Moindres carrés et projection orthogonale : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « moindres carrés et projection orthogonale », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente se passe à la fin du chapitre d’algèbre bilinéaire du semestre 4. Vous montrerez d’abord qu’une forme quadratique du plan définit un produit scalaire, puis vous orthonormaliserez des polynômes par le procédé de Gram-Schmidt afin de trouver la meilleure approximation affine d’une parabole. Le troisième exercice demande une projection orthogonale dans un espace de dimension quatre, avec sa matrice et une distance. Ensuite, cinq relevés d’un capteur conduisent à la droite des moindres carrés, obtenue par les équations normales. Enfin, le problème relie la distance à un plan au déterminant de Gram et retrouve un ajustement affine sans résoudre de système.
Ce qu’évalue le contrôle : moindres carrés et projection orthogonale
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Produit scalaire et projection orthogonale (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Démontrer qu’une forme bilinéaire symétrique est un produit scalaire grâce à une réduction en carrés
- Orthonormaliser la base canonique de polynômes de degré au plus 2 par le procédé de Gram-Schmidt
- Calculer la projection orthogonale d’un vecteur sur un sous-espace, sa matrice et la distance associée
- Résoudre un problème de moindres carrés par les équations normales et interpréter la droite obtenue
- Exprimer la distance à un plan par un quotient de déterminants de Gram et l’appliquer aux moindres carrés
Avant de commencer le devoir
Commencez par vérifier soigneusement chaque axiome du produit scalaire, car la définie positivité rapporte des points faciles quand elle est bien rédigée. Dans Gram-Schmidt, calculez les intégrales des monômes une fois pour toutes, puis réutilisez-les. Pour une projection, regardez si la famille donnée est déjà orthogonale : la formule devient alors immédiate. Contrôlez ensuite chaque résultat, notamment par le théorème de Pythagore ou en testant l’orthogonalité du vecteur résidu. Enfin, gardez du temps pour le problème, qui pèse cinq points.
Le sujet du contrôle : moindres carrés et projection orthogonale
Exercice 1 – Un produit scalaire déformé (3 points)
Pour \(u = (x_1, x_2)\) et \(v = (y_1, y_2)\) dans \(\mathbb{R}^2\), on pose \(\varphi(u, v) = 2x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + 3x_2 y_2\). La figure montre l’ensemble des vecteurs \(u = (x, y)\) tels que \(\varphi(u, u) = 1\) ; ainsi, le point marqué en orange en fait partie.
- Montrer que \(\varphi\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}^2\). Pour cela, on pourra mettre \(\varphi(u, u)\) sous la forme d’une somme de carrés.
- Chercher d’abord un vecteur non nul orthogonal à \((1, 0)\) pour \(\varphi\), puis en déduire une base orthonormée de \(\left(\mathbb{R}^2, \varphi\right)\).
- Établir enfin, grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz, que \((2x + y)^2 \leq 2\left(2x^2 + 2xy + 3y^2\right)\) pour tous réels \(x\) et \(y\). Quand y a-t-il égalité ?
Exercice 2 – Gram-Schmidt pour des polynômes (4 points)
On note \(\mathbb{R}_2[X]\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels dont le degré ne dépasse pas \(2\). On le munit alors de l’application \(\langle P, Q \rangle = \int_0^2 P(t)\,Q(t)\,\mathrm{d}t\).
- Justifier que \(\langle \cdot , \cdot \rangle\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}_2[X]\).
- Appliquer ensuite le procédé de Gram-Schmidt à la base \(\left(1, X, X^2\right)\) et donner la base orthonormée obtenue.
- Calculer la distance de \(X^2\) au sous-espace \(\mathbb{R}_1[X]\). En déduire la valeur de \[m = \min_{(a, b) \in \mathbb{R}^2} \int_0^2 \left(t^2 – at – b\right)^2 \mathrm{d}t\] ainsi que le couple \((a, b)\) qui réalise ce minimum.
Exercice 3 – Projection sur un plan de dimension quatre (4 points)
Dans \(\mathbb{R}^4\) muni de son produit scalaire canonique, on considère \(v_1 = (1, 0, 1, 1)\), \(v_2 = (0, 1, 1, -1)\), le plan \(F = \mathrm{Vect}(v_1, v_2)\) et le vecteur \(u = (2, 1, 0, 3)\). On note aussi \(p_F\) la projection orthogonale sur \(F\). Le schéma rappelle la situation géométrique, mais il n’est pas à l’échelle.
- Vérifier que \((v_1, v_2)\) est une famille orthogonale, puis donner un système de deux équations cartésiennes de \(F^{\perp}\).
- Calculer \(p_F(u)\) en justifiant la formule employée.
- Donner la matrice \(P\) qui représente \(p_F\) dans la base canonique ; contrôler ensuite sa trace.
- Déterminer la distance \(d(u, F)\), puis confirmer le résultat par le théorème de Pythagore.
Exercice 4 – Cinq relevés et une droite (4 points)
Un capteur mesure la hauteur d’eau \(y\) (en cm) dans une cuve de récupération, \(x\) heures après le début d’une averse. Yanis note alors les cinq relevés suivants, représentés par les points \(M_1\) à \(M_5\).
| \(x_i\) (h) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
| \(y_i\) (cm) | \(1\) | \(2\) | \(2\) | \(4\) | \(6\) |
On cherche donc la droite d’équation \(y = a + bx\) qui minimise \(S(a, b) = \sum_{i=1}^{5} \left(y_i – a – b x_i\right)^2\). Pour cela, on note \(A\) la matrice à cinq lignes et deux colonnes dont la ligne \(i\) vaut \((1, x_i)\), \(Y\) le vecteur colonne des \(y_i\) et \(\theta\) le vecteur colonne de coordonnées \(a\) et \(b\).
- Écrire \(S(a, b)\) comme le carré d’une norme. Expliquer ensuite pourquoi le minimum est atteint lorsque \(A\theta\) est le projeté orthogonal de \(Y\) sur l’image de \(A\).
- En déduire les équations normales \(A^{\top} A \theta = A^{\top} Y\), et justifier que \(A^{\top} A\) est inversible.
- Calculer \(A^{\top} A\) et \(A^{\top} Y\), puis résoudre le système pour obtenir \(a\) et \(b\).
- Donner enfin le vecteur des résidus, vérifier qu’il est orthogonal aux colonnes de \(A\) et calculer la valeur minimale de \(S\).
Exercice 5 – Problème : distance et déterminant de Gram (5 points)
Soit \(E\) un espace euclidien. Pour des vecteurs \(w_1, \ldots, w_p\) de \(E\), on appelle matrice de Gram la matrice carrée \(G(w_1, \ldots, w_p)\) de taille \(p\) dont le coefficient \((i, j)\) vaut \(\langle w_i, w_j \rangle\). On note \(\Gamma(w_1, \ldots, w_p)\) son déterminant.
-
- Supposer la famille \((w_1, \ldots, w_p)\) liée et montrer que les colonnes de sa matrice de Gram sont liées.
- Supposer au contraire la famille libre, et prouver que sa matrice de Gram est inversible. On pourra calculer \(z^{\top} G z\) pour une colonne \(z\) du noyau.
- Soit \((e, f)\) une famille libre de \(E\), \(F = \mathrm{Vect}(e, f)\) et \(x \in E\). En écrivant \(x = p + h\), où \(p\) est le projeté orthogonal de \(x\) sur \(F\), montrer que \[d(x, F)^2 = \frac{\Gamma(e, f, x)}{\Gamma(e, f)}.\]
- Dans \(\mathbb{R}^4\) muni du produit scalaire canonique, on prend \(e = (1, 1, 1, 1)\), \(f = (0, 1, 2, 3)\) et \(x = (1, 2, 2, 4)\). Calculer \(\Gamma(e, f)\) et \(\Gamma(e, f, x)\), puis en déduire \(d(x, F)\). Sans résoudre aucun système, donner alors la plus petite valeur de \(\sum_{k=0}^{3} \left(x_{k+1} – \alpha – \beta k\right)^2\) quand \((\alpha, \beta)\) décrit \(\mathbb{R}^2\).
- Montrer, dans le cadre de la question 2, que \(\Gamma(e, f, x) \leq \|x\|^2\, \Gamma(e, f)\), et préciser le cas d’égalité.
Réviser moindres carrés et projection orthogonale avant le contrôle
La page contrôles de maths en L2 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
Télécharger ou imprimer cette fiche «moindres carrés et projection orthogonale : contrôle de maths en L2» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
