QCM : Anneau Z/nZ et RSA en L2 de maths

Réponse C.

La congruence modulo 7 est réflexive, symétrique et transitive : ses classes forment \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\). En revanche, la divisibilité n’est pas symétrique, puisque 2 divise 4 mais 4 ne divise pas 2. La relation \(|a-b|\leq 1\) échoue à la transitivité : 0 est relié à 1, et 1 à 2. Enfin, avec \(a+b\), 1 n’est pas relié à lui-même.

Réponse B.

Comme 7 est premier et ne divise pas 3, le petit théorème de Fermat donne \(3^6\equiv 1\). Or \(100=6\times 16+4\), donc \(3^{100}\) est congru à \(3^4=81\), soit 4 modulo 7. Le piège 1 suppose que l’exposant est un multiple de 6. La réponse 2, qui vaut \(3^2\), provient d’une division euclidienne fausse de 100 par 6.

Réponse A.

Une classe \(\overline{a}\) est inversible dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) si et seulement si \(a\) est premier avec \(n\). Ici, 8 est premier avec 15, et \(8\times 2=16\equiv 1\). En revanche, 6 et 9 partagent le facteur 3 avec 15, tandis que 10 partage le facteur 5. Ces classes sont donc des diviseurs de zéro : par exemple, \(6\times 5\equiv 0\).

Réponse C.

On vérifie : \(7\times 15=105\), qui dépasse \(104=4\times 26\) de 1. Donc \(\overline{15}\) est bien l’inverse. Le piège 11 est subtil : \(7\times 11=77=3\times 26-1\), ce qui donne \(-1\) et non 1 ; il vient d’une erreur de signe dans les coefficients de Bézout. La réponse 19 est l’opposé de 7, et non son inverse.

Réponse B.

L’anneau \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un corps si et seulement si \(n\) est premier ; sinon, il possède des diviseurs de zéro. Ici, \(3\times 3=9\equiv 0\). Le piège du corps à neuf éléments est réel : ce corps existe, mais il se construit autrement et n’est pas \(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\). De plus, un anneau intègre fini est toujours un corps.

Réponse A.

On décompose \(84=2^2\times 3\times 7\). La multiplicativité donne donc \(\varphi(84)=\varphi(4)\varphi(3)\varphi(7)=2\times 2\times 6=24\). Le piège 36 prend \(\varphi(4)=3\), comme si 4 était premier. La réponse 83 applique la formule \(p-1\), valable seulement pour un nombre premier. Enfin, 12 oublie un facteur 2.

Réponse B.

On a \(\varphi(33)=2\times 10=20\), et 5 est premier avec 33. Donc \(5^{20}\equiv 1\), puis \(5^{98}=5^{100}\times 5^{-2}\equiv 25^{-1}\). Or \(25\times 4=100=3\times 33+1\), d’où le reste 4. Le piège 25 prend \(\varphi(33)=32\), comme si 33 était premier : on obtient alors \(5^{2}\). La réponse 1 croit que 98 est multiple de 20.

Réponse D.

Comme 5 et 7 sont premiers entre eux, le théorème chinois assure une unique classe modulo 35. On teste les nombres \(3+7k\) : 3, 10, puis 17, qui vaut bien 2 modulo 5. Le piège 23 échange les deux congruences. La réponse 12 ne vérifie que la première. Enfin, le module 12 additionne 5 et 7 au lieu de les multiplier.

Réponse C.

L’application \(x\mapsto x^2\) sur \(\mathbb{F}_{13}^{*}\) identifie \(x\) et \(-x\). Il y a donc \(\frac{12}{2}=6\) carrés non nuls. De plus, \(13\equiv 1\pmod 4\), donc \(-1\) est un carré : en effet, \(5^2=25\equiv -1\). Le piège « sept » compte aussi 0, que l’énoncé exclut. Quant à « douze », il oublie que \(x\) et \(-x\) ont le même carré.

Réponse D.

Tout idéal de \(\mathbb{Z}\) est principal. La somme \(6\mathbb{Z}+10\mathbb{Z}\) contient \(10-6=4\) puis \(6-4=2\), et tous ses éléments sont pairs. Elle vaut donc \(2\mathbb{Z}\), engendré par le PGCD. Le piège \(30\mathbb{Z}\) correspond à l’intersection, engendrée par le PPCM. Quant à \(16\mathbb{Z}\), il additionne les générateurs, ce qui n’a aucun sens.

Réponse A.

L’exposant privé est l’inverse de \(e\) modulo \(\varphi(n)=4\times 10=40\). Or \(3\times 27=81=2\times 40+1\), donc \(d=27\). Le piège 37 inverse 3 modulo 55 : en effet, \(3\times 37=111\equiv 1\pmod{55}\), mais le module correct est \(\varphi(n)\). La réponse 13 vient d’un signe perdu, puisque \(3\times 13\equiv -1\pmod{40}\).

Réponse D.

Le chiffrement envoie \(m\) sur \(m^3\) modulo 55, et cette application est une bijection, de réciproque \(c\mapsto c^{27}\). Or \(2^3=8\) : ainsi \(m=2\), sans calculer \(8^{27}\). Le piège 8 confond le chiffré et le clair. La réponse 24 multiplie par 3 au lieu d’élever au cube. Vérifie toujours en rechiffrant le résultat.