Variation de la constante et Cauchy : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « variation de la constante et Cauchy », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur les équations différentielles linéaires du second semestre de licence. Le premier exercice se résout par la variation de la constante, puis il relie les solutions à une famille de courbes. Ensuite, deux exercices traitent le second ordre à coefficients constants : second membre polynomial ou exponentiel d’abord, trigonométrique ensuite, avec un cas de résonance. Enfin, le problème modélise un ressort amorti : vous écrirez l’équation du mouvement, puis vous résoudrez un problème de Cauchy avant d’étudier le régime forcé. Faites ce sujet après le chapitre sur les primitives, car le calcul de primitives y sert souvent.
Ce qu’évalue le contrôle : variation de la constante et Cauchy
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Équations différentielles : variation de la constante (4 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Résoudre une équation linéaire du premier ordre par la méthode de variation de la constante
- Résoudre une équation du second ordre à coefficients constants avec un second membre polynomial, exponentiel ou trigonométrique
- Traiter un cas de résonance en passant par un second membre complexe
- Résoudre un problème de Cauchy et interpréter la solution dans un modèle de ressort amorti
Avant de commencer le devoir
Pour le premier ordre, normalisez l’équation et cherchez d’abord une primitive du coefficient, puis faites varier la constante. Au second ordre, écrivez l’équation caractéristique avant tout calcul, car ses racines décident de la forme de la solution particulière. Quand le second membre est une solution de l’équation homogène, multipliez l’essai par \(x\). Enfin, appliquez les conditions initiales seulement à la solution générale complète, jamais à la seule solution homogène.
Le sujet du contrôle : variation de la constante et Cauchy
Exercice 1 – Une équation du premier ordre avec th (4 points)
On considère l’équation différentielle suivante, d’inconnue \(y\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) :
\[(E_1) \quad y^{\prime} + \mathrm{th}(x)\, y = \frac{1}{\mathrm{ch}\,x}.\]
La figure montre par exemple cinq courbes \(\mathcal{C}_1, \ldots, \mathcal{C}_5\) de solutions de \((E_1)\).
- Déterminer une primitive de \(\mathrm{th}\) sur \(\mathbb{R}\), puis résoudre l’équation homogène associée à \((E_1)\).
- Par la méthode de variation de la constante, résoudre \((E_1)\) sur \(\mathbb{R}\).
- Déterminer la solution telle que \(y(0) = 2\), puis dire quelle courbe de la figure la représente.
- Montrer que toutes les solutions de \((E_1)\) tendent vers 0 en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Exercice 2 – Seconds membres polynomial et exponentiel (4 points)
On étudie ainsi l’équation \((E_2) \quad y^{\prime\prime} – 3y^{\prime} + 2y = 2x – 1 + 4\mathrm{e}^{x}\), d’inconnue \(y\) deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\).
- Résoudre l’équation homogène associée.
- Trouver une solution particulière de \(y^{\prime\prime} – 3y^{\prime} + 2y = 2x – 1\) sous la forme d’une fonction affine.
- Expliquer pourquoi aucune fonction \(x \mapsto a\mathrm{e}^{x}\) ne peut être solution de \(y^{\prime\prime} – 3y^{\prime} + 2y = 4\mathrm{e}^{x}\). Chercher alors une solution de la forme \(x \mapsto ax\mathrm{e}^{x}\).
- En déduire la solution de \((E_2)\) qui vérifie \(y(0) = 0\) et \(y^{\prime}(0) = 0\).
Exercice 3 – Seconds membres trigonométriques et résonance (4 points)
Les deux questions sont cependant indépendantes.
- Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation \(y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + 5y = 10\cos x\), en cherchant une solution particulière de la forme \(x \mapsto a\cos x + b\sin x\).
- Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation \(y^{\prime\prime} + 4y = 8\sin(2x)\). On pourra d’abord chercher une solution de \(z^{\prime\prime} + 4z = 8\mathrm{e}^{2ix}\) de la forme \(x \mapsto cx\mathrm{e}^{2ix}\), avec \(c\) complexe. Décrire ensuite le comportement de la solution particulière obtenue quand \(x\) devient grand.
Exercice 4 – Problème : un ressort amorti puis entraîné (8 points)
Un solide de masse \(m = 1\) kg glisse sur un rail horizontal. Il est aussi relié à un mur par un ressort de raideur \(k = 10\) N/m, et un dispositif exerce une force de frottement fluide \(-h\,x^{\prime}(t)\), avec \(h = 2\) kg/s. On note \(x(t)\) la position du solide, en centimètres, par rapport à sa position d’équilibre \(O\), à l’instant \(t\) en secondes.
La relation fondamentale de la dynamique donne alors \(m\,x^{\prime\prime}(t) = -k\,x(t) – h\,x^{\prime}(t)\). La figure n’est pas à l’échelle.
- Montrer que \(x\) est solution de l’équation \((H) \quad x^{\prime\prime} + 2x^{\prime} + 10x = 0\).
- Résoudre \((H)\) sur \([0\,;+\infty[\).
- À l’instant \(t = 0\), on écarte le solide de 4 cm et on le lâche sans vitesse. Résoudre le problème de Cauchy correspondant.
- Montrer que \(|x(t)| \leq \frac{16}{3}\mathrm{e}^{-t}\) pour tout \(t \geq 0\). En déduire la limite de \(x(t)\), puis donner la pseudo-période du mouvement.
- Un moteur ajoute maintenant une force périodique, et l’équation devient \((F) \quad x^{\prime\prime} + 2x^{\prime} + 10x = 26\cos(2t)\). Trouver une solution particulière de \((F)\) de la forme \(t \mapsto a\cos(2t) + b\sin(2t)\), puis la solution générale de \((F)\).
- Prouver que, quelles que soient les conditions initiales, l’écart entre \(x(t)\) et cette solution particulière tend vers 0. Préciser enfin l’amplitude du mouvement observé au bout d’un long moment.
Réviser variation de la constante et Cauchy avant le contrôle
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