QCM : Groupes et théorème de Lagrange en L2 de maths

Réponse B.

Dans \(\mathbb{Q}^{*}\), le produit est associatif, 1 est neutre, et tout \(q\) non nul a pour inverse \(\frac{1}{q}\). En revanche, \(\mathbb{N}\) n’a pas d’opposés : 3 n’a pas d’inverse pour l’addition. La soustraction n’est pas associative, car \((5-2)-1\neq 5-(2-1)\). Enfin, dans les entiers non nuls, 2 n’a pas d’inverse multiplicatif.

Réponse C.

Les racines sixièmes de l’unité contiennent 1 et sont stables par produit et par inverse : c’est donc un sous-groupe. Le piège \(z^6=-1\) ne contient pas le neutre 1. Le cercle de rayon 2 n’est pas stable, puisque \(2\times 2=4\). Enfin, le demi-plan n’est pas stable : \((1+i)^2=2i\) a une partie réelle nulle.

Réponse A.

L’ordre de \(\overline{a}\) dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) vaut \(n/d\), où \(d\) est le PGCD de \(a\) et \(n\). Ici le PGCD de 18 et 30 vaut 6, donc l’ordre est 5. On vérifie : \(5\times 18=90\), multiple de 30. Le piège 6 donne le PGCD lui-même au lieu du quotient. La réponse 30 suppose que tout élément non nul engendre le groupe.

Réponse D.

Dans \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\), la classe de 2 est d’ordre 2. Dans \(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\), celle de 3 est d’ordre 3. Un multiple \(k\) annule le couple si et seulement s’il annule chaque coordonnée : l’ordre est donc le PPCM, soit 6. Le piège 36 est l’ordre du groupe entier. La réponse 5 additionne les ordres, ce qui n’a aucun sens.

Réponse D.

On cherche les \(x\) tels que 12 divise \(4x\), c’est-à-dire que 3 divise \(x\). Le noyau compte donc quatre éléments. Le piège \(\{\overline{0},\overline{4},\overline{8}\}\) est l’image, et non le noyau. Ainsi, on retrouve bien \(4\times 3=12\) : le cardinal du noyau multiplié par celui de l’image donne l’ordre du groupe. Enfin, \(f\) n’est pas injectif.

Réponse C.

Les sous-groupes de \(\mathbb{Z}\) sont exactement les \(n\mathbb{Z}\). L’intersection de \(4\mathbb{Z}\) et \(6\mathbb{Z}\) en est un : c’est \(12\mathbb{Z}\). En revanche, la réunion n’est pas stable, car \(4+6=10\) n’est multiple ni de 4 ni de 6. De plus, \(\mathbb{N}\) ne contient pas les opposés. Enfin, \(\{-1,0,1\}\) n’est pas stable, puisque \(1+1=2\).

Réponse D.

Comme 5 et 7 sont premiers entre eux, le couple \((1,1)\) est d’ordre 35, qui est l’ordre du groupe. Le groupe est donc cyclique. En revanche, dans \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\), tout élément a un ordre divisant 12, alors que le groupe a 24 éléments. Enfin, \(\mathfrak{S}_3\) n’est même pas commutatif.

Réponse B.

La classe de \(k\) engendre \(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}\) si et seulement si \(k\) est premier avec 20. Il y en a donc \(\varphi(20)=8\) : 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17 et 19. Le piège 19 compte tous les éléments non nuls, comme si 20 était premier. La réponse 10 ne retient que les impairs ; cependant, 5 et 15 n’engendrent pas le groupe.

Réponse B.

Les classes à gauche forment une partition de \(\mathfrak{S}_3\), et chacune compte autant d’éléments que \(H\), soit 2. Il y en a donc \(\frac{6}{2}=3\). C’est précisément l’argument de la preuve du théorème de Lagrange. Le piège 2 donne le cardinal de \(H\) au lieu de l’indice. La réponse 6 oublie que deux permutations distinctes peuvent définir la même classe.

Réponse A.

L’ordre d’un élément est le cardinal du sous-groupe qu’il engendre. Par conséquent, il divise l’ordre du groupe. Or 8 ne divise pas 36, donc aucun élément ne peut être d’ordre 8. En revanche, 9, 12 et 18 divisent 36 : ces ordres sont possibles, par exemple dans le groupe cyclique \(\mathbb{Z}/36\mathbb{Z}\). Attention : Lagrange donne seulement une condition nécessaire.

Réponse C.

On suit les images à partir de 1 : 1 donne 4, qui donne 3, qui revient à 1. Ensuite, 2 et 6 s’échangent. Enfin, 5 donne 8, qui donne 7, qui revient à 5. Le piège \((1\;3\;4)(2\;6)(5\;7\;8)\) lit les flèches à l’envers et décrit donc \(\sigma^{-1}\). Le cycle \((2\;6\;5\;8\;7)\) fusionne à tort deux orbites disjointes.

Réponse A.

Les cycles sont disjoints, donc ils commutent : l’ordre est le PPCM des longueurs 3, 2 et 3, soit 6. Un cycle de longueur \(\ell\) a pour signature \((-1)^{\ell-1}\). Ainsi, la signature vaut \(1\times(-1)\times 1=-1\). Le piège 18 multiplie les longueurs au lieu de prendre le PPCM. La réponse 8 les additionne, ce qui donne le nombre de points déplacés.