QCM : Diagonaliser et trigonaliser en maths spé (MP)

Réponse D.

Pour une matrice de taille \(2\), on a \(\chi_A=X^2-\operatorname{tr}(A)X+\det(A)\). Ici \(\operatorname{tr}(A)=6\) et \(\det(A)=8-(-3)=11\), donc \(\chi_A=X^2-6X+11\). Le piège \(+6X\) oublie le signe moins devant la trace. Ensuite, \(5\) vient de \(8-3\), erreur de signe dans le déterminant. Enfin, \(X^2-11X+6\) échange trace et déterminant.

Réponse C.

Le coefficient constant vaut \(\chi_A(0)=\det(-A)=(-1)^3\det(A)\). Ainsi, en taille impaire, c’est l’opposé du déterminant. Le piège \(\det(A)\) applique la formule de la taille \(2\) sans tenir compte du signe \((-1)^n\). Par ailleurs, la trace apparaît bien dans \(\chi_A\), cependant elle donne le coefficient de \(X^2\), au signe près, et non le terme constant.

Réponse B.

Pour toute valeur propre, on a \(1\leq\dim E_{\lambda}\leq m(\lambda)\). La borne inférieure vient du fait qu’une valeur propre possède au moins un vecteur propre non nul. Le piège « exactement \(3\) » confond multiplicité et dimension : l’égalité n’a lieu que dans le cas diagonalisable. Ensuite, la dimension \(0\) est exclue par définition. Enfin, dépasser la multiplicité est impossible.

Réponse A.

Avec \(n\) valeurs propres distinctes, on obtient \(n\) vecteurs propres associés à des valeurs différentes, donc libres : ils forment une base. Cependant, la réciproque est fausse, car \(I_n\) est diagonale avec une seule valeur propre. De plus, un polynôme scindé ne suffit pas : il faut aussi les bonnes dimensions. Enfin, une matrice triangulaire à diagonale de \(1\) et non diagonale est inversible sans être diagonalisable.

Réponse B.

On a \(\chi_A=(X-3)^2(X-5)\). Ensuite, \(A-3I_3\) est de rang \(2\), donc l’espace propre associé à \(3\) est une droite, alors que la multiplicité vaut \(2\). Ainsi, \(A\) n’est pas diagonalisable. Le caractère triangulaire et le polynôme scindé ne garantissent que la trigonalisabilité. Enfin, une valeur propre double n’interdit rien : \(\operatorname{diag}(3,3,5)\) est diagonale.

Réponse A.

Comme \(\chi_A\) est scindé sur \(\mathbb{C}\), la trace est la somme des valeurs propres et le déterminant leur produit, comptées avec multiplicité. Ainsi \(\operatorname{tr}(A)=1+2i-2i=1\), et \(\det(A)=2i\times(-2i)=-4i^2=4\). Le piège \(-4\) oublie que \(i^2=-1\). Ensuite, \(1+4i\) additionne mal les parties imaginaires. Enfin, \(5\) ajoute la valeur propre \(1\) au lieu de la multiplier.

Réponse B.

On trouve \(\chi_A=X^2-4X+5\), de discriminant \(-4\), donc de racines \(2\pm i\). Ce polynôme n’est pas scindé sur \(\mathbb{R}\), ainsi \(A\) n’est pas trigonalisable avec une matrice de passage réelle. En revanche, sur \(\mathbb{C}\) tout polynôme est scindé, donc toute matrice complexe est trigonalisable. Ici, elle est même diagonalisable dans \(\mathbb{C}\), puisque ses deux valeurs propres sont distinctes.

Réponse C.

La première colonne de \(P\) doit être un vecteur propre pour \(2\), et la seconde pour \(-3\). Or \(A\binom{2}{1}=\binom{4}{2}\) et \(A\binom{1}{-2}=\binom{-3}{6}\), donc le choix convient. La matrice de première colonne \((1,-2)\) range les colonnes dans l’ordre inverse de \(D\). Celle de seconde colonne \((-1,2)\) se trompe de signe. Enfin, recopier \(A-2I_2\) ne peut pas convenir, car elle n’est pas inversible.

Réponse D.

Dans le produit \((PDP^{-1})(PDP^{-1})\cdots(PDP^{-1})\), chaque \(P^{-1}P\) intérieur se simplifie. Il reste donc \(PD^kP^{-1}\), où \(D^k\) se calcule coefficient par coefficient sur la diagonale. Le piège \(P^kD^kP^{-k}\) traite le produit matriciel comme s’il était commutatif. Ensuite, \(P^{-1}D^kP\) inverse les rôles de \(P\) et \(P^{-1}\). Enfin, \(D^k\) oublie le changement de base.

Réponse D.

La valeur propre \(1\) est double. Il faut donc \(\dim E_1=2\), c’est-à-dire un rang égal à \(1\) pour \(A-I_3\). Les lignes de \(A-I_3\) sont \((0,a,1)\), \((0,0,b)\) et \((0,0,1)\). Si \(a\neq 0\), les première et troisième lignes sont libres, d’où un rang \(2\). Si \(a=0\), toutes sont proportionnelles à \((0,0,1)\), d’où un rang \(1\). Ainsi \(b\) ne joue aucun rôle : c’est le piège.

Réponse C.

Si \(\lambda\) est valeur propre, alors \(\lambda^3\) est valeur propre de \(N^3=0\), donc \(\lambda=0\). Or une matrice diagonalisable dont le spectre est \(\{0\}\) s’écrit \(P\,0\,P^{-1}\), donc vaut \(0\) ; cela contredit l’hypothèse \(N\neq 0\). Le piège principal s’arrête au fait que \(0\) est la seule valeur propre. Enfin, \(N\) n’est jamais inversible, puisque \(\det(N)^3=0\).

Réponse A.

Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique et même rang pour \(A-2I_3\). Or la bonne réponse donne \(\chi=(X-2)^3\) et \(\operatorname{rg}(T-2I_3)=2\), soit un noyau de dimension \(1\). En revanche, \(2I_3\) a un noyau de dimension \(3\), et la matrice avec un seul \(1\) hors de la diagonale un noyau de dimension \(2\). Enfin, celle de diagonale \(2,3,1\) a la bonne trace, cependant ses valeurs propres sont \(2\), \(3\) et \(1\).