Sous-suites et encadrements : contrôle de maths en MPSI
Voici un contrôle de maths en MPSI sur le thème « sous-suites et encadrements », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce devoir surveillé de deux heures évalue votre maîtrise des suites réelles, juste après le chapitre sur la convergence. Vous commencerez par deux limites obtenues grâce au théorème d’encadrement, puis vous étudierez un couple de suites adjacentes dont la limite commune sera encadrée par deux fractions. Ensuite, un exercice de démonstration utilise les suites extraites pour prouver une divergence, mais aussi pour établir une convergence. Le quatrième exercice demande le terme général de deux récurrences linéaires d’ordre 2, avec des racines réelles puis complexes. Enfin, le problème, au format concours, construit la moyenne arithmético-géométrique de 8 et 2 et mesure la rapidité de sa convergence. Ce contrôle exige des preuves complètes, avec chaque théorème nommé.
Ce qu’évalue le contrôle : sous-suites et encadrements
L’essentiel du sujet
- NiveauMPSI
- Durée2 heures
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Convergence des suites réelles et complexes (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Prouver la convergence d’une somme ou d’un quotient par encadrement et passage à la limite
- Établir que deux suites sont adjacentes puis encadrer leur limite commune par des fractions
- Démontrer la divergence d’une suite à l’aide de deux suites extraites de limites distinctes
- Calculer le terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2, dans les cas réel et complexe
- Étudier la moyenne arithmético-géométrique de deux réels et estimer la vitesse de convergence
Avant de commencer le devoir
Lisez d’abord tout le sujet, car les exercices 3 et 4 se répondent : une suite qui oscille se traite par deux suites extraites bien choisies. Pour un encadrement, majorez et minorez chaque terme de la somme, puis sommez seulement ensuite. Quand vous invoquez un théorème, vérifiez ses hypothèses une par une, notamment la monotonie et la différence qui tend vers 0 pour des suites adjacentes. Dans le problème, gardez en tête que les termes restent strictement positifs, sans quoi les racines carrées n’ont aucun sens.
Le sujet du contrôle : sous-suites et encadrements
Exercice 1 – Deux limites par encadrement (3 points)
Pour tout entier \(n \geq 1\), on pose
\[a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{2n+k}{n^2+k} \quad \text{et} \quad c_n = \frac{\lfloor n\sqrt{3} \rfloor}{n+\sqrt{n}},\]
où \(\lfloor x \rfloor\) désigne la partie entière du réel \(x\).
- Pour \(1 \leq k \leq n\), encadrer \(\frac{2n+k}{n^2+k}\) par deux quotients de même numérateur. Montrer ensuite que \(\frac{5n+1}{2(n+1)} \leq a_n \leq \frac{5n^2+n}{2(n^2+1)}\).
- En déduire que \((a_n)\) converge et préciser sa limite.
- Encadrer \(c_n\) à l’aide de la définition de la partie entière, puis déterminer la limite de \((c_n)\).
Exercice 2 – Un couple de suites adjacentes (4 points)
Pour tout entier \(n \geq 1\), on définit
\[u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^3} \quad \text{et} \quad v_n = u_n + \frac{1}{2n^2}.\]
La figure ci-dessous représente les points de coordonnées \((n, u_n)\) et \((n, v_n)\) pour \(n\) allant de 1 à 8 : les uns sont des disques bleus, les autres des triangles orange.
- Établir que \(v_{n+1} – v_n = -\frac{3n+1}{2n^2(n+1)^3}\) pour tout \(n \geq 1\). Étudier alors la monotonie de \((u_n)\) et celle de \((v_n)\).
- Montrer que \((u_n)\) et \((v_n)\) convergent vers une même limite \(L\), en nommant le théorème utilisé. Justifier aussi que \(u_n \leq L \leq v_n\) pour tout \(n \geq 1\).
- Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(v_n – u_n \leq \frac{1}{30}\). Donner ensuite un encadrement de \(L\) par deux fractions de même dénominateur.
- Indiquer quelle série de points représente \((u_n)\), en justifiant par deux arguments.
Exercice 3 – Indices pairs, impairs et multiples de trois (4 points)
Dans cet exercice, \((x_n)\) désigne une suite réelle quelconque. On considère aussi la suite \((w_n)\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(w_n = \frac{n+2}{n+1}\cos\left(\frac{n\pi}{3}\right)\), dont les premiers termes sont représentés ci-dessous.
- Calculer \(w_{6p}\) et \(w_{6p+3}\) pour tout \(p \in \mathbb{N}\). Démontrer alors que \((w_n)\) diverge.
- On suppose que \((x_{2n})\) et \((x_{2n+1})\) convergent toutes deux vers un même réel \(\ell\). Démontrer avec des quantificateurs que \((x_n)\) converge vers \(\ell\).
- On suppose cette fois que \((x_{2n})\), \((x_{2n+1})\) et \((x_{3n})\) convergent, sans connaître leurs limites. Montrer que \((x_n)\) converge.
Exercice 4 – Récurrences linéaires d’ordre 2 (4 points)
On définit deux suites réelles par leurs deux premiers termes et une relation de récurrence valable pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
\[v_0 = 2,\quad v_1 = \frac{1}{6},\quad 6\,v_{n+2} = v_{n+1} + v_n\]
\[u_0 = 1,\quad u_1 = 1,\quad u_{n+2} = 2\,u_{n+1} – 4\,u_n.\]
- Déterminer le terme général de \((v_n)\), puis sa limite.
- Écrire sous forme exponentielle les racines de l’équation caractéristique associée à \((u_n)\). En déduire que \(u_n = 2^n \cos\left(\frac{n\pi}{3}\right)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
- Prouver que \((u_n)\) n’admet aucune limite, finie ou infinie.
Exercice 5 – Problème : la moyenne arithmético-géométrique de 8 et 2 (5 points)
On pose \(a_0 = 8\) et \(b_0 = 2\), puis, pour tout \(n \in \mathbb{N}\),
\[a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} \quad \text{et} \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n\,b_n}.\]
La figure suivante place les trois premiers segments \(\left[b_n\,;a_n\right]\) sur une droite graduée.
- Calculer \(a_1\), \(b_1\), \(a_2\) et \(b_2\), en donnant \(b_2\) sous forme simplifiée.
- Montrer par récurrence que les suites sont bien définies et que \(0 < b_n \leq a_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
- Montrer que \((a_n)\) est décroissante et que \((b_n)\) est croissante.
- Établir que \(a_{n+1} – b_{n+1} \leq \frac{a_n – b_n}{2}\) pour tout \(n\). Conclure ensuite que \((a_n)\) et \((b_n)\) ont une limite commune, notée \(M\).
- Vérifier que \(a_{n+1} – b_{n+1} = \frac{1}{2}\left(\sqrt{a_n} – \sqrt{b_n}\right)^2\). Pour \(n \geq 1\), en déduire que \(a_{n+1} – b_{n+1} \leq \frac{(a_n – b_n)^2}{32}\). Montrer enfin que \(a_3\) est une valeur approchée de \(M\) à \(10^{-4}\) près.
- Soit \(\lambda > 0\). Expliquer pourquoi les suites issues de \(\lambda a_0\) et \(\lambda b_0\) sont \((\lambda a_n)\) et \((\lambda b_n)\). Exprimer alors \(M\) à l’aide de la limite commune des suites issues de 4 et 1.
Réviser sous-suites et encadrements avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours convergence des suites réelles et complexes ; entraînez-vous sur les exercices convergence des suites réelles et complexes avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en MPSI regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
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