Gradient, règle de la chaîne et EDP : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : gradient, règle de la chaîne et EDP

Le sujet du contrôle : gradient, règle de la chaîne et EDP

Exercice 1 – Deux quotients au voisinage de l’origine (3,5 points)

On définit sur le plan privé de l’origine les fonctions \(h\) et \(g\) par :

\[h(x, y) = \frac{xy}{x^2 + 3y^2} \quad \text{et} \quad g(x, y) = \frac{xy^2}{2x^2 + y^2},\]

puis on pose \(g(0, 0) = 0\). La figure montre quelques lignes de niveau de \(h\) : ce sont des droites privées de l’origine.

1. Calculer \(h(x, tx)\) pour \(x \neq 0\) et \(t\) réel fixé. En déduire que \(h\) n’admet pas de limite en \((0, 0)\), ce que confirme la figure. (1 point)
2. Montrer que \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}^2\). (1 point)
3. Justifier l’existence des dérivées partielles de \(g\) en \((0, 0)\) et les calculer. (0,5 point)
4. Calculer la dérivée de \(g\) en \((0, 0)\) selon le vecteur \(u = (1, 1)\). Qu’en conclure quant à la classe de \(g\) sur \(\mathbb{R}^2\) ? (1 point)

Exercice 2 – Gradient et plan tangent en un point (3,5 points)

On étudie sur \(\mathbb{R}^2\) l’application \(f : (x, y) \mapsto \mathrm{e}^{x – 2y} + x^2 y\) au voisinage du point \(A(2, 1)\). La figure représente plusieurs lignes de niveau de \(f\) autour de \(A\).

1. Justifier que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) et calculer ses dérivées partielles. (1 point)
2. Calculer \(f(A)\) et \(\nabla f(A)\). Écrire alors l’approximation affine de \(f\) au voisinage de \(A\), puis en déduire une valeur approchée de \(f(2{,}02 \, ; 0{,}99)\). (1 point)
3. Quel plan est tangent en \((2, 1, 5)\) à la surface représentative de \(f\) ? En donner une équation cartésienne. (0,5 point)
4. Calculer la dérivée de \(f\) en \(A\) selon le vecteur unitaire \(u = (0{,}6 \, ; 0{,}8)\). Déterminer ensuite les vecteurs unitaires selon lesquels cette dérivée est nulle, puis reproduire la figure en y traçant \(\nabla f(A)\). (1 point)

Exercice 3 – Composer puis dériver (3 points)

Dans cet exercice, \(F\) désigne une fonction de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\), dont les dérivées partielles sont notées \(\partial_1 F\) et \(\partial_2 F\).

1. On pose \(\varphi(t) = F\left(\mathrm{e}^t, t^2\right)\) pour tout réel \(t\). Établir la dérivabilité de \(\varphi\), puis écrire \(\varphi^{\prime}(t)\) en fonction de \(\partial_1 F\) et \(\partial_2 F\). (1 point)
2. On suppose que \(F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^3 F(x, y)\) pour tout réel \(\lambda > 0\) et tout \((x, y)\) de \(\mathbb{R}^2\). Démontrer que \(x \, \partial_1 F(x, y) + y \, \partial_2 F(x, y) = 3F(x, y)\) pour tout \((x, y)\). Vérifier ensuite cette relation sur \(F(x, y) = x^3 – 4xy^2 + y^3\). (1,5 point)
3. Pour \(F(x, y) = x^2 y\), calculer la dérivée de \(t \mapsto F(\cos t, \sin t)\) par la règle de la chaîne, puis contrôler le résultat par un calcul direct. (0,5 point)

Exercice 4 – Un col et une cuvette (4 points)

On considère la fonction polynomiale \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(f(x, y) = 2x^3 – 6xy + 3y^2\). La figure en donne quelques lignes de niveau, ainsi que les points \(O(0, 0)\) et \(B(1, 1)\).

1. Déterminer les points critiques de \(f\). (1 point)
2. En étudiant \(t \mapsto f(t, 0)\), montrer que \(f\) n’admet pas d’extremum local en \(O\). (0,75 point)
3. Pour \((h, k)\) réels, développer \(f(1 + h, 1 + k) + 1\) et l’écrire sous la forme \(3(k – h)^2 + h^2(3 + 2h)\). En déduire que \(f\) admet en \(B\) un minimum local, dont on donnera la valeur. (1,5 point)
4. Ce minimum est-il global ? Justifier, puis confronter les conclusions des questions 2 à 4 avec l’allure des lignes de niveau. (0,75 point)

Exercice 5 – Problème : une équation de transport (6 points)

On cherche les fonctions \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) vérifiant, pour tout \((x, y)\) de \(\mathbb{R}^2\), l’une des deux équations suivantes :

\[(E) : \; 3\,\partial_1 f(x, y) – \partial_2 f(x, y) = 0 \quad \text{et} \quad (E^{\prime}) : \; 3\,\partial_1 f(x, y) – \partial_2 f(x, y) = x + 3y.\]

La figure montre la famille des droites d’équation \(x + 3y = c\), toutes dirigées par le vecteur \(w = (3, -1)\).

Le changement de variables. On note \(\Phi\) l’application de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}^2\) définie par \(\Phi(x, y) = (x + 3y, y)\).

1. Montrer que \(\Phi\) est bijective et préciser sa réciproque \(\Psi\). Si \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\), justifier que \(g = f \circ \Psi\) l’est aussi. (1 point)
2. Exprimer \(\partial_1 g(u, v)\) et \(\partial_2 g(u, v)\) à l’aide des dérivées partielles de \(f\) au point \(\Psi(u, v)\). (1 point)

Résolution.

3. Montrer que \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement s’il existe une fonction \(\varphi\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f(x, y) = \varphi(x + 3y)\) pour tout \((x, y)\). Interpréter ce résultat à l’aide de la figure. (1,5 point)
4. Résoudre de même l’équation \((E^{\prime})\). (1,5 point)
5. Déterminer l’unique solution de \((E^{\prime})\) qui vérifie \(f(x, 0) = x^2\) pour tout réel \(x\), puis vérifier directement qu’elle convient. (1 point)

Réviser gradient, règle de la chaîne et EDP avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours dérivées partielles, gradient et points critiques ; entraînez-vous sur les exercices dérivées partielles, gradient et points critiques avant de retenter le sujet.

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