QCM : IPP et changement de variable en maths sup (MPSI)

Réponse B.

Sur chacun des deux intervalles, \(G\) est dérivable de dérivée \(\frac1x\). C’est donc bien une primitive sur \(\mathbb{R}^*\). En effet, deux primitives ne diffèrent d’une constante que sur un intervalle. Or \(\mathbb{R}^*\) en réunit deux, et la constante peut changer de l’un à l’autre. Par ailleurs, \(0\) n’appartient pas au domaine : la continuité en ce point n’a aucun sens.

Réponse B.

Si \(\Phi\) est la primitive de \(t\mapsto e^{-t^2}\) nulle en \(0\), alors \(H(x)=\Phi(x^2)\). La dérivée d’une composée donne donc \(2x\,\Phi^{\prime}(x^2)=2x\,e^{-x^4}\). Le piège \(e^{-x^4}\) oublie la dérivée de la borne. Celui en \(e^{-x^2}\) remplace \(t\) par \(x\) au lieu de \(x^2\). Enfin, la borne inférieure constante ne produit aucun terme.

Réponse A.

On factorise \(\sqrt{4-x^2}=2\sqrt{1-(x/2)^2}\). Or la dérivée de \(\arcsin\frac{x}{2}\) vaut \(\frac12\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2/4}}\), et les deux facteurs \(\frac12\) se compensent. Ainsi, aucun coefficient ne reste devant. Le piège \(\frac12\arcsin\frac{x}{2}\) imite à tort la primitive en arctangente. Quant à \(\arcsin(2x)\), elle n’est même pas définie sur tout l’intervalle.

Réponse C.

On écrit \(9+x^2=9\left(1+(x/3)^2\right)\). La dérivée de \(\arctan\frac{x}{3}\) vaut \(\frac13\cdot\frac{1}{1+x^2/9}=\frac{3}{9+x^2}\). Par conséquent, il faut diviser par \(3\). Le piège \(\frac19\) tient compte du facteur \(9\) mais oublie la dérivée de \(\frac{x}{3}\). De son côté, \(3\arctan\frac{x}{3}\) multiplie au lieu de diviser.

Réponse C.

La preuve intègre la dérivée \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\), ce qui exige que cette dérivée soit continue sur le segment. Ainsi, la classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([a,b]\) est l’hypothèse naturelle. La simple continuité ne donne même pas de sens à \(u^{\prime}\). Par ailleurs, une hypothèse sur l’intervalle ouvert seulement laisse les bornes sans contrôle : il faudrait alors une intégrale impropre.

Réponse A.

On dérive \(\ln x\) et on intègre \(x\) en \(\frac{x^2}{2}\). Le crochet vaut \(\frac{e^2}{2}\), puis on retranche \(\int_1^e\frac{x}{2}\,dx=\frac{e^2-1}{4}\). Il reste donc \(\frac{e^2+1}{4}\). Le piège \(\frac{e^2-1}{4}\) garde seulement l’intégrale retranchée. Celui en \(\frac{e^2}{2}\) oublie de la soustraire. Enfin, \(\frac12\) vient d’une primitive de \(\frac{x}{2}\) prise égale à \(\frac{x^2}{2}\).

Réponse A.

On intègre par parties en écrivant \(\arctan x=1\times\arctan x\) : on intègre \(1\) en \(x\) et on dérive l’arctangente. Il reste à retrancher une primitive de \(\frac{x}{1+x^2}\), qui vaut \(\frac12\ln(1+x^2)\). Le piège avec un plus oublie le signe moins de la formule. Celui sans le facteur \(\frac12\) oublie que la dérivée de \(1+x^2\) vaut \(2x\). Enfin, \(\frac{x^2}{2}\arctan x\) traite l’arctangente comme une constante.

Réponse D.

On écrit \(x^2+2x+5=(x+1)^2+4\). Le trinôme n’a donc pas de racine réelle, et l’on se ramène à \(\frac{1}{a^2+u^2}\) avec \(u=x+1\) et \(a=2\). La primitive est alors \(\frac1a\arctan\frac{u}{a}\). Le piège en \(x-1\) se trompe de signe dans la forme canonique. Le facteur \(\frac14\) divise par \(a^2\) au lieu de \(a\). Enfin, l’absence de facteur oublie la dérivée de \(\frac{x+1}{2}\).

Réponse D.

Le trinôme a deux racines réelles, d’où la décomposition \(\frac{1}{x^2-1}=\frac12\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\). On intègre chaque terme en logarithme, ce qui donne le quotient \(\frac{x-1}{x+1}\). Le piège avec le quotient inversé change le signe du résultat. Celui sans \(\frac12\) oublie le coefficient de la décomposition. Enfin, \(\ln(x^2-1)\) a pour dérivée \(\frac{2x}{x^2-1}\), qui n’est pas la fonction voulue.

Réponse C.

On a \(dt=2x\,dx\), donc \(x\,dx=\frac12dt\), et les bornes \(0\) et \(1\) restent inchangées. L’intégrale devient \(\frac12\int_0^1\frac{dt}{1+t^2}=\frac12\cdot\frac{\pi}{4}\). Le piège \(\frac{\pi}{4}\) oublie le facteur \(\frac12\). De même, \(\frac{\pi}{16}\) divise deux fois par \(2\). Enfin, \(\frac14\ln2\) correspond à l’intégrande \(\frac{x^3}{1+x^4}\), dont le numérateur est la dérivée du dénominateur au facteur \(4\) près.

Réponse D.

La fonction est la partie imaginaire de \(e^{(2+i)x}\), dont une primitive est \(\frac{e^{(2+i)x}}{2+i}=\frac{(2-i)\,e^{2x}(\cos x+i\sin x)}{5}\). La partie imaginaire du numérateur vaut \(2\sin x-\cos x\). Le piège avec \(+\cos x\) oublie le signe du conjugué. Celui en \(2\cos x+\sin x\) prend la partie réelle. Enfin, le dénominateur \(3\) calcule mal le module au carré de \(2+i\).

Réponse B.

Le théorème exige une fonction \(\varphi\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur le segment des nouvelles bornes, ici \([-1,1]\). Or \(\frac1t\) explose en \(0\), donc le calcul n’est pas justifié. Les bornes et le facteur \(-\frac{1}{t^2}\) sont pourtant correctement traités : c’est précisément ce facteur qui produit le signe moins. Par ailleurs, l’intégrande initial est continu, et l’intégrale vaut bien \(\frac{\pi}{2}\).