Hessienne et extrema libres en L2 de maths : exercices corrigés

---

---

Pour démarrer

Exercice 1 – Dérivées secondes et égalité de Schwarz

Soit \(f(x, y) = y^2e^{3x} + x\sin y\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Justifier que \(f\) est de classe \(C^2\) sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Calculer les quatre dérivées partielles d’ordre 2 de \(f\).
3. Vérifier l’égalité des dérivées croisées et écrire la hessienne de \(f\) en \((0, \pi)\).

Exercice 2 – Hessienne d’une fonction de trois variables

Soit \(g(x, y, z) = x^2y + yz^3 – 2xz\) sur \(\mathbb{R}^3\).

1. Calculer le gradient de \(g\).
2. Calculer la matrice hessienne de \(g\) en un point quelconque, puis en \((1, 1, 1)\).
3. Vérifier que cette matrice est symétrique et expliquer pourquoi ce n’est pas un hasard.

Exercice 3 – Développement de Taylor-Young à l’ordre deux

Soit \(f(x, y) = e^{2x}\cos y\).

1. Calculer \(\nabla f(0, 0)\) et \(H_f(0, 0)\).
2. En déduire le développement de Taylor-Young de \(f\) à l’ordre 2 en \((0, 0)\).
3. Retrouver ce résultat en multipliant les développements limités de \(e^{2x}\) et de \(\cos y\).

Exercice 4 – Minimum d’une fonction quadratique

Soit \(f(x, y) = x^2 + xy + y^2 – 3x\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Déterminer le point critique de \(f\).
2. Déterminer sa nature à l’aide de la hessienne.
3. En posant \(x = 2 + u\) et \(y = -1 + v\), montrer que ce point est un minimum global.

Exercice 5 – Trois points critiques à l’origine

Vérifier que l’origine est un point critique de chacune des fonctions suivantes, puis déterminer sa nature.

1. \(f_1(x, y) = 3x^2 – 4xy + 2y^2 + x^3\).
2. \(f_2(x, y) = x^2 + 6xy + y^2\).
3. \(f_3(x, y) = -x^2 + xy – y^2 + y^4\).

Exercice 6 – Selle de singe à l’origine

Soit \(f(x, y) = x^3 – 3xy^2\).

1. Montrer que l’origine est le seul point critique de \(f\).
2. Calculer la hessienne en \((0, 0)\). Le critère d’ordre 2 permet-il de conclure ?
3. En étudiant \(f(\tau, 0)\), montrer que l’origine n’est pas un extremum.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Dérivées croisées différentes en l’origine

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(f(x, y) = \frac{xy(2x^2 – y^2)}{x^2 + y^2}\) si \((x, y) \neq (0, 0)\) et \(f(0, 0) = 0\).

1. Calculer \(\frac{\partial f}{\partial x}(0, y)\) pour tout réel \(y\).
2. Calculer \(\frac{\partial f}{\partial y}(x, 0)\) pour tout réel \(x\).
3. En déduire les deux dérivées croisées de \(f\) en \((0, 0)\).
4. Que peut-on en conclure sur la régularité de \(f\) ?

Exercice 8 – Quatre points critiques séparés

Soit \(f(x, y) = x^3 – 3x + y^3 – 12y\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Déterminer les quatre points critiques de \(f\).
2. Déterminer la nature de chacun et la valeur de \(f\) aux extrema.
3. Ces extrema sont-ils globaux ?

Exercice 9 – Exponentielle et carré de la distance

Soit \(f(x, y) = (x^2 + y^2)e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Déterminer les points critiques de \(f\).
2. Calculer la hessienne en chacun d’eux et conclure.
3. Montrer que l’un des extrema obtenus est global.

Exercice 10 – Hessienne dégénérée et conclusion à la main

On pose \(f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 + y^4\) et \(g(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 – y^4\).

1. Montrer que l’origine est un point critique de \(f\) et de \(g\), et que le critère d’ordre 2 ne permet pas de conclure.
2. Montrer que \(f\) admet en \((0, 0)\) un minimum global strict.
3. Montrer que l’origine est un point col de \(g\).

Exercice 11 – Position par rapport au plan tangent

Soit \(f(x, y) = x^3 + xy + y^2\) et \(S\) la surface d’équation \(z = f(x, y)\).

1. Déterminer le plan tangent à \(S\) au point d’abscisses \((1, 0)\).
2. À l’aide de Taylor-Young, déterminer la position de \(S\) par rapport à ce plan au voisinage de ce point.
3. Même question au point d’abscisses \((-1, 0)\).

Exercice 12 – Extrema sur un disque fermé

Soit \(D\) le disque fermé de centre \(O\) et de rayon \(\sqrt{20}\), et \(f(x, y) = x^2 + y^2 – 2x – 4y\).

1. Justifier que \(f\) admet un minimum et un maximum sur \(D\).
2. Déterminer les points critiques de \(f\) intérieurs à \(D\).
3. Étudier \(f\) sur le cercle de rayon \(\sqrt{20}\), par exemple avec l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
4. Conclure.

Exercice 13 – Extrema sur un carré

On considère \(f(x, y) = x^2 + 2y^2 – 2xy – 2y\) sur le carré plein \(C = [0, 2]^2\). Trouver la plus petite et la plus grande valeur prises par \(f\) sur \(C\), en précisant en quels points elles sont prises.

Exercice 14 – Fonction quadratique de trois variables

Soit \(f(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 2xy – 2yz – 4x\) sur \(\mathbb{R}^3\).

1. Déterminer l’unique point critique \(a\) de \(f\).
2. Écrire la hessienne et montrer que la forme quadratique associée s’écrit \(2(u + v)^2 + 2(v – w)^2 + 4w^2\).
3. Justifier que \(f(a + h) = f(a) + \frac{1}{2}h^{\top}Hh\) exactement pour tout \(h\), puis conclure.

Exercice 15 – Droite des moindres carrés

On dispose des quatre mesures \((0, 1)\), \((1, 3)\), \((2, 4)\) et \((3, 8)\). On cherche la droite \(y = \alpha x + \beta\) qui minimise \[S(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^{4}\left(y_i – \alpha x_i – \beta\right)^2.\]

1. Calculer les dérivées partielles de \(S\) et déterminer son unique point critique.
2. Calculer la hessienne de \(S\) et en déduire la nature du point critique.
3. Justifier que ce minimum est global.

Pour approfondir

Exercice 16 – Minimum sur toute droite mais pas minimum local

Soit \(f(x, y) = (y – x^2)(y – 2x^2)\).

1. Montrer que l’origine est un point critique et que la hessienne y est dégénérée.
2. Soit \((p, q) \neq (0, 0)\). Montrer que \(\tau \mapsto f(\tau p, \tau q)\) admet un minimum local strict en \(\tau = 0\).
3. Calculer \(f\left(x, \frac{3x^2}{2}\right)\) et en déduire que \(f\) n’a pas de minimum local en l’origine.

Exercice 17 – Boîte ouverte de surface minimale

On veut fabriquer une boîte parallélépipédique sans couvercle, de volume \(32\), avec le moins de matière possible. On note \(x\) et \(y\) les côtés du fond et \(h\) la hauteur, tous strictement positifs.

1. Montrer que la surface vaut \(A(x, y) = xy + \frac{64}{x} + \frac{64}{y}\).
2. Déterminer le point critique de \(A\) sur \(]0, +\infty[^2\) et sa nature.
3. Montrer que \(A(x, y) > 48\) dès que \(x < \frac{4}{3}\), \(y < \frac{4}{3}\) ou \(xy > 48\).
4. En déduire que le minimum est global et donner les dimensions de la boîte.

Exercice 18 – Problème des quatre extrema d’une gaussienne

Soit \(f(x, y) = xy\,e^{-(x^2 + y^2)/2}\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Calculer les dérivées partielles d’ordre 1, puis les dérivées secondes, et vérifier l’égalité de Schwarz.
2. Déterminer les cinq points critiques de \(f\).
3. Déterminer la nature de chacun d’eux.
4. Montrer que \(|xy| \leqslant \frac{x^2 + y^2}{2}\), puis que \(u e^{-u} \leqslant e^{-1}\) pour tout \(u \geqslant 0\).
5. En déduire les extrema globaux de \(f\) sur \(\mathbb{R}^2\).

Exercice 19 – Problème du principe du maximum

On note \(\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\) le laplacien d’une fonction \(f\) de classe \(C^2\). On dit que \(f\) est harmonique si \(\Delta f = 0\).

1. Soit \(f\) de classe \(C^2\) sur un ouvert \(U\), admettant un maximum local en \(a \in U\). Montrer que \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a) \leqslant 0\) et \(\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a) \leqslant 0\).
2. En déduire que si \(\Delta f > 0\) sur \(U\), alors \(f\) n’a aucun maximum local sur \(U\).
3. Soit \(D\) le disque unité fermé, \(\Gamma\) le cercle unité, et \(f\) continue sur \(D\), de classe \(C^2\) et harmonique à l’intérieur. Pour \(\varepsilon > 0\), on pose \(g_\varepsilon(x, y) = f(x, y) + \varepsilon(x^2 + y^2)\). Montrer que le maximum de \(g_\varepsilon\) sur \(D\) est atteint sur \(\Gamma\).
4. En déduire que le maximum de \(f\) sur \(D\) est égal à son maximum sur \(\Gamma\).
5. Vérifier que \(f(x, y) = x^2 – y^2 + 3x\) est harmonique, puis déterminer son maximum et son minimum sur \(D\).

Pour aller plus loin

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «hessienne et extrema libres en L2 de maths : exercices corrigés» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

---

OK

 Maths PDF c'est 16 224 758 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.