Compacité séquentielle et connexité en L3 de maths : exercices corrigés

---

---

Pour démarrer

Exercice 1 – Une suite convergente et sa limite

Soit \((X,d)\) un espace métrique et \((u_k)\) une suite de \(X\) qui converge vers \(\ell\). On pose \(K=\{u_k : k\in\mathbb{N}\}\cup\{\ell\}\).

1. Prouver que \(K\) est séquentiellement compact.
2. Ensuite, établir directement que \(K\) vérifie la propriété de Borel-Lebesgue.
3. Dans \(\mathbb{R}\), on prend \(u_k=\tfrac{1}{k+1}\). La partie \(\{u_k : k\in\mathbb{N}\}\) est-elle compacte ?

Exercice 2 – Compacts du plan ou non

Pour chaque partie ci-dessous du plan, décider si elle est compacte et le justifier.

1. La partie \(A=\{(x,y) : x^2\leqslant y\leqslant2-x^2\}\).
2. Ensuite, \(B=\{(x,y) : x>0,\ xy\geqslant1\}\).
3. Puis le graphe \(C=\{(x,\sin\tfrac1x) : 0<x\leqslant1\}\).
4. Enfin, la courbe \(D=\{(x,y) : x^4+y^4=1\}\).

Exercice 3 – Recouvrements sans sous-recouvrement fini

1. Pour \(k\geqslant1\), on pose \(V_k=\,]-1,k[\). Vérifier que les \(V_k\) recouvrent \([0,+\infty[\) et qu’aucune sous-famille finie ne suffit.
2. Construire de même un recouvrement ouvert de \(]-1,1[\) sans sous-recouvrement fini.
3. Montrer qu’une partie finie d’un espace métrique vérifie toujours la propriété de Borel-Lebesgue.

Exercice 4 – Parties non connexes de R

1. Construire une fonction continue et non constante de \([0,1]\cup[2,3]\) dans \(\{0,1\}\). Conclure.
2. De même, montrer que \(\mathbb{Q}\) n’est pas connexe, à l’aide de \(\sqrt2\).
3. Soit enfin \(f : [0,1]\to\mathbb{R}\) continue. Justifier que \(f([0,1])\) est un segment.

Exercice 5 – Points fixes et racines par valeurs intermédiaires

1. Soit \(f : [0,1]\to[0,1]\) continue. Prouver que \(f\) admet un point fixe.
2. Ensuite, montrer que le polynôme \(P(x)=x^5-3x+1\) possède au moins trois racines réelles, en localisant chacune dans un intervalle d’extrémités entières.

Exercice 6 – Chemins dans le cercle et la couronne

On note \(\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C} : |z|=1\}\) et \(C=\{z\in\mathbb{C} : 1\leqslant|z|\leqslant2\}\).

1. Pour \(a=e^{i\alpha}\) et \(b=e^{i\beta}\), construire un chemin explicite de \(a\) à \(b\) dans \(\mathbb{U}\).
2. Construire de même un chemin entre deux points quelconques de \(C\). Conclure que \(C\) est connexe.
3. La couronne \(C\) est-elle convexe ? On pourra s’aider de la figure.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Maximum d’une fonction radiale sur le plan

On pose \(g(x,y)=(x^2+y^2)\,e^{-(x^2+y^2)}\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Calculer \(g(1,0)\), puis établir l’existence d’un réel \(R>0\) tel que \(g(x,y)<g(1,0)\) dès que \(x^2+y^2>R^2\).
2. En déduire, sans dériver, que \(g\) atteint un maximum sur \(\mathbb{R}^2\).
3. Calculer ce maximum et l’ensemble des points où il est atteint. Déterminer aussi le minimum de \(g\).

Exercice 8 – Distance entre un compact et un fermé

Dans un espace métrique \((X,d)\), on note \(d(x,F)=\inf\{d(x,y) : y\in F\}\) pour \(F\) non vide.

1. Établir l’inégalité \(|d(x,F)-d(x^{\prime},F)|\leqslant d(x,x^{\prime})\), et rappeler pourquoi \(d(x,F)=0\) équivaut à \(x\in F\) lorsque \(F\) est fermé.
2. Soit \(K\) compact non vide et \(F\) fermé non vide, disjoints. Prouver que \(\inf\{d(x,y) : x\in K,\ y\in F\}>0\).
3. Dans \(\mathbb{R}^2\), exhiber deux fermés disjoints et non vides dont la distance est nulle.

Exercice 9 – Continuité uniforme sur une demi-droite

1. Prouver que la racine carrée est uniformément continue sur \([0,+\infty[\), en combinant le théorème de Heine sur \([0,2]\) et une inégalité de Lipschitz sur \([1,+\infty[\).
2. En revanche, montrer que \(x\mapsto x^2\) n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).
3. Même question pour \(x\mapsto\sin(x^2)\), à l’aide des suites \(\sqrt{k\pi}\) et \(\sqrt{k\pi+\pi/2}\).

Exercice 10 – Fonction ayant une limite à l’infini

Soit \(f : [0,+\infty[\to\mathbb{R}\) continue, admettant une limite finie \(\ell\) en \(+\infty\).

1. Prouver que \(f\) est uniformément continue.
2. Appliquer ce résultat à \(h(x)=\dfrac{\sin(x^3)}{1+x}\).
3. Enfin, montrer que \(h\) n’est pas lipschitzienne, en étudiant \(h^{\prime}\) aux points \(x_k=(2k\pi)^{1/3}\).

Exercice 11 – Point fixe d’une application strictement contractante

Soit \((K,d)\) un espace métrique compact et \(f : K\to K\) telle que \(d(f(x),f(y))<d(x,y)\) pour tous \(x\neq y\).

1. Prouver que \(\varphi(x)=d(x,f(x))\) est continue sur \(K\) et qu’elle atteint un minimum.
2. En déduire que \(f\) admet un unique point fixe.
3. Vérifier que \(f(x)=x-\tfrac{x^2}{2}\) envoie \([0,1]\) dans lui-même et satisfait l’hypothèse, sans être une contraction au sens de Banach.
4. Enfin, montrer que \(g(x)=x+\tfrac1x\) vérifie l’inégalité stricte sur \([1,+\infty[\) mais n’a pas de point fixe. Quelle hypothèse manque ?

Exercice 12 – Produits et graphes connexes par arcs

1. Soit \(A\) et \(B\) connexes par arcs, dans deux espaces métriques. Prouver que \(A\times B\) est connexe par arcs.
2. Considérons ensuite un intervalle \(I\) et \(f : I\to\mathbb{R}\) continue. Montrer que le graphe de \(f\) est connexe par arcs.
3. En déduire que \(\{(x,\sin\tfrac1x) : 0<x\leqslant1\}\) est connexe.

Exercice 13 – Connexité de quelques ensembles de matrices

1. Montrer que \(GL_n(\mathbb{R})\) n’est pas connexe.
2. Ensuite, établir que l’ensemble \(T_n^{+}\) des matrices triangulaires supérieures à coefficients diagonaux strictement positifs est connexe par arcs.
3. Enfin, justifier que \(SO_2(\mathbb{R})=\Big\{\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} : \theta\in\mathbb{R}\Big\}\) est connexe par arcs et compact.

Exercice 14 – Espaces non homéomorphes

1. Établir qu’aucun homéomorphisme n’existe entre le segment \([0,1]\) et le cercle \(\mathbb{U}\), en retirant un point bien choisi.
2. De même, montrer que \([0,1[\) et \(]0,1[\) ne sont pas homéomorphes.
3. Enfin, justifier que \(\mathbb{R}\) et \([0,1]\) ne le sont pas non plus.

Exercice 15 – Points antipodaux de même valeur

Soit \(f : \mathbb{U}\to\mathbb{R}\) continue.

1. On pose \(g(z)=f(z)-f(-z)\). Calculer \(g(-z)\) en fonction de \(g(z)\).
2. En déduire qu’il existe \(z\in\mathbb{U}\) tel que \(f(z)=f(-z)\).
3. Interpréter ce résultat avec la température le long de l’équateur.

Pour approfondir

Exercice 16 – Nombre de Lebesgue et précompacité

Soit \((X,d)\) un espace métrique séquentiellement compact.

1. Soit \((U_i)_{i\in I}\) un recouvrement ouvert de \(X\). Montrer qu’il existe \(\rho>0\) tel que toute boule \(B(x,\rho)\) soit contenue dans l’un des \(U_i\).
2. Ensuite, montrer que, pour tout \(r>0\), il existe une famille finie de boules de rayon \(r\) dont la réunion est \(X\).
3. En déduire que \(X\) vérifie la propriété de Borel-Lebesgue.
4. Dans \(X=[0,2]\), on considère le recouvrement \(U_1=[0,1[\), \(U_2=\,]\tfrac12,2]\), ouverts de \(X\). Prouver que \(\rho=\tfrac14\) est un nombre de Lebesgue et qu’aucun \(\rho>\tfrac14\) ne convient.

Exercice 17 – Compacité dans l’espace des suites de carré sommable

Soit \(\ell^2\) l’ensemble des suites réelles \(x=(x_k)_{k\geqslant1}\) vérifiant \(\sum x_k^2<+\infty\), normé par \(\|x\|_2=\big(\sum x_k^2\big)^{1/2}\). On admet que \(\ell^2\) est complet, et qu’un espace métrique complet et précompact est compact.

1. Prouver qu’un espace métrique compact est complet et précompact.
2. Montrer que la boule fermée de centre 0 et de rayon 1 dans \(\ell^2\) n’est pas compacte.
3. On pose \(Q=\{x\in\ell^2 : |x_k|\leqslant2^{-k}\ \text{pour tout}\ k\}\). Prouver que \(Q\) est fermé dans \(\ell^2\).
4. Soit \(\varepsilon>0\). Choisir \(N\) tel que \(\sum_{k>N}4^{-k}\leqslant\tfrac{\varepsilon^2}{4}\), puis prouver que \(Q\) est contenu dans une réunion finie de boules de rayon \(\varepsilon\). Conclure que \(Q\) est compact.

Exercice 18 – Le sinus du topologue

On pose \(G=\{(x,\sin\tfrac1x) : 0<x\leqslant1\}\) dans \(\mathbb{R}^2\).

1. D’abord, montrer que l’adhérence de \(G\) est \(\overline{G}=G\cup(\{0\}\times[-1,1])\).
2. Ensuite, justifier que \(\overline{G}\) est connexe et compact.
3. On suppose qu’il existe un chemin \(\gamma=(\gamma_1,\gamma_2)\) dans \(\overline{G}\) de \((0,0)\) à \((1,\sin1)\). On pose \(t_0=\sup\{t\in[0,1] : \gamma_1(t)=0\}\). Prouver que \(\gamma_1(t_0)=0\), que \(t_0<1\) et que \(\gamma_1(t)>0\) pour \(t>t_0\).
4. Montrer enfin que, pour tout \(\delta>0\), la fonction \(\gamma_2\) prend les valeurs 1 et \(-1\) sur \([t_0,t_0+\delta]\). Conclure que \(\overline{G}\) n’est pas connexe par arcs.

Exercice 19 – Problème sur le théorème de Dini

Soit \(K\) un espace métrique compact et \((f_k)\) une suite croissante de fonctions continues de \(K\) dans \(\mathbb{R}\), qui converge simplement vers une fonction continue \(f\).

Partie A : le théorème.

1. Soit \(\varepsilon>0\). On pose \(U_k=\{x\in K : f(x)-f_k(x)<\varepsilon\}\). Prouver que les \(U_k\) sont des ouverts de \(K\), croissants pour l’inclusion, qui recouvrent \(K\).
2. Grâce à la propriété de Borel-Lebesgue, obtenir un entier \(N\) tel que \(U_N=K\).
3. En déduire que \((f_k)\) converge uniformément vers \(f\) sur \(K\).

Partie B : les hypothèses comptent. La figure montre quelques fonctions \(g_k\) définies ci-dessous.

1. Sur \([0,1[\), on pose \(g_k(x)=1-x^k\). Vérifier que \((g_k)\) est croissante, converge simplement vers une fonction continue, mais pas uniformément.
2. Quelle hypothèse du théorème manque ? Que se passe-t-il si l’on remplace \([0,1[\) par \([0,1]\) ?

Partie C : une application. Sur \([0,1]\), on définit des polynômes par \(p_0=0\) et \(p_{k+1}(x)=p_k(x)+\tfrac12\big(x-p_k(x)^2\big)\).

1. Vérifier l’identité \(\sqrt x-p_{k+1}(x)=\big(\sqrt x-p_k(x)\big)\Big(1-\dfrac{\sqrt x+p_k(x)}{2}\Big)\).
2. En déduire par récurrence que \(0\leqslant p_k(x)\leqslant\sqrt x\), puis que la suite \((p_k(x))\) est croissante.
3. Conclure, par le théorème de la partie A, que \((p_k)\) converge uniformément vers la racine carrée sur \([0,1]\).

Pour aller plus loin

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «compacité séquentielle et connexité en L3 de maths : exercices corrigés» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

---

OK

 Maths PDF c'est 16 224 615 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.