QCM : Convergence simple et uniforme en L2 de maths
Ce QCM uniforme L2 distingue les modes de convergence d’une suite ou d’une série de fonctions. Il commence par des limites simples et par le calcul d’une norme infinie, puis il exploite la continuité de la limite pour réfuter une convergence uniforme. Il aborde ensuite le critère de Cauchy uniforme, l’échange entre limite et intégrale, la convergence normale et la dérivation terme à terme. Les dernières questions portent sur la double limite, le théorème d’approximation de Weierstrass et la continuité uniforme.
Réponds sans le cours. Pour chaque suite, cherche d’abord la limite simple, puis le maximum de l’écart, souvent atteint en un point qui dépend de \(n\). Lis ensuite les explications : elles détaillent ce maximum et désignent l’erreur visée par chaque piège, en général une borne valable point par point mais pas uniformément.
Les 12 questions
Question 1
Sur \([0,2]\), on pose \(f_n(x)=\dfrac{x^n}{1+x^n}\). Quelle est la limite simple de \((f_n)\) ?
- 0 sur \([0,1[\), \(\frac{1}{2}\) en 1, et 1 sur \(]1,2]\)
- 0 sur \([0,1]\), et 1 sur \(]1,2]\)
- 0 sur \([0,1[\), et 1 sur \([1,2]\)
- \(\frac{1}{2}\) en tout point de \([0,2]\)
Réponse A.
Si \(x<1\), le terme \(x^n\) tend vers 0, donc \(f_n(x)\) aussi. Si \(x>1\), on divise par \(x^n\) : \(f_n(x)=\frac{1}{x^{-n}+1}\) tend vers 1. Enfin, en \(x=1\), on a \(f_n(1)=\frac{1}{2}\) pour tout \(n\). Les deux premiers pièges oublient ce point isolé. Le dernier généralise à tort la valeur en 1.
Question 2
Sur \([0,+\infty[\), on pose \(f_n(x)=xe^{-nx}\). Que vaut la norme infinie \(\|f_n\|_\infty\) ?
- \(\frac{1}{n}\)
- \(\frac{1}{ne}\)
- \(\frac{1}{e}\)
- \(e^{-n}\)
Réponse B.
La dérivée vaut \((1-nx)e^{-nx}\) ; elle s’annule en \(x=\frac{1}{n}\), où la fonction positive atteint son maximum \(\frac{1}{n}e^{-1}\). Par conséquent, \(\|f_n\|_\infty\) tend vers 0 et la convergence vers 0 est uniforme. Le piège \(\frac{1}{n}\) oublie le facteur \(e^{-1}\). La réponse \(e^{-n}\) évalue la fonction en 1, qui n’est pas le point du maximum.
Question 3
Sur \([0,1]\), on pose \(g_n(x)=\dfrac{nx}{1+n^2x^2}\). La suite \((g_n)\) converge-t-elle uniformément vers 0 ?
- Oui, car la limite simple est nulle et continue.
- Oui, car \(g_n(x)\leq\frac{1}{nx}\) pour tout \(x>0\).
- Non, car la limite simple n’est pas continue.
- Non, car \(g_n\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2}\) pour tout \(n\).
Réponse D.
La limite simple est bien 0, y compris en 0. Cependant, la norme infinie de \(g_n\) vaut au moins \(\frac{1}{2}\), valeur prise en \(\frac{1}{n}\) : elle ne tend donc pas vers 0. Le piège de la majoration par \(\frac{1}{nx}\) fournit une borne qui dépend de \(x\) et explose près de 0. Ainsi, une limite continue ne garantit nullement l’uniformité.
Question 4
On reprend \(f_n(x)=\frac{x^n}{1+x^n}\) sur \([0,2]\). Que peut-on conclure sur la nature de la convergence ?
- Elle est uniforme, car chaque \(f_n\) est bornée par 1.
- Elle est uniforme, car chaque \(f_n\) est croissante.
- Elle n’est pas uniforme, car la limite simple est discontinue.
- On ne peut rien dire sans calculer \(\|f_n-f\|_\infty\).
Réponse C.
Chaque \(f_n\) est continue. Or une limite uniforme de fonctions continues est continue. La limite simple saute en 1 : par contraposée, la convergence n’est donc pas uniforme sur \([0,2]\). Le calcul de la norme est inutile ici. Le piège de la borne commune confond une suite uniformément bornée avec une suite uniformément convergente. La monotonie de chaque \(f_n\) n’y change rien.
Question 5
Quelle propriété exprime le critère de Cauchy uniforme pour une suite \((f_n)\) de fonctions bornées ?
- \(\forall x,\ \forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall p,q\geq N,\ |f_p(x)-f_q(x)|\leq\varepsilon\)
- \(\forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall p,q\geq N,\ \|f_p-f_q\|_\infty\leq\varepsilon\)
- \(\|f_{n+1}-f_n\|_\infty\) tend vers 0 quand \(n\to+\infty\)
- \(\exists N,\ \forall\varepsilon>0,\ \forall p,q\geq N,\ \|f_p-f_q\|_\infty\leq\varepsilon\)
Réponse B.
Dans le critère uniforme, le rang \(N\) dépend seulement de \(\varepsilon\), et l’écart est mesuré en norme infinie. La première fausse proposition laisse \(N\) dépendre de \(x\) : c’est le critère de Cauchy simple. La condition sur deux termes consécutifs est trop faible, comme le montre \(f_n=\ln n\), constante en \(x\). Enfin, la dernière impose que la suite soit stationnaire.
Question 6
On pose \(h_n(x)=n^2xe^{-nx}\) sur \([0,1]\). La limite simple est nulle. Que vaut \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_0^1 h_n(x)\,\mathrm{d}x\) ?
- \(0\), car la limite simple est nulle.
- \(1\)
- \(+\infty\), car \(\|h_n\|_\infty\) tend vers l’infini.
- \(\frac{1}{e}\), valeur de \(\|h_n\|_\infty\) divisée par \(n\).
Réponse B.
Le changement de variable \(u=nx\) transforme l’intégrale en \(\int_0^n ue^{-u}\,\mathrm{d}u\), qui tend vers 1. Ainsi, la limite des intégrales n’est pas l’intégrale de la limite. En effet, la convergence n’est pas uniforme : le maximum \(\frac{n}{e}\) explose. Le piège 0 échange limite et intégrale sans justification. Quant à \(+\infty\), il oublie que la bosse devient de plus en plus étroite.
Question 7
Laquelle de ces séries de fonctions converge normalement sur l’ensemble indiqué ?
- \(\sum_{n\geq 1}\frac{\cos(nx)}{n^{3/2}}\) sur \(\mathbb{R}\)
- \(\sum_{n\geq 1}\frac{\cos(nx)}{n}\) sur \([1,2]\)
- \(\sum_{n\geq 1}\frac{x^n}{n}\) sur \([0,1]\)
- \(\sum_{n\geq 1}e^{-nx}\) sur \(]0,+\infty[\)
Réponse A.
La convergence normale demande que la série des normes infinies converge. Pour la bonne réponse, cette norme vaut \(n^{-3/2}\), terme d’une série de Riemann convergente. En revanche, pour \(\frac{\cos(nx)}{n}\) et \(\frac{x^n}{n}\), la norme vaut \(\frac{1}{n}\), dont la série diverge. Enfin, \(e^{-nx}\) a pour borne supérieure 1 sur \(]0,+\infty[\), en faisant tendre \(x\) vers 0.
Question 8
Comment converge la série \(\displaystyle\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n+x^2}\) sur \(\mathbb{R}\) ?
- Uniformément, mais pas normalement.
- Normalement, donc uniformément.
- Simplement, mais pas uniformément.
- Normalement, mais pas uniformément.
Réponse A.
Pour chaque \(x\), la série est alternée, de terme décroissant vers 0. Son reste est donc majoré par \(\frac{1}{n+1+x^2}\leq\frac{1}{n+1}\), borne indépendante de \(x\) : la convergence est uniforme. Cependant, la norme infinie du terme vaut \(\frac{1}{n}\), atteinte en 0, et sa série diverge. La réponse « normalement, mais pas uniformément » est impossible, puisque la convergence normale entraîne la convergence uniforme.
Question 9
Les \(f_n\) sont de classe \(C^1\) sur \([a,b]\). Quelles hypothèses permettent de dériver terme à terme la série \(\sum f_n\) ?
- \(\sum f_n\) converge uniformément, sans condition sur les dérivées.
- \(\sum f_n\) converge normalement, sans condition sur les dérivées.
- \(\sum f_n\) converge simplement et \(\sum f_n^{\prime}\) converge uniformément.
- \(\sum f_n\) et \(\sum f_n^{\prime}\) convergent simplement.
Réponse C.
Le théorème porte sur la série des dérivées : sa convergence uniforme, jointe à la convergence simple de \(\sum f_n\), donne une somme \(C^1\) dérivable terme à terme. Les deux premiers pièges ne contrôlent que les \(f_n\). Or la série de \(\frac{\sin(n^2x)}{n^2}\) converge normalement, tandis que celle des dérivées \(\cos(n^2x)\) diverge grossièrement.
Question 10
Sur \(]0,1]\), on pose \(f_n(x)=\dfrac{nx}{1+nx}\). Que valent \(\lim_{n}\lim_{x\to 0}f_n(x)\) et \(\lim_{x\to 0}\lim_{n}f_n(x)\) ?
- 0 pour les deux
- 1 pour les deux
- 1 pour la première, 0 pour la seconde
- 0 pour la première, 1 pour la seconde
Réponse D.
À \(n\) fixé, \(f_n(x)\) tend vers 0 quand \(x\) tend vers 0 : la première double limite est nulle. En revanche, à \(x\) fixé, \(f_n(x)\) tend vers 1, donc la seconde vaut 1. Par conséquent, le théorème de la double limite montre que la convergence n’est pas uniforme près de 0. La réponse « 1 pour la première, 0 pour la seconde » inverse simplement l’ordre des passages à la limite.
Question 11
Quel énoncé est une forme correcte du théorème de Weierstrass ?
- Toute fonction continue sur \(\mathbb{R}\) est limite uniforme sur \(\mathbb{R}\) de polynômes.
- Toute fonction continue sur \(]0,1]\) est limite uniforme de polynômes.
- Toute fonction continue sur \([0,1]\) est limite uniforme de polynômes.
- Toute fonction continue sur \([0,1]\) est limite uniforme de sa série de Taylor.
Réponse C.
Le théorème exige un segment. Sur \(\mathbb{R}\), une limite uniforme de polynômes est elle-même un polynôme : ainsi, \(e^{x}\) n’en est pas une. Sur \(]0,1]\), la fonction \(\frac{1}{x}\) n’est pas bornée, alors qu’une limite uniforme de polynômes l’est. Enfin, le piège de Taylor échoue : une fonction continue n’est même pas forcément dérivable.
Question 12
Laquelle de ces fonctions est uniformément continue sur l’ensemble indiqué ?
- \(x\mapsto x^2\) sur \(\mathbb{R}\)
- \(x\mapsto\sin(x^2)\) sur \(\mathbb{R}\)
- \(x\mapsto\frac{1}{x}\) sur \(]0,1]\)
- \(x\mapsto\sqrt{x}\) sur \([0,+\infty[\)
Réponse D.
On a \(|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leq\sqrt{|x-y|}\), donc un même \(\delta=\varepsilon^2\) convient partout. En revanche, \(x^2\) et \(\sin(x^2)\) varient de plus en plus vite à l’infini. De même, \(\frac{1}{x}\) explose près de 0, qui n’appartient pas à l’intervalle. Le théorème de Heine ne s’applique donc pas : il exige un segment, ce qui n’est le cas d’aucun de ces ensembles.
Pour aller plus loin
- Revoir la leçon : cours de L2 de maths sur convergence simple et uniforme
- S’exercer : exercices corrigés sur convergence simple et uniforme
- QCM précédent : QCM : Couples et loi des grands nombres en L2 de maths
- QCM suivant : QCM : DSE et rayon de convergence en L2 de maths
- Tous les chapitres : le sommaire de la L2 de maths
