le système \(a + 2b = 4\), \(a – 3b = -1\), \(2a + 3b = 7\). En soustrayant les deux premières équations, \(5b = 5\), donc \(b = 1\) puis \(a = 2\). On contrôle la troisième : \(4 + 3 = 7\). Ainsi, \(w = 2u + v\) est bien combinaison linéaire de \(u\) et \(v\).

Une partie \(F\) de \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si elle contient \(0_E\) et si elle est stable par addition et par multiplication par un scalaire. Muni des lois induites, \(F\) est alors lui-même un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel.

Une partie \(F\) de \(E\) est un sous-espace vectoriel si et seulement si \(0_E \in F\) et, pour tous \(x, y \in F\) et tout \(\lambda \in \mathbb{K}\), \(\lambda x + y \in F\).

Le sens direct est clair, car \(\lambda x \in F\) puis \(\lambda x + y \in F\). Réciproquement, supposons la condition vérifiée. Avec \(\lambda = 1\), on obtient la stabilité par somme. Avec \(y = 0_E\), qui est dans \(F\), on obtient \(\lambda x \in F\). Ensuite, les axiomes de \(E\) restent vrais pour les éléments de \(F\), et l’opposé \(-x = (-1)x\) appartient à \(F\). Ainsi, \(F\) est un espace vectoriel pour les lois induites.

Pour prouver qu’un ensemble \(F\) est un espace vectoriel :

1. repérer un espace connu \(E\) qui contient \(F\) : \(\mathbb{K}^n\), \(\mathbb{K}[X]\), des matrices, des suites ou des fonctions ;
2. vérifier que le vecteur nul de \(E\) est dans \(F\) ;
3. prendre \(x, y \in F\), \(\lambda \in \mathbb{K}\), et montrer que \(\lambda x + y\) satisfait la condition qui définit \(F\) ;
4. conclure : \(F\) est un sous-espace de \(E\), donc un espace vectoriel.

Soit \(F = \{P \in \mathbb{R}[X] : P(1) + P^{\prime}(0) = 0\}\). Le polynôme nul vérifie la condition. Ensuite, prenons \(P, Q \in F\) et \(\lambda\) réel. Par linéarité de l’évaluation et de la dérivation, \((\lambda P + Q)(1) + (\lambda P + Q)^{\prime}(0) = \lambda\bigl(P(1) + P^{\prime}(0)\bigr) + \bigl(Q(1) + Q^{\prime}(0)\bigr) = 0\). Par conséquent, \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}[X]\). Par exemple, \(X – 2\) et \(X^2 – 1\) appartiennent à \(F\).

Soit \((F_i)_{i \in I}\) une famille quelconque, éventuellement infinie, de sous-espaces de \(E\). Leur intersection reste un sous-espace de \(E\).

Notons \(F = \bigcap_{i \in I} F_i\). Chaque \(F_i\) contient \(0_E\), donc \(F\) aussi. Soit maintenant \(x, y \in F\) et \(\lambda \in \mathbb{K}\). Pour chaque indice \(i\), \(x\) et \(y\) sont dans \(F_i\), qui est un sous-espace ; donc \(\lambda x + y \in F_i\). Ceci étant vrai pour tout \(i\), on a \(\lambda x + y \in F\).

Soit \(F\) et \(G\) deux sous-espaces de \(E\). Alors \(F \cup G\) est un sous-espace si et seulement si \(F \subset G\) ou \(G \subset F\).

Le sous-espace engendré par une partie \(A\) de \(E\), noté \(\mathrm{Vect}(A)\), est l’intersection de tous les sous-espaces de \(E\) qui contiennent \(A\). C’est le plus petit sous-espace de \(E\) contenant \(A\), au sens de l’inclusion. Par convention, \(\mathrm{Vect}(\varnothing) = \{0_E\}\).

Si \(A\) est non vide, \(\mathrm{Vect}(A)\) est l’ensemble des combinaisons linéaires d’un nombre fini d’éléments de \(A\). En particulier, \(\mathrm{Vect}(x_1, \dots, x_p) = \{\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p : \lambda_1, \dots, \lambda_p \in \mathbb{K}\}\).

Notons \(C\) l’ensemble de ces combinaisons. D’une part, \(C\) contient \(A\) et c’est un sous-espace : il contient \(0_E\), et \(\lambda c + c^{\prime}\) est encore une combinaison finie si \(c, c^{\prime} \in C\). Donc \(\mathrm{Vect}(A) \subset C\). D’autre part, tout sous-espace qui contient \(A\) contient, par stabilité, toutes les combinaisons finies d’éléments de \(A\). Il contient donc \(C\), et ainsi \(C \subset \mathrm{Vect}(A)\).

Pour décrire un sous-espace donné par des équations comme un Vect :

1. résoudre le système en exprimant certaines inconnues à l’aide des autres, appelées paramètres ;
2. écrire le vecteur général comme combinaison des paramètres ;
3. lire les vecteurs qui multiplient chaque paramètre : ils engendrent le sous-espace.

Dans l’autre sens, on écrit le vecteur général du Vect avec des paramètres, puis on élimine ces paramètres pour obtenir des équations.

Soit \(P = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x – 2y + z = 0\}\). L’équation donne \(x = 2y – z\). Ainsi, \((x, y, z) = (2y – z, y, z) = y(2, 1, 0) + z(-1, 0, 1)\), et \(P = \mathrm{Vect}\bigl((2,1,0), (-1,0,1)\bigr)\). Inversement, considérons \(\mathrm{Vect}\bigl((1, 0, -1), (0, 1, 2)\bigr)\). Son vecteur général s’écrit \((a, b, -a + 2b)\), d’où \(z = -x + 2y\), c’est-à-dire \(x – 2y + z = 0\). On retrouve le même plan \(P\) : deux familles différentes engendrent donc le même sous-espace.

Pour deux sous-espaces \(F\) et \(G\) de \(E\), on note \(F + G\), et l’on appelle somme de \(F\) et \(G\), l’ensemble des vecteurs \(x + y\) obtenus quand \(x\) parcourt \(F\) et \(y\) parcourt \(G\).

La somme \(F + G\) est un sous-espace de \(E\). C’est le plus petit sous-espace contenant \(F\) et \(G\) : \(F + G = \mathrm{Vect}(F \cup G)\).

On a \(0_E = 0_E + 0_E \in F + G\). Si \(x + y\) et \(x^{\prime} + y^{\prime}\) sont dans \(F + G\), alors \(\lambda(x + y) + (x^{\prime} + y^{\prime}) = (\lambda x + x^{\prime}) + (\lambda y + y^{\prime})\), qui est encore une somme d’un élément de \(F\) et d’un élément de \(G\). Ensuite, \(F + G\) contient \(F\) (prendre \(y = 0_E\)) et \(G\). Enfin, tout sous-espace contenant \(F\) et \(G\) contient leurs sommes, donc \(F + G\).

On dit que \(F + G\) est une somme directe lorsque, pour chaque vecteur de \(F + G\), la décomposition en un élément de \(F\) plus un élément de \(G\) est unique. On écrit alors \(F \oplus G\).

Pour que la somme \(F + G\) soit directe, il faut et il suffit que \(F \cap G = \{0_E\}\).

Supposons la somme directe et prenons \(z \in F \cap G\). Le vecteur nul admet les deux écritures \(0_E = 0_E + 0_E = z + (-z)\), avec \(z \in F\) et \(-z \in G\). L’unicité impose \(z = 0_E\). Réciproquement, supposons \(F \cap G = \{0_E\}\) et \(x + y = x^{\prime} + y^{\prime}\) avec \(x, x^{\prime} \in F\) et \(y, y^{\prime} \in G\). Alors \(x – x^{\prime} = y^{\prime} – y\) appartient à \(F\) et à \(G\), donc il est nul. Par conséquent, \(x = x^{\prime}\) et \(y = y^{\prime}\).

Dans \(\mathbb{R}^3\), soit \(D = \mathrm{Vect}\bigl((1, 1, 0)\bigr)\) et \(P = \{(x, y, z) : x + y + z = 0\}\). Tout vecteur \((t, t, 0)\) de \(D\) a une somme de coordonnées égale à \(2t\) ; il n’est donc dans \(P\) que pour \(t = 0\). Ainsi, \(D \cap P = \{0\}\), et la somme \(D + P\) est directe.

Soit \(F_1, \dots, F_p\) des sous-espaces de \(E\). Leur somme \(F_1 + \dots + F_p\) est l’ensemble des vecteurs \(x_1 + \dots + x_p\) avec \(x_k \in F_k\). Elle est directe si chacun de ses vecteurs admet une seule telle écriture.

La somme \(F_1 + \dots + F_p\) est directe si et seulement si : pour tous \(x_k \in F_k\), l’égalité \(x_1 + \dots + x_p = 0_E\) entraîne \(x_1 = \dots = x_p = 0_E\).

Dans \(\mathbb{R}^2\), notons \(e_1 = (1, 0)\), \(e_2 = (0, 1)\) et considérons les droites \(D_1 = \mathrm{Vect}(e_1)\), \(D_2 = \mathrm{Vect}(e_2)\), \(D_3 = \mathrm{Vect}(e_1 + e_2)\). Deux quelconques d’entre elles ont une intersection nulle. Pourtant, \(e_1 + e_2 + \bigl(-(e_1 + e_2)\bigr) = 0\) est une décomposition non triviale du vecteur nul. La somme \(D_1 + D_2 + D_3\) n’est donc pas directe.

Deux sous-espaces \(F\) et \(G\) de \(E\) sont supplémentaires dans \(E\) si \(E = F \oplus G\). Autrement dit, tout vecteur \(x\) de \(E\) s’écrit de manière unique \(x = x_F + x_G\) avec \(x_F \in F\) et \(x_G \in G\).

D’après le théorème de la partie 4, \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(E\) si et seulement si \(F \cap G = \{0_E\}\) et \(F + G = E\). Il y a donc toujours deux propriétés à établir.

Pour établir que \(E = F \oplus G\) quand on ne dispose pas d’outil de dimension :

1. Analyse. On fixe \(x \in E\) et on suppose qu’il existe \(x_F \in F\) et \(x_G \in G\) avec \(x = x_F + x_G\). On utilise les conditions qui définissent \(F\) et \(G\) pour exprimer \(x_F\) et \(x_G\) en fonction de \(x\) seul. La décomposition, si elle existe, est donc unique.
2. Synthèse. On pose \(x_F\) et \(x_G\) égaux aux formules trouvées. On vérifie que \(x_F \in F\), que \(x_G \in G\) et que \(x_F + x_G = x\). La décomposition existe.
3. Conclusion. Tout vecteur de \(E\) se décompose de façon unique : \(E = F \oplus G\).

Dans \(E = \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\), soit \(F = \{f \in E : f(0) = f(1) = 0\}\) et \(G\) l’ensemble des fonctions affines \(t \mapsto \alpha + \beta t\). Ce sont deux sous-espaces de \(E\).

Analyse. Soit \(f \in E\) et supposons \(f = g + h\) avec \(g \in F\) et \(h(t) = \alpha + \beta t\). En évaluant en 0, on obtient \(f(0) = \alpha\). En évaluant en 1, on obtient \(f(1) = \alpha + \beta\). Ainsi, \(\alpha = f(0)\), \(\beta = f(1) – f(0)\), puis \(g = f – h\) : tout est déterminé.

Synthèse. Posons \(h(t) = f(0) + \bigl(f(1) – f(0)\bigr)t\) et \(g = f – h\). La fonction \(h\) est affine. De plus, \(g(0) = f(0) – f(0) = 0\) et \(g(1) = f(1) – f(1) = 0\), donc \(g \in F\). Enfin, \(g + h = f\).

Conclusion. \(E = F \oplus G\). Géométriquement, \(h\) est la fonction affine qui coïncide avec \(f\) en 0 et en 1.

Dans \(\mathbb{R}^3\), soit \(P = \{(x, y, z) : x + y + z = 0\}\) et \(D = \mathrm{Vect}\bigl((1, 2, -1)\bigr)\). Analyse : si \((x, y, z) = t(1, 2, -1) + p\) avec \(p \in P\), alors la somme des coordonnées donne \(x + y + z = 2t + 0\). Donc \(t = \frac{x + y + z}{2}\) et \(p = (x, y, z) – t(1, 2, -1)\). Synthèse : avec ces formules, la somme des coordonnées de \(p\) vaut \((x + y + z) – 2t = 0\), donc \(p \in P\). Ainsi, \(\mathbb{R}^3 = P \oplus D\). Par exemple, \((1, 3, 2) = 3(1, 2, -1) + (-2, -3, 5)\).

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