QCM : Racines d’un polynôme et Viète en maths sup (MPSI)

Réponse C.

Les termes en \(X^3\) s’annulent dans la somme, donc \(P+Q=X^2+X-1\) est de degré \(2\). En effet, on a seulement \(\deg(P+Q)\le\max(\deg P,\deg Q)\). Pour le produit, le coefficient dominant vaut \(2\times(-2)=-4\). La réponse avec le degré \(3\) oublie l’annulation possible. La réponse \(4\) perd le signe, et le degré \(6\) est celui du produit, pas de la somme.

Réponse A.

Le reste \(R=aX+b\) est de degré au plus \(1\). En évaluant en \(i\), racine du diviseur, on obtient \(R(i)=i^7+3=3-i\), donc \(a=-1\) et \(b=3\). La réponse \(3+X\) se trompe sur \(i^7\), qui vaut \(-i\). Par ailleurs, \(2\) et \(4\) sont les valeurs de \(X^7+3\) en \(-1\) et en \(1\) : elles confondent ce diviseur avec \(X+1\) ou \(X-1\).

Réponse C.

Un polynôme est divisible par \(X-2\) si et seulement si \(2\) en est racine. Or \(P(2)=8+4m+2-6=4m+4\), donc \(m=-1\). La valeur \(4\) annule \(P(-2)\) : elle confond \(X-2\) et \(X+2\). La valeur \(1\) provient d’une erreur de signe en isolant \(m\). Enfin, \(-\frac{5}{2}\) oublie le terme constant \(-6\) dans le calcul.

Réponse D.

On a \(P(1)=0\). Ensuite \(P^{\prime}=4X^3-6X^2+2\) s’annule en \(1\), tout comme \(P^{\prime\prime}=12X^2-12X\). En revanche, \(P^{\prime\prime\prime}=24X-12\) vaut \(12\) en \(1\). La multiplicité est donc \(3\), et d’ailleurs \(P=(X-1)^3(X+1)\). La réponse \(2\) s’arrête à la première dérivée nulle sans tester la suivante. La réponse \(4\) confond multiplicité et degré.

Réponse D.

La formule de Taylor en \(1\) donne \(P=\sum_k \frac{P^{(k)}(1)}{k!}(X-1)^k\). Ainsi le coefficient de \((X-1)^2\) vaut \(\frac{6}{2}=3\) et celui de \((X-1)^3\) vaut \(\frac{12}{6}=2\). La réponse avec \(6\) et \(12\) oublie les factorielles. Celle avec \(6(X-1)^3\) divise par \(2\) au lieu de \(3!\). Enfin, développer en puissances de \(X+1\) correspond à un développement en \(-1\).

Réponse C.

Les relations de Viète donnent \(a+b+c=4\) et \(ab+bc+ca=1\). Or \(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=16-2=14\). On peut d’ailleurs vérifier avec les racines \(-1\), \(2\) et \(3\). La réponse \(18\) ajoute le double produit au lieu de le retrancher. La réponse \(16\) se contente du carré de la somme, tandis que \(15\) oublie le facteur \(2\).

Réponse B.

Au même dénominateur \(abc\), le numérateur devient \(c+a+b\). Selon Viète, la somme des racines vaut \(\frac{3}{2}\) et leur produit \(-\frac{1}{2}\), d’où le résultat \(-3\). La réponse \(3\) oublie le signe moins du produit, qui vaut \(-\frac{d}{a}\) en degré \(3\). La réponse \(-\frac{1}{3}\) renverse le quotient. Quant à \(-5\), elle place au numérateur la somme des produits deux à deux.

Réponse A.

Le polynôme cherché s’annule en \(1\) et en \(2\), donc il est multiple de \((X-1)(X-2)\). Comme son degré est au plus \(2\), il s’écrit \(\lambda(X-1)(X-2)\). La condition \(L(0)=1\) impose alors \(2\lambda=1\). La réponse sans dénominateur oublie cette normalisation et vaut \(2\) en \(0\). La réponse \(\frac{X(X-1)}{2}\) est le polynôme associé au point \(2\). Enfin, le signe moins provient d’une erreur sur \((0-1)(0-2)\).

Réponse B.

D’après d’Alembert-Gauss, \(P\) est scindé sur \(\mathbb{C}\). De plus, ses racines non réelles vont par paires conjuguées, car ses coefficients sont réels. Comme \(5\) est impair, il reste donc au moins une racine réelle. Cependant, \(X^5-X\) en possède trois, si bien que « exactement une » est faux. Par ailleurs, \(X(X^2+1)^2\) n’a qu’une racine réelle : être scindé sur \(\mathbb{R}\) n’est pas garanti.

Réponse D.

Les racines huitièmes de l’unité sont les \(e^{ik\pi/4}\). Seules \(1\) et \(-1\) sont réelles, et les six autres forment trois paires conjuguées. On obtient donc deux facteurs de degré \(1\) et trois de degré \(2\) : \(X^2+1\) et \(X^2\pm\sqrt{2}X+1\). La réponse \(8\) compte les facteurs dans \(\mathbb{C}[X]\). La réponse \(4\) garde \(X^4+1\), qui se factorise pourtant sur \(\mathbb{R}\). Enfin, \(2\) s’arrête à \((X^4-1)(X^4+1)\).

Réponse A.

On fait apparaître \((X^2+8)^2=X^4+16X^2+64\), donc \(X^4+64=(X^2+8)^2-(4X)^2\). L’identité \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) conclut. Chaque facteur a pour discriminant \(16-32=-16\), si bien qu’il est irréductible. La réponse \((X^2+8)^2\) oublie le terme \(16X^2\). Le produit avec \(-8\) vaut \(X^4-32X^2+64\). Enfin, l’absence de racine réelle ne prouve l’irréductibilité qu’en degré \(2\) ou \(3\).

Réponse B.

Une racine au moins double annule le polynôme et sa dérivée. Ici \(P^{\prime}(1)=4+a=0\) donne \(a=-4\), puis \(P(1)=1+a+b=0\) donne \(b=3\). Ainsi \(P=X^4-4X+3\). Le couple \((4,-5)\) se trompe de signe en résolvant. Le couple \((-3,2)\) dérive \(X^4\) en \(3X^3\). Enfin, \(b=-3\) provient d’une erreur de signe dans la dernière équation.