Logique et types de démonstration en L1 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Une tautologie de transitivité

Soient \(P\), \(Q\) et \(R\) trois assertions.

1. Dresser la table de vérité de l’assertion \(T : \left[(P \Rightarrow Q) \wedge (Q \Rightarrow R)\right] \Rightarrow (P \Rightarrow R)\). En déduire que \(T\) est une tautologie.
2. Montrer, sans table, que \(P \Rightarrow Q\) est équivalente à \(\neg Q \Rightarrow \neg P\).
3. Expliquer comment la question 1 justifie l’enchaînement de plusieurs implications dans une démonstration.

Exercice 2 – Le ou exclusif et ses écritures

Pour deux assertions \(P\) et \(Q\), on note \(P \oplus Q\) l’assertion « exactement une des deux assertions \(P\), \(Q\) est vraie ».

1. Dresser la table de vérité de \(P \oplus Q\).
2. Montrer que \(P \oplus Q \equiv (P \vee Q) \wedge \neg(P \wedge Q)\), puis que \(P \oplus Q \equiv (P \wedge \neg Q) \vee (\neg P \wedge Q)\).
3. Montrer que \(\neg(P \oplus Q) \equiv (P \Leftrightarrow Q)\).
4. Soit \(R\) une troisième assertion. Montrer que \((P \oplus Q) \oplus R\) est vraie si et seulement si un nombre impair des assertions \(P\), \(Q\), \(R\) est vrai. En déduire que \((P \oplus Q) \oplus R \equiv P \oplus (Q \oplus R)\).

Exercice 3 – Vrai ou faux avec des quantificateurs

Dire si chaque assertion est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Lorsqu’elle est fausse, écrire sa négation et la démontrer.

1. \(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ y^2 = x + 1\).
2. \(\exists x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ xy = y\).
3. \(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists n \in \mathbb{N},\ n > x\).
4. \(\exists n \in \mathbb{N},\ \forall x \in \mathbb{R},\ n > x\).
5. \(\forall x \in \left]0, +\infty\right[,\ \exists y \in \left]0, +\infty\right[,\ y < x\).
6. \(\exists y \in \left]0, +\infty\right[,\ \forall x \in \left]0, +\infty\right[,\ y < x\).

Exercice 4 – Négations de phrases quantifiées

Soient \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) une fonction et \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite réelle. Écrire avec des quantificateurs, puis nier, les assertions suivantes.

1. « La fonction \(f\) est majorée par \(7\) sur l’intervalle \([0, 3]\). »
2. « La suite \((u_n)\) est majorée. »
3. « La fonction \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\). »
4. « Pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe un entier \(N\) tel que, pour tout entier \(n \geqslant N\), on ait \(|u_n – 2| \leqslant \varepsilon\). »
5. « La fonction \(f\) s’annule au moins une fois sur \(\left]-\infty, 0\right]\) et ne prend que des valeurs positives sur \(\left]0, +\infty\right[\). »

Exercice 5 – Réciproque et contraposée

Pour chacune des implications suivantes, écrire la réciproque et la contraposée, puis dire lesquelles de ces trois assertions sont vraies. Ici \(x\) désigne un réel et \(n\) un entier relatif.

1. « Si \(x > 3\), alors \(x^2 > 4\). »
2. « Si \(n\) est un multiple de \(6\), alors \(n\) est pair. »
3. « Si \(n^2\) est un multiple de \(3\), alors \(n\) est un multiple de \(3\). » On pourra écrire \(n = 3k + 1\) ou \(n = 3k + 2\) lorsque \(n\) n’est pas multiple de \(3\).

Exercice 6 – Quatre contre-exemples

Montrer que chacune des affirmations suivantes est fausse, en donnant un contre-exemple vérifié par le calcul. On admet que \(\sqrt{2}\) est irrationnel.

1. « La somme de deux nombres irrationnels est irrationnelle. »
2. « Si un produit \(ab\) d’entiers est un multiple de \(4\), alors \(a\) ou \(b\) est un multiple de \(4\). »
3. « Pour tout entier \(n \geqslant 1\), l’entier \(n^2 – n + 11\) est premier. » La figure donne les premières valeurs.
4. « Pour tous réels \(x\) et \(y\), si \(x^2 < y^2\), alors \(x < y\). »

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Une majoration par raisonnement direct

1. Montrer que pour tous réels \(a\) et \(b\), on a \(|ab| \leqslant \frac{a^2 + b^2}{2}\).
2. En déduire que pour tout réel \(x \in [-1, 1]\), on a \(\left|x\sqrt{1 – x^2}\right| \leqslant \frac{1}{2}\).
3. Déterminer les réels \(x \in [-1, 1]\) pour lesquels il y a égalité.

Exercice 8 – Parité par contraposition

Soit \(n\) un entier relatif.

1. Écrire la contraposée de l’implication « si \(n^2 – 6n + 5\) est pair, alors \(n\) est impair ».
2. Démontrer cette implication par contraposition.
3. La réciproque est-elle vraie ? Le justifier.

Exercice 9 – Un réel plus petit que tout epsilon

Soit \(a\) un réel. Montrer l’équivalence suivante, en traitant séparément les deux sens :

\[
\left(\forall \varepsilon \in \left]0, +\infty\right[,\ a \leqslant \varepsilon\right) \Longleftrightarrow a \leqslant 0
\]

Pour le sens direct, on raisonnera par contraposition.

Exercice 10 – Deux preuves par l’absurde

1. Montrer par l’absurde que le réel \(\log_2(6) = \frac{\ln 6}{\ln 2}\) est irrationnel. On rappelle que \(2^{\log_2(6)} = 6\) et que \(\log_2(6) > 0\).
2. Montrer par l’absurde qu’il n’existe aucun entier relatif \(n\) tel que \(n^2 + 2\) soit divisible par \(4\).

Exercice 11 – Neuf réels de somme 50

Soient \(a_1, a_2, \ldots, a_9\) neuf réels dont la somme vaut \(50\).

1. Montrer par l’absurde que l’un au moins de ces réels est supérieur ou égal à \(\frac{50}{9}\).
2. En déduire que si les \(a_i\) sont des entiers, l’un au moins vaut \(6\) ou plus.
3. L’affirmation « l’un au moins est strictement supérieur à \(\frac{50}{9}\) » est-elle vraie pour tous les choix de \(a_1, \ldots, a_9\) ?

Exercice 12 – Une équation fonctionnelle par analyse-synthèse

Déterminer toutes les fonctions \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) telles que :

\[
\forall x \in \mathbb{R},\quad f(x) + 2f(-x) = x^2 + 3x
\]

On séparera nettement l’analyse et la synthèse.

Exercice 13 – Quotients entiers

1. Vérifier que pour tout entier relatif \(n \neq 3\), on a \(\frac{n + 12}{n – 3} = 1 + \frac{15}{n – 3}\).
2. Déterminer, par analyse-synthèse, tous les entiers relatifs \(n \neq 3\) tels que \(\frac{n + 12}{n – 3}\) soit un entier relatif.

Exercice 14 – Choisir la bonne méthode

Pour chaque énoncé, dire s’il est vrai ou faux, choisir un type de raisonnement adapté et le justifier, puis rédiger la preuve ou la réfutation.

1. Pour tout réel \(x > 0\), on a \(x + \frac{4}{x} \geqslant 4\).
2. Pour tout entier relatif \(n\), si \(7n + 4\) est impair, alors \(n\) est impair.
3. Il n’existe pas d’entiers naturels \(m\) et \(n\) tels que \(m^2 – n^2 = 6\).
4. Pour tout réel \(x\), on a \(x^3 \geqslant x\).

Pour approfondir

Exercice 15 – Ordre des quantificateurs et fonctions majorées

Pour une fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), on considère les deux assertions :

\[
(A)\quad \exists M \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \leqslant M
\qquad\qquad
(B)\quad \forall x \in \mathbb{R},\ \exists M \in \mathbb{R},\ f(x) \leqslant M
\]

1. Montrer que \((B)\) est vraie pour toute fonction \(f\).
2. Montrer que \((A)\) implique \((B)\), puis donner une fonction pour laquelle \((A)\) est fausse.
3. Écrire la négation de \((A)\) et la démontrer pour la fonction \(x \mapsto x^3\).
4. On pose \(g(x) = \frac{5x}{1 + x^2}\). Montrer que pour tout réel \(x\), on a \(|g(x)| \leqslant \frac{5}{2}\). En déduire que \(g\) vérifie \((A)\).
5. Montrer qu’aucun réel \(M < \frac{5}{2}\) ne majore \(g\) sur \(\mathbb{R}\). La figure représente \(g\).

Exercice 16 – Analyse sans solution

1. Déterminer toutes les fonctions \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) telles que, pour tous réels \(x\) et \(y\), on ait \(f(x + y) + f(x – y) = 2x^2\). On montrera que l’analyse fournit un unique candidat, puis que la synthèse l’élimine.
2. Reprendre la question avec la condition \(f(x + y) + f(x – y) = 2x^2 + 2y^2\) pour tous réels \(x\) et \(y\).
3. Expliquer en une phrase pourquoi la question 1 montre que la synthèse ne peut jamais être omise.

Exercice 17 – Aucune suite d’entiers strictement décroissante

On utilisera sans preuve la propriété suivante : dans \(\mathbb{N}\), chaque partie non vide admet un minimum.

1. Écrire avec des quantificateurs l’assertion « la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est strictement décroissante ».
2. Montrer par l’absurde qu’il n’existe aucune suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) d’entiers naturels strictement décroissante.
3. Le résultat reste-t-il vrai pour une suite d’entiers relatifs ? Pour une suite de rationnels positifs ? Justifier par un contre-exemple ou une preuve.

Exercice 18 – Problème – Nombres de Mersenne et nombres de Fermat

Ce problème mêle plusieurs types de raisonnement autour des entiers \(2^n – 1\) et \(2^n + 1\).

Partie A : deux factorisations. Soient \(a\) un réel et \(m \geqslant 1\) un entier.

1. Montrer que \(a^m – 1 = (a – 1)\left(a^{m-1} + a^{m-2} + \cdots + a + 1\right)\).
2. En déduire que si \(m\) est impair, alors \(a^m + 1 = (a + 1)\left(a^{m-1} – a^{m-2} + \cdots – a + 1\right)\).

Partie B : nombres de Mersenne. Soit \(n \geqslant 2\) un entier.

1. Montrer, par contraposition, que si \(2^n – 1\) est premier, alors \(n\) est premier.
2. Écrire la réciproque de cette implication, puis la réfuter à l’aide de \(n = 11\) en vérifiant que \(2^{11} – 1 = 23 \times 89\).
3. Écrire la négation de l’assertion « pour tout nombre premier \(p\), l’entier \(2^p – 1\) est premier ». Est-elle vraie ?

Partie C : nombres de Fermat. Soit \(n \geqslant 1\) un entier. On admet que si \(n\) n’est pas une puissance de \(2\), alors \(n\) possède un diviseur impair \(m \geqslant 3\).

1. Montrer que si \(2^n + 1\) est premier, alors \(n\) est une puissance de \(2\).
2. Vérifier la réciproque pour \(n = 1, 2, 4, 8\), en admettant que \(257\) est premier. Ces vérifications suffisent-elles à prouver la réciproque ?

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