Sommes de séries entières : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « sommes de séries entières », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur les séries entières, vers la fin du semestre 4 de la licence. Vous justifierez d’abord trois rayons de convergence, dont celui d’une série lacunaire. Ensuite, deux exercices vous demandent de calculer une somme, l’une par dérivation terme à terme, l’autre par intégration terme à terme, puis de prolonger le résultat aux bornes grâce à la convergence normale. Le quatrième exercice mobilise les développements usuels, notamment le logarithme et l’exponentielle complexe. Enfin, le problème résout une équation différentielle linéaire par une série entière et identifie ses solutions à des fonctions connues.
Ce qu’évalue le contrôle : sommes de séries entières
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Séries entières : rayon et développements (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Justifier le rayon de convergence d’une série entière lacunaire ou à coefficients irréguliers
- Calculer la somme d’une série entière en dérivant terme à terme une série géométrique
- Sommer une série entière par intégration terme à terme puis étendre le résultat au bord du disque
- Développer en série entière une fonction à partir des développements usuels
- Résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre à l’aide d’une série entière
Avant de commencer le devoir
Pour chaque rayon, appliquez la règle de d’Alembert à la série numérique des modules, ou bien comparez les coefficients à une suite simple. Quand vous dérivez ou intégrez terme à terme, rappelez que cette opération est permise sur le disque ouvert de convergence. Pour atteindre le bord, en revanche, il faut un argument supplémentaire, par exemple une convergence normale sur le segment. Dans le problème, vérifiez enfin vos coefficients sur les premiers termes.
Le sujet du contrôle : sommes de séries entières
Exercice 1 – Trois rayons à justifier (3 points)
Dans cet exercice, chaque rayon de convergence doit être démontré, et pas seulement annoncé.
- Déterminer le rayon de convergence de la série entière \(\sum_{n \geq 0} \frac{n^2 + 1}{3^n}\, x^{2n}\).
- Déterminer le rayon de convergence de \(\sum_{n \geq 1} \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) x^n\), puis étudier la nature de la série pour \(x = 1\) et pour \(x = -1\).
- On pose \(a_n = \left(2 + (-1)^n\right)^n\) pour tout entier \(n \geq 0\). Montrer que le rayon de \(\sum a_n x^n\) vaut \(\frac{1}{3}\), sans utiliser la règle de d’Alembert, car le quotient \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) n’a pas de limite.
Exercice 2 – Une somme obtenue par dérivation (4 points)
On considère la série entière \(\sum_{n \geq 0} \left(n^2 + n + 1\right) x^n\) et on note \(S\) sa somme sur son intervalle ouvert de convergence. La figure ci-dessous trace \(S\) ainsi que les sommes partielles \(S_3\) et \(S_8\), où \(S_N(x) = \sum_{n=0}^{N} \left(n^2 + n + 1\right) x^n\).
- Montrer que le rayon de convergence vaut \(1\).
- Justifier que, pour tout \(x \in \left]-1, 1\right[\), \(\sum_{n \geq 0} (n+1)\, x^n = \frac{1}{(1-x)^2}\) et \(\sum_{n \geq 0} (n+1)(n+2)\, x^n = \frac{2}{(1-x)^3}\).
- Trouver trois réels \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) tels que \(n^2 + n + 1 = \alpha (n+1)(n+2) + \beta (n+1) + \gamma\) pour tout \(n\), puis en déduire que \(S(x) = \frac{1 + x^2}{(1-x)^3}\).
- Calculer la somme de la série numérique \(\sum_{n \geq 0} \frac{n^2 + n + 1}{2^n}\).
- La figure suggère que les sommes partielles s’éloignent de \(S\) près de \(1\). Prouver que la convergence de \((S_N)\) vers \(S\) n’est pas uniforme sur \(\left[0, 1\right[\).
Exercice 3 – Une somme prolongée jusqu’au bord (4 points)
Pour \(x\) réel, on pose, lorsque la série converge, \(T(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{n(n+3)}\).
- Établir que le rayon de convergence de cette série entière vaut \(1\).
- Montrer que la série converge normalement sur \(\left[-1, 1\right]\), puis en déduire que \(T\) est définie et continue sur ce segment.
- Rappeler, en le justifiant par intégration terme à terme, le développement de \(\ln\frac{1}{1-x}\) sur \(\left]-1, 1\right[\). Ensuite, après avoir décomposé \(\frac{1}{n(n+3)}\) en éléments simples, prouver que pour tout \(x \in \left]-1, 1\right[\) non nul : \[T(x) = \frac{1}{3}\left(-\ln(1-x) + \frac{\ln(1-x) + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}}{x^3}\right).\]
- En déduire les valeurs de \(\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n(n+3)}\) et de \(\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n}{n(n+3)}\).
Exercice 4 – Développements à partir des séries usuelles (3 points)
- Développer en série entière la fonction \(f : x \mapsto \ln\left(x^2 – 5x + 6\right)\) au voisinage de \(0\), en factorisant d’abord le trinôme. Préciser le rayon de la série obtenue et le plus grand intervalle centré en \(0\) sur lequel l’égalité est valable.
- Soit \(g : x \mapsto \mathrm{e}^{x} \cos x\) sur \(\mathbb{R}\). Écrire \(g(x)\) comme la partie réelle de \(\mathrm{e}^{(1+i)x}\), puis montrer que \(g(x) = \sum_{n \geq 0} \frac{2^{n/2} \cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)}{n!}\, x^n\) pour tout réel \(x\). À l’aide de la figure, qui place les puissances \((1+i)^n\) pour \(0 \leq n \leq 6\), donner les coefficients de \(x^0\) à \(x^6\).
Exercice 5 – Problème : une équation à coefficients polynomiaux (6 points)
On étudie sur \(\mathbb{R}\) l’équation différentielle \[(E) : \left(1 + x^2\right) y^{\prime\prime} + 3x\, y^{\prime} + y = 0.\] On cherche ses solutions de la forme \(y(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n\), avec une série entière de rayon \(R > 0\).
- Établir que \(y\) vérifie \((E)\) sur \(\left]-R, R\right[\) exactement lorsque, pour chaque entier \(n \geq 0\), \((n+2)\, a_{n+2} = -(n+1)\, a_n\).
- On prend \(a_0 = 1\) et \(a_1 = 0\). Exprimer \(a_{2p}\) à l’aide de factorielles, puis déterminer le rayon de la série obtenue.
- Rappeler le développement de \(u \mapsto (1+u)^{-1/2}\) sur \(\left]-1, 1\right[\), puis identifier la somme \(y_1\) de la série de la question 2.
- On pose \(h(x) = \frac{\mathrm{argsh}(x)}{\sqrt{1 + x^2}}\). Vérifier que \(h\) est solution de \((E)\) sur \(\mathbb{R}\) avec \(h(0) = 0\) et \(h^{\prime}(0) = 1\). Ensuite, en considérant la solution série telle que \(a_0 = 0\) et \(a_1 = 1\), montrer que pour tout \(x \in \left]-1, 1\right[\) : \[h(x) = \sum_{p \geq 0} \frac{(-1)^p\, 4^p\, (p!)^2}{(2p+1)!}\, x^{2p+1}.\]
- En déduire que \(\sum_{p \geq 0} \frac{(-1)^p\, (p!)^2}{(2p+1)!} = \frac{4}{\sqrt{5}} \ln\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)\).
Réviser sommes de séries entières avant le contrôle
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