Banach et opérateurs continus en L3 de maths : cours et méthodes

Une norme sur un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) est une application \(N : E \to [0, +\infty[\) telle que, pour tous \(x, y \in E\) et \(\lambda \in \mathbb{K}\) :

• séparation : \(N(x) = 0\) entraîne \(x = 0\) ;
• homogénéité : \(N(\lambda x) = |\lambda|\, N(x)\) ;
• sous-additivité : \(N(x + y) \leqslant N(x) + N(y)\).

On parle alors d’espace vectoriel normé \((E, N)\), et \(d(x, y) = N(x – y)\) en fait un espace métrique.

On dit que \(N\) et \(N^{\prime}\), normes sur \(E\), sont équivalentes lorsque l’on peut trouver \(\alpha > 0\) et \(\beta > 0\) avec

\[\alpha\, N(x) \leqslant N^{\prime}(x) \leqslant \beta\, N(x) \qquad \text{pour tout } x \in E.\]

Sur \(\mathbb{K}^n\), on a \(\|x\|_\infty \leqslant \|x\|_1 \leqslant n\|x\|_\infty\). En effet, le plus grand des \(|x_i|\) figure dans la somme, et chaque terme de la somme est au plus égal à ce maximum. L’égalité de gauche a lieu pour \(x = (1, 0, \dots, 0)\), celle de droite pour \(x = (1, 1, \dots, 1)\). Les constantes \(1\) et \(n\) sont donc optimales.

Pour prouver que deux normes \(N\) et \(N^{\prime}\) ne sont pas équivalentes :

1. chercher une suite \((x_k)\) de vecteurs non nuls ;
2. calculer le quotient \(N^{\prime}(x_k) / N(x_k)\) ;
3. montrer qu’il tend vers \(+\infty\) ou vers \(0\) ; aucune constante \(\beta\), ou aucune constante \(\alpha\), ne peut alors convenir.

Sur \(C([0,1])\), on compare \(\|f\|_\infty = \sup_{[0,1]} |f|\) et \(\|f\|_1 = \int_0^1 |f(t)|\,dt\). D’abord, \(\|f\|_1 \leqslant \|f\|_\infty\) pour toute \(f\). Prenons ensuite \(f_k(t) = e^{-kt}\). On trouve \(\|f_k\|_\infty = 1\) et \(\|f_k\|_1 = \frac{1 – e^{-k}}{k}\). Le quotient \(\|f_k\|_\infty / \|f_k\|_1\) tend vers \(+\infty\). Ainsi aucune inégalité \(\|f\|_\infty \leqslant \beta \|f\|_1\) n’est possible : les deux normes ne sont pas équivalentes.

• \(\ell^1\) est l’espace des suites \(x = (x_j)_{j \geqslant 1}\) de scalaires telles que \(\sum_j |x_j| < +\infty\), normé par \(\|x\|_1 = \sum_{j \geqslant 1} |x_j|\).
• \(\ell^\infty\) est l’espace des suites bornées, normé par \(\|x\|_\infty = \sup_{j} |x_j|\).
• \(C([a,b])\) est l’espace des fonctions continues sur le segment \([a,b]\), normé par \(\|f\|_\infty = \max_{[a,b]} |f|\).

Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet, c’est-à-dire dans lequel toute suite de Cauchy converge.

Les espaces \((\ell^1, \|\cdot\|_1)\), \((\ell^\infty, \|\cdot\|_\infty)\) et \((C([a,b]), \|\cdot\|_\infty)\) sont des espaces de Banach.

Nous traitons \(\ell^1\) en détail ; les deux autres cas suivent le même schéma en trois temps.

Candidat limite. Soit \((x^{(k)})_k\) une suite de Cauchy dans \(\ell^1\). Pour chaque indice \(j\), on a \(|x^{(k)}_j – x^{(m)}_j| \leqslant \|x^{(k)} – x^{(m)}\|_1\). La suite numérique \((x^{(k)}_j)_k\) est donc de Cauchy dans \(\mathbb{K}\), complet. Elle converge vers un scalaire \(y_j\).

Contrôle des sommes finies. Fixons \(\varepsilon > 0\) et \(K\) tel que \(\|x^{(k)} – x^{(m)}\|_1 \leqslant \varepsilon\) pour \(k, m \geqslant K\). Pour tout entier \(J\), on a alors \(\sum_{j=1}^{J} |x^{(k)}_j – x^{(m)}_j| \leqslant \varepsilon\). On fait tendre \(m\) vers l’infini dans cette somme finie : \(\sum_{j=1}^{J} |x^{(k)}_j – y_j| \leqslant \varepsilon\).

Conclusion. Cette borne ne dépend pas de \(J\). Donc \(x^{(k)} – y \in \ell^1\), puis \(y = x^{(k)} – (x^{(k)} – y) \in \ell^1\). Enfin \(\|x^{(k)} – y\|_1 \leqslant \varepsilon\) pour \(k \geqslant K\), ce qui prouve la convergence en norme.

Pour \(C([a,b])\), le candidat est la limite simple, et la même majoration montre que la convergence est uniforme. Une limite uniforme de fonctions continues est continue, ce qui conclut.

L’espace \(C([0,1])\) muni de \(\|\cdot\|_1\) n’est pas complet. On pose \(g_k(t) = \max\big(-1, \min(1, k(3t – 1))\big)\), et \(s\) la fonction égale à \(-1\) sur \([0, \frac{1}{3}[\) et à \(1\) sur \(]\frac{1}{3}, 1]\). Les fonctions \(g_k\) et \(s\) ne diffèrent que sur un intervalle de longueur \(\frac{2}{3k}\), où l’écart dessine deux triangles. Ainsi \(\int_0^1 |g_k – s| = \frac{1}{3k}\).

Par l’inégalité triangulaire, \((g_k)\) est de Cauchy pour \(\|\cdot\|_1\). Supposons qu’elle converge vers une fonction continue \(g\). Alors \(\int_0^1 |g – s| = 0\). Sur \([0, \frac{1}{3}[\), la fonction \(|g – s|\) est continue et positive d’intégrale nulle, donc \(g = -1\) ; de même \(g = 1\) sur \(]\frac{1}{3}, 1]\). Cela contredit la continuité de \(g\) en \(\frac{1}{3}\).

Dans un espace de Banach, un sous-espace vectoriel est complet si et seulement s’il est fermé. Par exemple, l’espace \(c_0\) des suites de limite nulle est fermé dans \(\ell^\infty\), donc c’est un Banach.

Un espace normé \(E\) est de Banach si et seulement si toute série \(\sum u_k\) de \(E\) telle que \(\sum \|u_k\| < +\infty\) converge dans \(E\). Dans ce cas, \(\big\|\sum_{k=0}^{\infty} u_k\big\| \leqslant \sum_{k=0}^{\infty} \|u_k\|\).

Supposons \(E\) complet et notons \(S_m = \sum_{k \leqslant m} u_k\). Pour \(m > p\), l’inégalité triangulaire donne \(\|S_m – S_p\| \leqslant \sum_{k=p+1}^{m} \|u_k\|\). Ce majorant est un reste de série convergente. Ainsi \((S_m)\) est de Cauchy, donc converge.

Dans l’autre sens, partons de \((x_k)\) vérifiant le critère de Cauchy. Le critère permet de choisir, de proche en proche, des rangs \(\varphi(0) < \varphi(1) < \cdots\) avec \(\|x_p – x_q\| \leqslant 2^{-i}\) dès que \(p, q \geqslant \varphi(i)\). La série de terme \(u_i = x_{\varphi(i+1)} – x_{\varphi(i)}\) vérifie \(\|u_i\| \leqslant 2^{-i}\). Elle converge par hypothèse, donc la sous-suite \((x_{\varphi(i)})\) converge. Pour finir, on rappelle le lemme du chapitre précédent : dès qu’une sous-suite d’une suite de Cauchy a une limite, la suite entière tend vers cette limite.

Dans \(C([0,1])\), considérons \(u_k(t) = \frac{t^k}{k^2 + 1}\). On a \(\|u_k\|_\infty = \frac{1}{k^2 + 1}\), terme d’une série convergente. Comme \(C([0,1])\) est de Banach, la série \(\sum u_k\) converge uniformément vers une fonction continue \(S\). De plus, \(\|S\|_\infty \leqslant \sum_{k \geqslant 0} \frac{1}{k^2 + 1}\), et cette borne est atteinte en \(t = 1\).

On se donne une application linéaire \(T\) entre deux espaces normés \(E\) et \(F\). Quatre propriétés reviennent au même :

1. \(T\) est continue sur \(E\) ;
2. \(T\) est continue en \(0\) ;
3. une constante \(C \geqslant 0\) vérifie \(\|T(x)\| \leqslant C\|x\|\) pour chaque \(x \in E\) ;
4. \(T\) est lipschitzienne.

Le passage de 1 à 2 est immédiat. Pour passer de 2 à 3, on applique la continuité en \(0\) avec \(\varepsilon = 1\). Elle fournit \(\delta > 0\) tel que \(\|x\| \leqslant \delta\) entraîne \(\|T(x)\| \leqslant 1\). Pour \(x \neq 0\), le vecteur \(\frac{\delta}{\|x\|}x\) est de norme \(\delta\). Par linéarité, \(\|T(x)\| \leqslant \frac{1}{\delta}\|x\|\).

Ensuite, 3 donne 4 car \(\|T(x) – T(y)\| = \|T(x – y)\| \leqslant C\|x – y\|\). Enfin, une application lipschitzienne est continue.

L’ensemble \(\mathcal{L}_c(E, F)\) réunit les opérateurs linéaires continus de \(E\) vers \(F\) ; c’est un espace vectoriel. À chacun de ses éléments \(T\), on associe la norme subordonnée

\[\|T\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|T(x)\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\| \leqslant 1} \|T(x)\|.\]

C’est la plus petite constante \(C\) qui convient dans le point 3. De plus, \(\|S \circ T\| \leqslant \|S\|\,\|T\|\) lorsque la composée a un sens.

Si \(F\) est un espace de Banach, alors \(\mathcal{L}_c(E, F)\), muni de la norme subordonnée, est un espace de Banach.

Soit \((T_k)\) une suite de Cauchy. Pour chaque \(x\), on a \(\|T_k(x) – T_m(x)\| \leqslant \|T_k – T_m\|\,\|x\|\). La suite \((T_k(x))\) est donc de Cauchy dans \(F\), et elle converge vers un vecteur noté \(T(x)\). La linéarité de \(T\) passe à la limite.

Fixons \(\varepsilon > 0\) et \(K\) tel que \(\|T_k – T_m\| \leqslant \varepsilon\) pour \(k, m \geqslant K\). Pour \(\|x\| \leqslant 1\), on obtient \(\|T_k(x) – T_m(x)\| \leqslant \varepsilon\). On fait tendre \(m\) vers l’infini : \(\|T_k(x) – T(x)\| \leqslant \varepsilon\). Ainsi \(T_k – T\) est bornée sur la boule, donc continue, puis \(T = T_k – (T_k – T)\) l’est aussi. Enfin, \(\|T_k – T\| \leqslant \varepsilon\) pour \(k \geqslant K\).

1. Majorer \(\|T(x)\|\) par \(C\|x\|\) pour tout \(x\), avec une constante \(C\) aussi fine que possible ; on obtient \(\|T\| \leqslant C\).
2. Chercher un vecteur \(x_0 \neq 0\) tel que \(\|T(x_0)\| = C\|x_0\|\) ; alors \(\|T\| = C\) et la norme est atteinte.
3. À défaut, construire une suite \((x_k)\) de vecteurs unitaires avec \(\|T(x_k)\| \to C\).
4. Pour prouver que la norme n’est pas atteinte, supposer \(\|T(x)\| = C\) avec \(\|x\| = 1\) et aboutir à une contradiction.

Sur \(C([0,1])\), soit \(h(t) = t(1 – t)\) et \(M(f) = hf\). Pour toute \(f\), on a \(|h(t) f(t)| \leqslant \frac{1}{4}\|f\|_\infty\), car \(h\) atteint son maximum \(\frac{1}{4}\) en \(\frac{1}{2}\). Donc \(\|M\| \leqslant \frac{1}{4}\). La fonction constante \(f = 1\) donne \(\|M(1)\|_\infty = \frac{1}{4}\). Ainsi \(\|M\| = \frac{1}{4}\), et la norme est atteinte.

Sur \(C([0,1])\), soit \(\varphi(f) = \int_0^1 f(t)\cos(\pi t)\,dt\). D’abord, \(|\varphi(f)| \leqslant \|f\|_\infty \int_0^1 |\cos(\pi t)|\,dt = \frac{2}{\pi}\|f\|_\infty\). Pour approcher cette borne, on pose \(f_k = \max\big(-1, \min(1, k\cos(\pi t))\big)\). Ces fonctions sont continues, de norme \(1\). De plus, l’écart \(|\cos(\pi t)| – f_k(t)\cos(\pi t)\) est nul là où \(|\cos(\pi t)| \geqslant \frac{1}{k}\), et compris entre \(0\) et \(\frac{1}{k}\) ailleurs. On en déduit \(\varphi(f_k) \to \frac{2}{\pi}\), donc \(\|\varphi\| = \frac{2}{\pi}\).

Supposons maintenant \(\|f\|_\infty \leqslant 1\) et \(\varphi(f) = \frac{2}{\pi}\). La fonction continue \(|\cos(\pi t)| – f(t)\cos(\pi t)\) est positive d’intégrale nulle, donc nulle. Ainsi \(f = 1\) sur \([0, \frac{1}{2}[\) et \(f = -1\) sur \(]\frac{1}{2}, 1]\), ce qui contredit la continuité. La norme de \(\varphi\) n’est pas atteinte.

Munissons \(C^1([0,1])\) et \(C([0,1])\) de la norme \(\|\cdot\|_\infty\), et soit \(D(f) = f^{\prime}\). Pour \(k \geqslant 2\), on pose \(f_k(t) = \frac{\cos(kt)}{\sqrt{k}}\). D’une part, \(\|f_k\|_\infty = \frac{1}{\sqrt{k}}\) tend vers \(0\). D’autre part, \(f_k^{\prime}(t) = -\sqrt{k}\sin(kt)\), et \(kt\) atteint \(\frac{\pi}{2}\) sur \([0,1]\), donc \(\|D(f_k)\|_\infty = \sqrt{k}\). Les images ne tendent pas vers \(0\). La dérivation n’est donc pas continue pour ces normes.

Série de Neumann. Soit \(E\) un espace de Banach et \(T \in \mathcal{L}_c(E)\) tel que \(\|T\| < 1\). Alors \(\mathrm{id}_E – T\) est inversible dans \(\mathcal{L}_c(E)\), d’inverse \(\sum_{k \geqslant 0} T^k\), et \(\|(\mathrm{id}_E – T)^{-1}\| \leqslant \frac{1}{1 – \|T\|}\).

On a \(\|T^k\| \leqslant \|T\|^k\), terme d’une série géométrique convergente. Comme \(\mathcal{L}_c(E)\) est de Banach, la série \(\sum T^k\) converge vers un opérateur \(S\), avec \(\|S\| \leqslant \frac{1}{1 – \|T\|}\). Ensuite, \((\mathrm{id}_E – T)\sum_{k=0}^{m} T^k = \mathrm{id}_E – T^{m+1}\), et \(T^{m+1} \to 0\). En passant à la limite, \((\mathrm{id}_E – T)S = \mathrm{id}_E\), et de même \(S(\mathrm{id}_E – T) = \mathrm{id}_E\).

Si \(\dim E = n < +\infty\), deux normes quelconques sur \(E\) se comparent toujours dans les deux sens : elles sont équivalentes.

Fixons une base \((e_1, \dots, e_n)\) et notons \(\|x\|_\infty = \max_i |x_i|\) pour \(x = \sum_i x_i e_i\). Il suffit de comparer une norme \(N\) quelconque à celle-ci.

Majoration. L’inégalité triangulaire donne \(N(x) \leqslant \sum_i |x_i| N(e_i) \leqslant \beta \|x\|_\infty\), avec \(\beta = \sum_i N(e_i)\). En particulier, \(|N(x) – N(y)| \leqslant N(x – y) \leqslant \beta\|x – y\|_\infty\) : la fonction \(N\) est continue pour \(\|\cdot\|_\infty\).

Minoration. La sphère \(S = \{x : \|x\|_\infty = 1\}\) est fermée et bornée dans \(\mathbb{K}^n\), donc compacte. La fonction continue \(N\) y atteint son minimum \(\alpha\), qui est strictement positif car \(N\) ne s’annule pas sur \(S\). Par homogénéité, \(N(x) \geqslant \alpha \|x\|_\infty\) pour tout \(x\).

• Un espace normé de dimension finie est complet ; par suite, dans un espace normé quelconque, un sous-espace de dimension finie est toujours fermé.
• Lorsque \(\dim E < +\infty\), chaque application linéaire \(T : E \to F\) est continue, quel que soit l’espace normé d’arrivée \(F\).
• Dans un espace normé de dimension finie, les parties compactes sont les fermés bornés.

Prenons \(B : E_1 \times \cdots \times E_p \to F\), linéaire par rapport à chacune de ses \(p\) variables, tous les espaces étant normés. Pour que \(B\) soit continue, il faut et il suffit qu’une constante \(C \geqslant 0\) donne

\[\|B(x_1, \dots, x_p)\| \leqslant C\, \|x_1\| \cdots \|x_p\| \qquad \text{pour tous } x_i \in E_i.\]

La plus petite constante \(C\) est la norme de \(B\). En dimension finie, toute application multilinéaire est continue.

Traitons \(p = 2\). Si \(B\) est continue en \((0, 0)\), il existe \(\delta > 0\) tel que \(\|x\|, \|y\| \leqslant \delta\) entraîne \(\|B(x, y)\| \leqslant 1\). Pour \(x, y\) non nuls, on applique ceci à \(\frac{\delta x}{\|x\|}\) et \(\frac{\delta y}{\|y\|}\). La bilinéarité donne \(\|B(x, y)\| \leqslant \delta^{-2}\|x\|\,\|y\|\).

Réciproquement, on écrit \(B(x, y) – B(a, b) = B(x – a, y) + B(a, y – b)\). On obtient \(\|B(x, y) – B(a, b)\| \leqslant C\big(\|x – a\|\,\|y\| + \|a\|\,\|y – b\|\big)\), qui tend vers \(0\) quand \((x, y) \to (a, b)\).

Sur \(C([0,1])\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\), on définit \(B(f, g)(x) = \int_0^x f(t)\, g(x – t)\,dt\). Pour tout \(x \in [0,1]\), on a \(|B(f, g)(x)| \leqslant x\,\|f\|_\infty \|g\|_\infty \leqslant \|f\|_\infty \|g\|_\infty\). Donc \(B\) est bilinéaire continue, de norme au plus \(1\). Avec \(f = g = 1\), on trouve \(B(1, 1)(x) = x\), de norme \(1\). Ainsi \(\|B\| = 1\).

Lemme de Riesz. On considère un sous-espace \(F\) fermé et strict de \(E\), ainsi qu’un réel \(\varepsilon \in \, ]0, 1[\). Alors on peut trouver \(x \in E\) tel que \(\|x\| = 1\) et \(d(x, F) \geqslant 1 – \varepsilon\).

Choisissons \(a \notin F\). Comme \(F\) est fermé, \(d = d(a, F) > 0\). Or \(\frac{d}{1 – \varepsilon} > d\), donc ce nombre ne minore pas les distances de \(a\) aux points de \(F\) : on dispose de \(f_0 \in F\) avec \(\|a – f_0\| \leqslant \frac{d}{1 – \varepsilon}\). On pose \(x = \frac{a – f_0}{\|a – f_0\|}\), de norme \(1\).

Pour \(f \in F\), le vecteur \(f_0 + \|a – f_0\|\, f\) appartient à \(F\). Par conséquent,

\[\|x – f\| = \frac{\big\|a – (f_0 + \|a – f_0\|\, f)\big\|}{\|a – f_0\|} \geqslant \frac{d}{\|a – f_0\|} \geqslant 1 – \varepsilon.\]

Théorème de Riesz. Pour un espace normé \(E\), la compacité de \(\overline{B}(0, 1)\) équivaut à \(\dim E < +\infty\).

En dimension finie, la boule fermée est fermée et bornée, donc compacte d’après le corollaire de la partie 5.

Supposons \(E\) de dimension infinie. Nous construisons des vecteurs unitaires \(x_1, x_2, \dots\) tels que \(\|x_m – x_k\| \geqslant \frac{1}{2}\) pour \(m \neq k\). On part de \(x_1\) unitaire quelconque. Ensuite, le sous-espace \(F_k = \mathrm{Vect}(x_1, \dots, x_k)\), de dimension \(k\), est fermé par la partie 5 ; il ne remplit pas \(E\). Le lemme appliqué avec \(\varepsilon = \frac{1}{2}\) donne \(x_{k+1}\) unitaire à distance au moins \(\frac{1}{2}\) de \(F_k\). Deux termes distincts restent toujours écartés d’au moins \(\frac{1}{2}\). Ainsi nulle sous-suite ne vérifie le critère de Cauchy, et la suite \((x_k)\), pourtant bornée, n’admet aucune valeur d’adhérence : \(\overline{B}(0, 1)\) n’est pas compacte.

Dans \(\ell^1\), les vecteurs \(e_k\) sont unitaires et vérifient \(\|e_k – e_m\|_1 = 2\) pour \(k \neq m\). Cette suite bornée n’a donc aucune sous-suite convergente. On voit ici directement que la boule unité de \(\ell^1\) n’est pas compacte, sans passer par le lemme.

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