Ordre, Lagrange et permutations : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « ordre, Lagrange et permutations », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure se place au milieu du semestre 3, juste après le chapitre consacré aux groupes. D’abord, vous montrerez qu’une partie de C* formée de six droites est un sous-groupe, puis vous identifierez son intersection avec le cercle unité. Ensuite, quatre calculs d’ordre d’un élément vous attendent, dans Z/36Z, dans C* et dans un groupe de matrices. Le troisième exercice exploite le théorème de Lagrange, notamment pour les groupes d’ordre premier. Enfin, le problème suit un battage de neuf cartes : vous le décomposerez en cycles disjoints, puis vous calculerez son ordre, ses puissances et sa signature. Les anneaux ne sont pas au programme de cette épreuve.
Ce qu’évalue le contrôle : ordre, Lagrange et permutations
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée1 heure
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Groupes, théorème de Lagrange et permutations (4 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Montrer qu’une partie d’un groupe en est un sous-groupe, ou prouver qu’elle ne l’est pas par un contre-exemple
- Calculer l’ordre d’un élément dans un groupe additif, multiplicatif ou matriciel
- Appliquer le théorème de Lagrange aux groupes d’ordre premier et à l’intersection de deux sous-groupes
- Décomposer une permutation en cycles disjoints, puis en déduire son ordre, ses puissances et sa signature
Avant de commencer le devoir
Commencez par l’exercice 2, car ses calculs sont courts et rassurants. Pour un sous-groupe, utilisez la caractérisation par la stabilité du produit par un inverse, plutôt que les trois axiomes séparés. Quand vous calculez un ordre, montrez à la fois que la puissance vaut le neutre et qu’aucune puissance plus petite ne le donne. Dans le problème, suivez chaque carte sur la figure, puis vérifiez vos cycles en recalculant les neuf images. Enfin, citez Lagrange par son nom.
Le sujet du contrôle : ordre, Lagrange et permutations
Exercice 1 – Six droites dans le plan complexe (4 points)
On note \(\mathbb{U}\) le groupe des complexes de module 1 et l’on considère la partie \(\mathcal{H} = \left\{ z \in \mathbb{C}^* \,:\, z^6 \in \mathbb{R} \right\}\) du groupe multiplicatif \(\left(\mathbb{C}^*, \times\right)\). La figure la représente avec le cercle unité en pointillés ; l’origine en est exclue.
- Montrer que \(\mathcal{H}\) est un sous-groupe de \(\left(\mathbb{C}^*, \times\right)\).
- En écrivant \(z = r\,\mathrm{e}^{i\theta}\) avec \(r > 0\), justifier que \(\mathcal{H}\) est la réunion de six droites passant par l’origine, privée de 0.
- Déterminer \(\mathcal{H} \cap \mathbb{U}\). Préciser ensuite son cardinal et reconnaître ce sous-groupe.
- Soit \(\mathcal{P} = \left\{ z \in \mathbb{C}^* \,:\, \mathrm{Re}(z) > 0 \right\}\). Vérifier que \(\mathcal{P}\) est stable par passage à l’inverse, mais montrer que ce n’est pas un sous-groupe.
Exercice 2 – Quatre calculs d’ordre (4 points)
Dans chaque question, on justifie l’ordre trouvé : la puissance indiquée donne le neutre, et aucune puissance strictement plus petite ne le donne.
- Dans le groupe additif \(\left(\mathbb{Z}/36\mathbb{Z}, +\right)\), déterminer l’ordre de \(\overline{15}\), puis celui de \(\overline{20}\).
- Dans \(\left(\mathbb{C}^*, \times\right)\), on pose \(\omega = \mathrm{e}^{5i\pi/7}\). Calculer l’ordre de \(\omega\), puis celui de \(-\omega\).
- Dans \(GL_2(\mathbb{R})\), on considère \(A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). Calculer \(A^2\) et \(A^3\), puis en déduire l’ordre de \(A\). Montrer aussi que \(B\) est d’ordre infini.
- Soit enfin \(x\) un élément d’ordre 12 d’un groupe \(G\) de neutre \(e\). Déterminer l’ordre de \(x^8\), puis celui de \(x^5\).
Exercice 3 – Ce qu’impose le théorème de Lagrange (4 points)
Dans cet exercice, \(G\) est un groupe fini de neutre \(e\), noté multiplicativement, et \(|G|\) désigne son cardinal.
- Énoncer le théorème de Lagrange. En déduire que l’ordre de tout \(x \in G\) divise \(|G|\), puis que \(x^{|G|} = e\).
- On suppose que \(|G| = p\), avec \(p\) premier. Montrer que \(G\) est cyclique et que tout élément distinct de \(e\) l’engendre. Quels sont alors les sous-groupes de \(G\) ?
- On suppose maintenant que \(|G| = 15\) et que \(G\) possède un sous-groupe \(H\) d’ordre 5 ainsi qu’un sous-groupe \(K\) d’ordre 3. Montrer que \(H \cap K = \{e\}\). Prouver ensuite que l’application \(\varphi : H \times K \to G\), \((h, k) \mapsto hk\), est injective, puis que tout élément de \(G\) s’écrit de façon unique \(hk\).
Exercice 4 – Problème : un battage de neuf cartes (8 points)
Lina range neuf cartes numérotées de 1 à 9, puis elle les bat toujours de la même façon. La carte placée en position \(i\) passe alors en position \(\sigma(i)\), où \(\sigma \in \mathfrak{S}_9\) est donnée par le tableau et la figure ci-dessous.
| \(i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| \(\sigma(i)\) | 5 | 7 | 6 | 9 | 8 | 3 | 4 | 1 | 2 |
- Décomposer \(\sigma\) en produit de cycles à supports disjoints.
- Déterminer l’ordre de \(\sigma\). Combien de battages successifs faut-il, au minimum, pour retrouver l’ordre initial des cartes ?
- Calculer la signature de \(\sigma\), puis écrire \(\sigma\) comme produit de transpositions.
- Donner \(\sigma^{-1}\) sous forme de cycles, puis calculer \(\sigma^{2026}\).
- On pose \(\tau = (1\ 2)\). Décomposer \(\tau\sigma\) en cycles disjoints, puis donner son ordre et sa signature. En déduire qu’aucune permutation \(\rho \in \mathfrak{S}_9\) ne vérifie \(\rho^2 = \tau\sigma\).
- Montrer que \(\mathfrak{S}_9\) ne contient aucun élément d’ordre 11. Montrer de plus qu’il ne contient aucun élément d’ordre 18, bien que 18 divise \(9!\), et donner enfin un élément d’ordre 20.
Réviser ordre, Lagrange et permutations avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours groupes, théorème de lagrange et permutations ; entraînez-vous sur les exercices groupes, théorème de lagrange et permutations avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L2 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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