Limites en plusieurs variables : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « limites en plusieurs variables », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur la topologie de R² et sur les limites des fonctions de deux variables ; placez-le à la fin du chapitre, avant le calcul différentiel. Le premier exercice définit une norme inhabituelle, puis la compare à la norme infinie. Ensuite, vous reconnaîtrez des ouverts et des fermés par image réciproque ou par des suites. Le troisième exercice fait calculer des limites en (0, 0) grâce aux coordonnées polaires. Puis des chemins bien choisis serviront de contre-exemples, et vous tracerez des lignes de niveau. Enfin, le problème étudie un compact du plan et une fonction prolongée par continuité. Les dérivées partielles ne sont pas demandées.
Ce qu’évalue le contrôle : limites en plusieurs variables
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Normes de R^n, ouverts, fermés et continuité (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Vérifier les axiomes d’une norme sur R² et la comparer à la norme infinie avec des constantes optimales
- Prouver qu’une partie de R² est ouverte ou fermée grâce à l’image réciproque par une fonction continue
- Étudier une limite en (0, 0) à l’aide des coordonnées polaires ou d’une majoration par une norme
- Construire un contre-exemple par des chemins et dessiner les lignes de niveau d’une fonction
- Utiliser la compacité pour justifier l’existence d’un maximum puis le calculer
Avant de commencer le devoir
Avant de chercher une limite en (0, 0), testez d’abord quelques droites passant par l’origine : si deux valeurs diffèrent, la limite n’existe pas. Sinon, cherchez une majoration du module par une quantité qui tend vers 0, par exemple avec les coordonnées polaires. Méfiez-vous cependant d’une limite nulle sur toutes les droites, car une parabole peut encore la contredire. Pour un ouvert ou un fermé, citez toujours la fonction continue utilisée et l’intervalle dont vous prenez l’image réciproque.
Le sujet du contrôle : limites en plusieurs variables
Exercice 1 – Une norme dont la boule est un parallélogramme (3 points)
Pour \(u = (x, y) \in \mathbb{R}^2\), on pose \(N(u) = \max\left(|x|, |x + y|\right)\) et l’on note \(\|u\|_\infty = \max\left(|x|, |y|\right)\). La figure montre aussi les deux boules unités fermées.
- Montrer d’abord que \(N\) est une norme sur \(\mathbb{R}^2\).
- Justifier que la boule unité fermée de \(N\) est le parallélogramme \(ABCD\) de la figure, en précisant les quatre droites qui le bordent.
- Établir, pour tout \(u \in \mathbb{R}^2\), les inégalités \(\|u\|_\infty \leq 2N(u)\) et \(N(u) \leq 2\|u\|_\infty\). Prouver ensuite que la constante 2 ne peut être améliorée dans aucune des deux.
- En déduire qu’une suite de \(\mathbb{R}^2\) converge pour \(N\) si et seulement si elle converge pour \(\|\cdot\|_\infty\).
Exercice 2 – Ouverts et fermés par image réciproque (3 points)
On munit \(\mathbb{R}^2\) de sa topologie usuelle. En effet, toutes les normes y sont équivalentes, donc ce choix ne change pas les ouverts.
- Prouver tout d’abord que \(U =\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : xy > 1\right\}\) est un ouvert.
- Démontrer que \(F = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : |x| + y^2 \leq 2 \text{ et } y \geq x – 1\right\}\) est un fermé.
- On considère la bande \(D = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 < x \leq 1\right\}\). À l’aide de suites bien choisies, montrer que \(D\) n’est ni fermée ni ouverte.
Exercice 3 – Limites en (0, 0) et coordonnées polaires (4 points)
Dans cet exercice, on note \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) et l’on écrit \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\) lorsque \((x, y) \neq (0, 0)\).
- Soit \(f(x, y) = \dfrac{2x^3 – y^3}{x^2 + y^2}\). Montrer que \(|f(x, y)| \leq 3r\), puis en déduire que \(f\) se prolonge par continuité en \((0, 0)\).
- Étudier la limite en \((0, 0)\) de \(g(x, y) = \dfrac{\ln\left(1 + x^2 + y^2\right)}{\sqrt{x^2 + y^2}}\), en rappelant l’inégalité utilisée sur le logarithme.
- Pour un réel \(\alpha > 0\), on pose \(f_\alpha(x, y) = \dfrac{|x|^\alpha\,|y|}{x^2 + y^2}\).
- Si \(\alpha > 1\), prouver que \(f_\alpha\) tend vers 0 en \((0, 0)\).
- Lorsque \(\alpha = 1\), comparer les limites le long de l’axe des abscisses et de la droite \(y = x\). Conclure.
- Enfin, pour \(0 < \alpha < 1\), examiner \(f_\alpha(t, t)\) quand \(t\) tend vers \(0^+\).
Exercice 4 – Chemins, contre-exemples et lignes de niveau (4 points)
On définit sur \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}\) les fonctions \(\varphi(x, y) = \dfrac{x^2 – 3y^2}{x^2 + y^2}\) et \(\psi(x, y) = \dfrac{3x^2 y}{x^4 + 2y^2}\). La figure montre par exemple quelques chemins qui aboutissent à l’origine.
- Calculer \(\varphi(x, mx)\) pour \(m \in \mathbb{R}\) et \(x \neq 0\). Que peut-on alors dire de la limite de \(\varphi\) en \((0, 0)\) ?
- Exprimer \(\varphi\) en coordonnées polaires en fonction de \(\sin^2\theta\) seulement. Décrire puis dessiner les lignes de niveau \(\varphi = 1\), \(\varphi = 0\), \(\varphi = -1\) et \(\varphi = -3\). Pour quelles valeurs de \(c\) la ligne de niveau \(\varphi = c\) est-elle non vide ?
- Montrer que \(\psi\) tend vers 0 le long de chaque droite passant par l’origine, axe des ordonnées compris.
- Calculer \(\psi\) le long des paraboles \(y = x^2\) et \(y = -x^2\). Conclure sur la limite de \(\psi\) en \((0, 0)\).
Exercice 5 – Problème : un compact et une fonction prolongée (6 points)
On note \(K = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^4 + y^4 \leq 2\right\}\), représenté ci-dessous, et \(\|\cdot\|_\infty\) la norme infinie.
Partie A : un maximum sur un compact
- Montrer tout d’abord que \(K\) est une partie fermée de \(\mathbb{R}^2\).
- Prouver que \(\|u\|_\infty \leq 2^{1/4}\) pour tout \(u \in K\), puis en déduire que \(K\) est compact.
- Justifier que la fonction \(s : (x, y) \mapsto x + y\) admet un maximum sur \(K\).
- Vérifier que \(\left(\dfrac{a + b}{2}\right)^2 \leq \dfrac{a^2 + b^2}{2}\) pour tous réels \(a\) et \(b\). En appliquant deux fois cette inégalité, montrer que \(x + y \leq 2\) sur \(K\), puis déterminer le maximum de \(s\) sur \(K\) et un point où il est atteint.
Partie B : une fonction prolongée par continuité
On pose \(h(x, y) = \dfrac{x^5 + y^5}{x^4 + y^4}\) si \((x, y) \neq (0, 0)\), et \(h(0, 0) = 0\).
- Montrer que \(|h(u)| \leq \|u\|_\infty\) pour tout \(u \in \mathbb{R}^2\), puis en déduire que \(h\) est continue sur \(\mathbb{R}^2\).
- Déterminer ensuite la ligne de niveau \(h = 0\).
- Démontrer que \(\left\{u \in \mathbb{R}^2 : h(u) > 0\right\}\) est un ouvert, puis l’identifier à un demi-plan.
Réviser limites en plusieurs variables avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours normes de r^n, ouverts, fermés et continuité ; entraînez-vous sur les exercices normes de r^n, ouverts, fermés et continuité avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L2 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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