Distances équivalentes et homéomorphismes : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « distances équivalentes et homéomorphismes », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente ouvre le semestre 5 de L3 et porte sur la topologie des espaces métriques. Il se place après les premiers cours, avant la complétude. Vous commencerez par vérifier les axiomes d’une distance sur trois exemples de la droite réelle, puis vous dessinerez des boules pour plusieurs distances du plan. Ensuite, vous calculerez un intérieur et une adhérence, et vous comparerez deux distances sur un espace de suites. Enfin, le problème construit un homéomorphisme explicite entre le disque ouvert et le plan. Ainsi, le sujet distingue avec soin distances équivalentes et distances qui définissent seulement les mêmes ouverts.
Ce qu’évalue le contrôle : distances équivalentes et homéomorphismes
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée1 heure 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Distances, topologie métrique et continuité (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Vérifier les axiomes d’une distance ou exhiber un triplet de points qui met en défaut l’inégalité triangulaire
- Comparer deux distances par des inégalités, et distinguer équivalence forte et équivalence topologique
- Dessiner des boules pour plusieurs distances du plan, y compris une distance non issue d’une norme
- Déterminer intérieur et adhérence de parties planes, chaque inclusion étant justifiée
- Construire un homéomorphisme explicite entre le disque unité ouvert et le plan
Avant de commencer le devoir
Pour chaque inégalité triangulaire, écrivez d’abord ce qu’il faut prouver, puis ramenez-vous à une inégalité sur les réels. Quand une propriété est fausse, un contre-exemple chiffré suffit, à condition de le vérifier entièrement. Pour une adhérence, montrez deux inclusions : l’ensemble proposé est fermé, et tout point de cet ensemble s’approche par des éléments de la partie. Enfin, soignez les dessins de boules, car ils sont notés.
Le sujet du contrôle : distances équivalentes et homéomorphismes
Exercice 1 – Trois candidates sur la droite réelle (4 points)
Pour \(x, y \in \mathbb{R}\), on pose \(e(x, y) = (x – y)^2\), \(s(x, y) = \sqrt{\lvert x – y \rvert}\) et \(\theta(x, y) = \lvert \operatorname{Arctan}(x) – \operatorname{Arctan}(y) \rvert\). On note aussi \(d(x, y) = \lvert x – y \rvert\) la distance usuelle.
- Montrer d’abord que \(e\) n’est pas une distance sur \(\mathbb{R}\).
- Prouver ensuite que \(s\) est une distance sur \(\mathbb{R}\). Pour cela, on pourra établir que \(\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}\) pour \(a, b \geq 0\).
- Vérifier que \(\theta\) est une distance, puis que \(\theta \leq d\). Existe-t-il alors une constante \(C > 0\) telle que \(d \leq C\, \theta\) sur \(\mathbb{R}^2\) ?
- Établir que les suites réelles convergentes, ainsi que leurs limites, sont les mêmes pour \(\theta\) et pour \(d\). Que peut-on donc en conclure sur les ouverts des deux espaces métriques ?
Exercice 2 – Boules usuelles et distance de la rivière (4 points)
Dans le plan, pour deux points \(P = (x_1, y_1)\) et \(Q = (x_2, y_2)\), on note \(d_1(P, Q) = \lvert x_1 – x_2 \rvert + \lvert y_1 – y_2 \rvert\) et \(d_\infty(P, Q) = \max\left(\lvert x_1 – x_2 \rvert, \lvert y_1 – y_2 \rvert\right)\). De plus, \(d_2\) désigne la distance euclidienne.
- Dessiner sur un même repère les boules fermées de centre \(O\) et de rayon 1 pour \(d_1\), \(d_2\) et \(d_\infty\).
- Démontrer l’encadrement \(\frac{1}{2} d_1 \leq d_\infty \leq d_2 \leq d_1\), puis le traduire par des inclusions entre boules de centre \(O\).
- Un promeneur ne se déplace que sur des verticales, sauf sur l’axe des abscisses, appelé rivière, qu’il peut longer en barque. C’est pourquoi on pose \(d_R(P, Q) = \lvert y_1 – y_2 \rvert\) quand \(x_1 = x_2\), et \(d_R(P, Q) = \lvert y_1 \rvert + \lvert x_1 – x_2 \rvert + \lvert y_2 \rvert\) sinon. On admet que \(d_R\) est une distance. Avec \(A = (0, 1)\), placé sur la figure, décrire puis dessiner les boules fermées \(B_R(A, 2)\) et \(B_R\left(A, \frac{1}{2}\right)\).
Exercice 3 – Une coupe parabolique et une suite de points (3 points)
Le plan est muni de sa distance euclidienne. On considère alors \(A = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 \leq y < 1\right\}\) et \(B = \left\{\left(\frac{1}{n}, 0\right) : n \in \mathbb{N}^*\right\}\), représentées sur la figure. Le bord parabolique appartient à \(A\), tandis que le segment en pointillés n’en fait pas partie.
- Déterminer l’intérieur et l’adhérence de \(A\), en justifiant chaque inclusion.
- Calculer ensuite l’intérieur et l’adhérence de \(B\).
- On munit maintenant \(\mathbb{R}\) de la distance discrète, égale à 1 entre deux points distincts. Quels sont alors l’intérieur et l’adhérence de \(]0, 1[\) ?
Exercice 4 – Deux distances sur les suites bornées (4 points)
Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles bornées \(u = (u_n)_{n \geq 0}\). Pour \(u, v \in E\), on pose \(d_\infty(u, v) = \sup_{n \geq 0} \lvert u_n – v_n \rvert\) et \(\delta(u, v) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{\lvert u_n – v_n \rvert}{2^n}\). On admet ici que \(d_\infty\) est une distance sur \(E\).
- Justifier d’abord que \(\delta(u, v)\) est bien défini, puis montrer que \(\delta\) est une distance sur \(E\).
- Prouver que \(\delta \leq 2\, d_\infty\). En déduire alors que tout ouvert pour \(\delta\) est un ouvert pour \(d_\infty\).
- Pour \(k \in \mathbb{N}\), on note \(\varepsilon^{(k)}\) la suite dont le seul terme non nul est le terme d’indice \(k\), égal à 1. Étudier la convergence de \(\left(\varepsilon^{(k)}\right)_{k}\) vers la suite nulle pour chacune des deux distances.
- Montrer enfin que la boule ouverte de centre 0 et de rayon 1 pour \(d_\infty\) n’est pas un ouvert pour \(\delta\). Les distances \(\delta\) et \(d_\infty\) sont-elles donc topologiquement équivalentes ?
Exercice 5 – Problème : le disque ouvert et le plan (5 points)
Le plan est muni de sa norme euclidienne \(\lVert \cdot \rVert\), et \(D\) désigne le disque unité ouvert, formé des points de norme strictement inférieure à 1. On définit alors \(h\) sur \(D\) et \(g\) sur tout le plan par
\[h(z) = \frac{z}{1 – \lVert z \rVert} \quad \text{et} \quad g(w) = \frac{w}{1 + \lVert w \rVert}.\]
La figure montre ainsi l’effet de \(h\) sur trois cercles centrés en \(O\).
- Montrer que \(g\) prend ses valeurs dans \(D\), puis que \(h \circ g = \mathrm{id}_{\mathbb{R}^2}\) et \(g \circ h = \mathrm{id}_D\). Vérifier au passage les rayons indiqués sur la figure.
- Justifier que \(h\) et \(g\) sont continues, et conclure que \(h\) est un homéomorphisme de \(D\) sur \(\mathbb{R}^2\).
- Pour \(w, w^{\prime} \in \mathbb{R}^2\), on pose \(\rho(w, w^{\prime}) = \lVert g(w) – g(w^{\prime}) \rVert\). Prouver alors que \(\rho\) est une distance sur \(\mathbb{R}^2\).
- Établir que \(\rho\) et la distance euclidienne ont exactement les mêmes suites convergentes, avec les mêmes limites.
- Comparer enfin les deux distances du point de vue du caractère borné de \(\mathbb{R}^2\). Que montre donc cet exemple ?
Réviser distances équivalentes et homéomorphismes avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours distances, topologie métrique et continuité ; entraînez-vous sur les exercices distances, topologie métrique et continuité avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L3 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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