Existence de solutions par continuité : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : existence de solutions par continuité

Le sujet du contrôle : existence de solutions par continuité

Exercice 1 – Deux fonctions sans limite (4 points)

On définit sur \(\left]0\,;+\infty\right[\) la fonction \(f\) par \(f(x) = (-1)^{\lfloor 1/x \rfloor}\), où \(\lfloor t \rfloor\) désigne la partie entière du réel \(t\). La figure ci-dessous montre son graphe sur \(\left]0\,;1{,}3\right]\) : il est formé de paliers de hauteur \(1\) ou \(-1\), de plus en plus courts quand on s’approche de 0.

1. Énoncer la caractérisation séquentielle de la limite d’une fonction en un point \(a\) adhérent à son ensemble de définition. (0,5 point)
2. Pour tout entier \(n \geq 1\), calculer \(f\left(\frac{1}{2n}\right)\) et \(f\left(\frac{1}{2n+1}\right)\). Conclure alors que \(f\) ne converge vers aucune valeur quand \(x\) tend vers \(0\). (1,5 point)
3. Notons \(\varphi : x \mapsto x\,f(x)\), sur \(\left]0\,;+\infty\right[\). Montrer que \(\varphi\) admet une limite en \(0\), puis justifier que \(\varphi\) se prolonge par continuité en \(0\). (1 point)
4. Soit enfin \(g : x \mapsto \sin\left(\pi x^2\right)\), définie sur \(\mathbb{R}\). Prouver que \(g\) n’a pas de limite en \(+\infty\), en utilisant les suites de termes \(\sqrt{n}\) et \(\sqrt{2n + \frac{1}{2}}\). (1 point)

Exercice 2 – Trois équations résolues par le TVI (4 points)

Les trois questions sont indépendantes. Chaque fois, nommez le théorème utilisé et vérifiez ses hypothèses.

1. Montrer que l’équation \(x^5 + 2x – 1 = 0\) possède une unique solution réelle \(\alpha\), puis établir que \(0 < \alpha < \frac{1}{2}\). (1 point)
2. Démontrer que l’équation \(\cos x = x^2\) admet exactement deux solutions réelles, opposées l’une de l’autre. On pourra d’abord traiter l’intervalle \(\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]\), car en dehors de \(\left[-\frac{\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right]\) on a \(x^2 > 1\). (1,5 point)
3. Soit \(h\) une fonction continue sur \([0\,;1]\) telle que \(h(0) = h(1)\). En étudiant \(k : x \mapsto h\left(x + \frac{1}{2}\right) – h(x)\) sur \(\left[0\,;\frac{1}{2}\right]\), montrer qu’il existe \(c \in \left[0\,;\frac{1}{2}\right]\) tel que \(h\left(c + \frac{1}{2}\right) = h(c)\). Autrement dit, la courbe de \(h\) possède une corde horizontale de longueur \(\frac{1}{2}\), comme sur l’exemple ci-dessous. (1,5 point)

Exercice 3 – Bornes atteintes et minimum global (4 points)

Cet exercice teste le théorème des bornes atteintes, puis ses limites lorsque l’intervalle n’est plus un segment.

1. Soit \(u\) une fonction continue sur un segment \([a\,;b]\), avec \(a < b\), telle que \(u(x) > 0\) pour tout \(x \in [a\,;b]\). Montrer qu’il existe un réel \(m > 0\) tel que \(u(x) \geq m\) pour tout \(x \in [a\,;b]\). (1 point)
2. Soit \(v\) une fonction continue sur \(\mathbb{R}\) telle que \(\lim_{x \to -\infty} v(x) = +\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} v(x) = +\infty\). Montrer que \(v\) admet un minimum sur \(\mathbb{R}\). (1,5 point)
3. On considère \(w : x \mapsto \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 2}\) sur \(\mathbb{R}\). Écrire \(w(x)\) sous la forme \(1 – \dfrac{1}{x^2 + 2}\), puis déterminer la borne inférieure et la borne supérieure de \(w\) sur \(\mathbb{R}\). Préciser ensuite si chacune est atteinte. (1 point)
4. Expliquer pourquoi le résultat de la question 3 ne contredit ni le théorème des bornes atteintes, ni la question 2. (0,5 point)

Exercice 4 – Une bijection continue explicite (3 points)

On pose, pour tout \(x \in \left]-1\,;1\right[\), \(F(x) = \dfrac{x}{1 – x^2}\). Aucune dérivée n’est autorisée dans cet exercice.

1. Vérifier que \(F\) est impaire. Montrer ensuite que \(F\) est strictement croissante sur \(\left[0\,;1\right[\), puis sur \(\left]-1\,;1\right[\). (1 point)
2. Calculer les limites de \(F\) en \(-1\) et en \(1\). Justifier ensuite que tout réel possède un unique antécédent par \(F\) dans \(\left]-1\,;1\right[\), et que \(F^{-1}\) est continue sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
3. Soit \(y \in \mathbb{R}\). Résoudre l’équation \(F(x) = y\) d’inconnue \(x \in \left]-1\,;1\right[\) et montrer que \(F^{-1}(y) = \dfrac{2y}{1 + \sqrt{1 + 4y^2}}\). Contrôler ce résultat avec la valeur \(F\left(\frac{1}{2}\right)\). (1 point)

Exercice 5 – Problème : points fixes et involutions (5 points)

Un réel \(c\) est un point fixe d’une fonction \(f\) lorsque \(f(c) = c\). Graphiquement, c’est l’abscisse d’un point où la courbe de \(f\) rencontre la droite d’équation \(y = x\). La figure illustre ainsi une fonction continue de \([a\,;b]\) dans \([a\,;b]\) : sa courbe part du bord gauche du carré et arrive sur le bord droit, donc elle coupe forcément la diagonale.

1. Partie A. Soit \(f\) une fonction continue sur \([a\,;b]\), avec \(a < b\), telle que \(f([a\,;b]) \subset [a\,;b]\). En étudiant \(x \mapsto f(x) – x\), démontrer que \(f\) admet au moins un point fixe. (1,5 point)
2. Partie B. On suppose de plus que \([a\,;b] = [0\,;1]\) et que \(f\) est décroissante. Montrer que \(f\) admet alors un unique point fixe. (1 point)
3. Partie C. Soit \(g\) une fonction continue sur \(\mathbb{R}\) telle que \(g(g(x)) = x\) pour tout réel \(x\). Supposons qu’il existe \(a\) avec \(g(a) \neq a\). En comparant \(g(a) – a\) et \(g(g(a)) – g(a)\), prouver que \(g\) possède un point fixe. Vérifier enfin que \(x \mapsto 3 – x\) satisfait cette hypothèse, et donner son point fixe. (1,5 point)
4. Partie D. Soit \(q : x \mapsto (1 – x)^2\) sur \([0\,;1]\). Justifier que \(q\) vérifie les hypothèses de la partie B, puis calculer la valeur exacte de son unique point fixe. (1 point)

Réviser existence de solutions par continuité avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours limite d’une fonction, continuité et tvi ; entraînez-vous sur les exercices limite d’une fonction, continuité et tvi avant de retenter le sujet.

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