Réduites de Jordan et similitude : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « réduites de Jordan et similitude », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur la réduction de Jordan, au premier semestre de L3. D’abord, une question de cours établit la décroissance des sauts de dimension des noyaux itérés d’un endomorphisme nilpotent. Ensuite, vous calculez une décomposition de Dunford grâce à une relation de Bézout. Un nilpotent décrit par un graphe conduit alors à son tableau de Young et à une base adaptée. Puis l’exercice 4 classe les nilpotents de taille 4 à similitude près. Enfin, le problème réduit une matrice 4×4 non diagonalisable et en déduit ses puissances. L’exponentielle de matrice n’intervient pas, car elle relève du cours sur les équations différentielles.
Ce qu’évalue le contrôle : réduites de Jordan et similitude
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Dunford, Jordan et endomorphismes nilpotents (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Démontrer que les sauts de dimension des noyaux itérés d’un nilpotent forment une suite décroissante
- Calculer la décomposition de Dunford d’une matrice à l’aide de projecteurs polynomiaux
- Lire un tableau de Young sur les noyaux itérés et construire une base de Jordan
- Décider si deux matrices nilpotentes sont semblables à partir des rangs de leurs puissances
- Réduire une matrice 4×4 non diagonalisable puis exprimer ses puissances
Avant de commencer le devoir
Avant toute réduction, calculez d’abord le polynôme caractéristique, puis les rangs des puissances de \(A – \lambda I\) : ils suffisent à dessiner le tableau de Young. Pour une base de Jordan, partez d’un vecteur du plus grand noyau qui n’appartient pas au précédent, et appliquez-lui l’endomorphisme. Dans la décomposition de Dunford, vérifiez ensuite que les deux matrices commutent : une simple séparation diagonale ne convient presque jamais. Enfin, contrôlez chaque base en multipliant.
Le sujet du contrôle : réduites de Jordan et similitude
Exercice 1 – Sauts de dimension des noyaux itérés (3 points)
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension \(n \geq 1\) et \(u\) un endomorphisme nilpotent de \(E\), d’indice \(p\). Pour tout entier \(k \geq 0\), on note \(d_k = \dim \ker u^k\), de sorte que \(d_0 = 0\).
- Montrer que \(\ker u^k \subset \ker u^{k+1}\) pour tout \(k\). Prouver ensuite que, si \(\ker u^k = \ker u^{k+1}\), alors \(\ker u^{k+1} = \ker u^{k+2}\). En déduire que \(d_0 < d_1 < \cdots < d_p = n\).
- Soit \(k \geq 0\) et \(F\) un supplémentaire de \(\ker u^{k+1}\) dans \(\ker u^{k+2}\). Établir que \(u(F) \subset \ker u^{k+1}\), que \(u\) est injectif sur \(F\) et que \(u(F) \cap \ker u^k = \{0\}\). Conclure que \(d_{k+2} – d_{k+1} \leq d_{k+1} – d_k\).
- On appelle tableau de Young de \(u\) le diagramme dont la \(k\)-ième ligne, alignée à gauche, compte \(d_k – d_{k-1}\) cases, pour \(1 \leq k \leq p\). Justifier que ce diagramme possède \(n\) cases et que ses lignes ont des longueurs décroissantes.
Exercice 2 – Décomposition de Dunford d’une matrice 3×3 (4 points)
On considère la matrice réelle suivante :
\[A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -3 \\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix}.\]
- Vérifier que \(\chi_A = (X – 2)^2 (X + 1)\). Calculer ensuite le rang de \(A – 2I_3\) et en déduire que \(A\) n’est pas diagonalisable.
- Vérifier l’identité de Bézout \(1 = \frac{1}{9}(X – 2)^2 + \frac{1}{9}(5 – X)(X + 1)\). En déduire la matrice \(\Pi = \frac{1}{9}(5I_3 – A)(A + I_3)\), puis justifier que c’est le projecteur sur \(\ker (A – 2I_3)^2\) parallèlement à \(\ker(A + I_3)\).
- Déterminer la décomposition de Dunford \(A = D + N\), puis vérifier que \(N^2 = 0\) et que \(DN = ND\).
- Soit \(B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\). L’écriture \(B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) est-elle la décomposition de Dunford de \(B\) ? Justifier.
Exercice 3 – Un nilpotent décrit par un graphe (4 points)
Soit \((e_1, e_2, e_3, e_4)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^4\). Un endomorphisme \(u\) est décrit par le graphe ci-dessous : l’image de chaque \(e_i\) est la somme des vecteurs vers lesquels pointent ses flèches. Ainsi, \(u(e_1) = e_2 + e_3\), tandis que \(u(e_4) = 0\).
- Écrire la matrice \(N\) de \(u\) dans la base canonique. Montrer que \(u\) est nilpotent et préciser son indice.
- Déterminer une base de \(\ker u\), puis les dimensions \(d_1\), \(d_2\) et \(d_3\) des noyaux itérés.
- Dessiner le tableau de Young de \(u\), au sens de l’exercice 1, puis en déduire la réduite de Jordan de \(N\). On admet que les colonnes du tableau donnent les tailles des blocs.
- Construire une base de \(\mathbb{R}^4\) dans laquelle la matrice de \(u\) est cette réduite.
Exercice 4 – Tableaux de Young et similitude (3,5 points)
La figure montre les cinq tableaux de Young possibles pour un endomorphisme nilpotent de \(\mathbb{R}^4\), avec la convention de l’exercice 1 : la ligne \(k\) compte \(d_k – d_{k-1}\) cases.
- Pour chacun des tableaux (a) à (e), donner les tailles des blocs de la réduite de Jordan, puis les rangs de \(N\), \(N^2\) et \(N^3\).
- On admet que deux nilpotents sont semblables si et seulement s’ils ont le même tableau de Young. En déduire que deux matrices nilpotentes de taille 4 sont semblables si et seulement si \(\mathrm{rg}\, N\) et \(\mathrm{rg}\, N^2\) coïncident.
- On pose \(A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\). Montrer que \(A\) et \(B\) ont le même polynôme caractéristique et le même polynôme minimal. Sont-elles semblables ?
Exercice 5 – Problème : réduite de Jordan et puissances (5,5 points)
On étudie la matrice réelle :
\[M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 3 & 0 \\ -3 & -3 & 3 & 2 \end{pmatrix}.\]
- Calculer \(\chi_M\) en développant selon des colonnes bien choisies.
- Déterminer les rangs de \(M – 2I_4\), de \((M – 2I_4)^2\) et de \(M + I_4\). En déduire la réduite de Jordan \(J\) de \(M\).
- Construire une matrice inversible \(P\) telle que \(M = PJP^{-1}\). On partira d’un vecteur \(x\) de \(\ker (M – 2I_4)^2\) qui n’appartient pas à \(\ker(M – 2I_4)\).
- En déduire la décomposition de Dunford \(M = D + N\). On pourra remarquer que \(D = 3\Pi – I_4\), où \(\Pi\) est le projecteur sur \(\ker(M – 2I_4)^2\) parallèlement à \(\ker(M + I_4)\).
- Établir, pour tout entier \(k \geq 1\), la formule \(M^k = 2^k \Pi + (-1)^k (I_4 – \Pi) + k\,2^{k-1} N\).
Réviser réduites de Jordan et similitude avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours dunford, jordan et endomorphismes nilpotents ; entraînez-vous sur les exercices dunford, jordan et endomorphismes nilpotents avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L3 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
Télécharger ou imprimer cette fiche «réduites de Jordan et similitude : contrôle de maths en L3» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
